2022-2023學(xué)年湖北省部分省級示范高中高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

第10頁/共21頁2022-2023學(xué)年湖北省部分省級示范高中高三年級期中質(zhì)量檢測 數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合，集合，則下列關(guān)系式準確的是（）A. B.C. D.答案：B解析：【分析】由絕對值的幾何意義化簡集合，再利用交、并、補集的運算性質(zhì)逐一分析四個選項得答案．【詳解】，，，故A不正確；，故B正確；或，或或，故D不正確；或，故C不正確．故選：B．2.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】結(jié)合函數(shù)解析式得到不等式組，進而可得到答案.【詳解】由，解得，故所求函數(shù)的定義域為.故選：C.3.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可.【詳解】由已知得，當時，則，即，，∵為偶函數(shù)，∴，即，∴，，∴，故選：B.4.已知正方形的對角線，點在邊上，則的最大值為（）A B. C. D.答案：C解析：【分析】設(shè)，其中，則分析即得解.【詳解】因為正方形的對角線為，故正方形的邊長為，點在邊上，則，其中，則，當點與點重合時，等號成立，故的最大值為．故選：C.5.若數(shù)列滿足，則稱為斐波那契數(shù)列，它是由中世紀意大利數(shù)學(xué)家斐波那契最先發(fā)現(xiàn)．它有很多美妙的特征，如當時，前項之和等于第項減去第項；隨著的增大，相鄰兩項之比越來越接近等等．若第項是，請估計這個數(shù)列的前項之和最接近（）（備注：，）A.萬 B.萬 C.萬 D.萬答案：C解析：【分析】首先求，再求出，最后求出即可.【詳解】由題意得：，假設(shè)的前項和為，則，又因為隨著的增大，相鄰兩項之比越來越接近所以故，故選：C.6.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.答案：D解析：【分析】結(jié)合已知條件，利用中間值法即可比較大小.【詳解】由于，由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，，則，由，則，故．故選：D.7.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且，下列結(jié)論正確的是（）A.B.當，時，的面積為C.若是的角平分線，且，則D.當時，為直角三角形答案：D解析：【分析】選項A：先用正弦定理得，再利用三角恒等變換，求出，即可；選項B：直接解三角，發(fā)現(xiàn)無解即可；選項C：利用等面積法，的到的關(guān)系即可；選項D：利用正弦定理得，然后利用三角形角的關(guān)系，計算出各個角的大小即可.【詳解】選項A:因為，由正弦定理可得，又因為，所以，化簡可得，因為，所以可得，，故，選項A錯誤；選項B：當，時，由選項A，得，因為，可得，無解，故此時三角形不存在，選項B錯誤；選項C：因為若是的角平分線，且，由選項A，得故，而得，得，所以，選項C錯誤；選項D：因為，由正弦定理可得，又，，得，所以，化簡可得，因為，解得，由條件可知，故合適，所以，所以為直角三角形，選項D正確．故選：D.8.已知函數(shù)，若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間（理解為閉區(qū)間）中包含且僅包含兩個正整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.答案：C解析：【分析】函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間（理解為閉區(qū)間）中包含且僅包含兩個正整數(shù)，轉(zhuǎn)化為解集中恰有兩個正整數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合建立不等式求解即可.【詳解】因為的單調(diào)遞減區(qū)間（理解為閉區(qū)間）中包含且僅包含兩個正整數(shù)，所以的解集中恰有兩個正整數(shù)，由可得，，令，則，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，作出函數(shù)與的圖象如圖，當恰有兩個正整數(shù)解時，即為和，所以，故選：C.二、多選題9.已知復(fù)數(shù)：滿足，則（）A. B.的虛部為C.的共軛復(fù)數(shù)為 D.是方程的一個根答案：A、D解析：【分析】由復(fù)數(shù)除法的運算法則求出，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，以及復(fù)數(shù)的模長公式和復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程根的求法即可得答案.【詳解】因為，所以，對A：，故選項A正確；對B：的虛部為，故選項B錯誤；對C：的共軛復(fù)數(shù)為，故選項C錯誤；對D：因為方程的根為，所以是方程的一個根，故選項D正確.故選：AD.10.下列選項中，正確的有（）A.設(shè)，都是非零向量，則“”是“”成立的充分不必要條件B.若角的終邊過點且，則C.在中，D.若，則答案：A、C解析：【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)乘運算、三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、正弦定理以及三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，判斷每個選項的正誤．【詳解】選項A，由，可知，所以，故充分性成立；若，則，因為為大于的實數(shù)，不一定為，所以必要性不成立，故“”是“”成立的充分不必要條件，選項正確；選項B，若角的終邊過點且，則，解得，B選項錯誤；選項C，因為在中，，由正弦定理可知，所以，因為在上單調(diào)遞減，而為的內(nèi)角，，故；故可得，選項C正確；選項D，若，則，D錯誤．故選：AC.11.大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程.已知大衍數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.數(shù)列的前項和為答案：B、C、D解析：【分析】直接由遞推公式求出即可判斷A選項；分為奇數(shù)或偶數(shù)即可判斷B選項；分為奇數(shù)或偶數(shù)結(jié)合累加法即可判斷C選項；由分組求和法即可判斷D選項.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，當為奇數(shù)時，為偶數(shù)，則，，可得；當為偶數(shù)時，為奇數(shù)，則，，可得，B正確；對于C，當為奇數(shù)且時，累加可得，時也符合；當偶數(shù)且時，累加可得；則，C正確；對于D，設(shè)數(shù)列的前項和為，則，又，，D正確.故選：BCD.12.若，，且，則（）A. B.C. D.答案：A、B、C、D解析：【分析】將變形為和，借助基本不等式與1的代換可解.【詳解】，，，且.則，且.對A：，當時等號成立，A正確；對B：，解得，B正確；對C：，則，當時等號成立，C正確；對D：，當時等號成立，D正確.故選：ABCD.三、填空題13.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，是數(shù)列的前項和，，，則_________．答案：解析：【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及等差中項，求第六項，再根據(jù)等比數(shù)列的等比中項，解得第六項的平方，結(jié)合對數(shù)運算可得答案.【詳解】因為是等差數(shù)列，且是數(shù)列的前項和，所以，解得，因為是等比數(shù)列，所以，則.故答案為：.14.已知向量，，若，則在上的投影向量為__________．答案：解析：【分析】根據(jù)垂直關(guān)系得出，再利用向量的投影的概念即得.【詳解】，，，解得，，，，，在上投影向量為：.故答案為：.15.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，則的最小值為__________．答案：解析：【分析】先由“兩個等差數(shù)列的公共項構(gòu)成的新的等差數(shù)列的公差為兩個等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)”得，再應(yīng)用基本不等式求得的最小值.【詳解】被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個首項為，公差為的等差數(shù)列，則∴當且僅當，即時，等號成立，∴的最小值為．故答案為：.16.已知是定義在上的函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當時，，則__________，曲線在處的切線方程是__________．答案：①.②.解析：【分析】根據(jù)題意求得的對稱軸，結(jié)合已知函數(shù)解析式，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，用代替，得到，故關(guān)于對稱，當時，，則，所以時，，則，故，，故曲線在處的切線斜率，切點坐標為，故切線方程為，即．故答案為：；．四、解答題17.已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間（2）若函數(shù)在處取得極值，求的最大值和最小值．答案：見解析解析：【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先由極值點處的導(dǎo)數(shù)為（且在極值點左右兩側(cè)的符號相反）解得參數(shù)的值，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（注意：研究函數(shù)的趨近）.【詳解】（1）若，有，定義域為則，得；得或所以，的減區(qū)間是，增區(qū)間是，；（2）∵，即：∴，∴∴∴當或時，；當時，∴在，上遞增，在上遞減∴的極大值為，的極小值為.又∵當時，，當時，，．18.已知數(shù)列的首項為，且滿足，若．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列中，，對任意，，都有，求數(shù)列的前項和．答案：見解析解析：【分析】（1）由得，即，由等比數(shù)列定義列通項公式即可；（2）令即求得，利用錯位相減法即可求【詳解】（1），，又，且是首項為，公比為的等比數(shù)列，（2）對任意，都成立，令得，，，，作差化簡得19.如圖，在平面凹四邊形中，，，，角滿足：．（1）求角的大小；（2）求凹四邊形面積的最小值．答案：見解析解析：【分析】(1)結(jié)合已知條件，利用二倍角公式即可求解；(2)結(jié)合已知條件，利用余弦定理和均值不等式即可求解.【詳解】（1）因為，所以，即，因為，則，所以，即.（2）連接，設(shè)，，因為，，，所以在中，由余弦定理得，即，在中由余弦定理得，即，故，當且僅當時，不等式取等號，從而，故凹四邊形的面積，從而四邊形面積的最小值是.20.已知函數(shù)，，且在上單調(diào)遞增.（1）若恒成立，求的值；（2）在（1）的條件下，若當時，總有使得，求實數(shù)的取值范圍.答案：見解析解析：【分析】（1）由題意得為最小值，代入求解（2）理解題意，求出兩個函數(shù)值域后列不等式組【詳解】（1）由題意得解得且在上單調(diào)遞增，故，得（2）由（1）得時，，根據(jù)對稱軸討論取值范圍①時，在時單調(diào)遞增，，此時不合題意②時，在時單調(diào)遞減，在時單調(diào)遞增由題意得，解得③時，時單調(diào)遞減，，由題意得，解得（舍去）綜上，的取值范圍為21.已知函數(shù)周期為，圖像的一個對稱中心為，將函數(shù)圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的倍(縱坐標不變)，再將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像．（1）求函數(shù)與的解析式；（2）是否存在，使得、、按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請求出該數(shù)列公差絕對值的取值范圍；若不存在，請說明理由．（3）當時，判斷在內(nèi)的零點個數(shù)，并說明理由．答案：見解析解析：【分析】(1)結(jié)合已知條件，利用周期公式求出，然后利用正弦函數(shù)的對稱中心的性質(zhì)求，進而得到，利用伸縮變換和平移變換得到；(2)利用導(dǎo)函數(shù)和零點存在基本定理即可判定，結(jié)合正弦函數(shù)范圍以及二次函數(shù)性質(zhì)即可求解；(3)將零點問題轉(zhuǎn)化為與的交點問題，然后利用導(dǎo)函數(shù)求的圖像，進而即可得到答案.【詳解】（1）∵周期，∴，又∵是的一個對稱中心，∴，，解得：，，∵，∴，從而，函數(shù)圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的倍(縱坐標不變)后的解析式為：，從而再將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù).（2）假設(shè)存在，使得、、按照某種順序成等差數(shù)列；當時，，則，，∵，∴，故，即，令，，則故在上單調(diào)遞增，又∵，且在上連續(xù)，故存在唯一的，使得，即成立，即存在，使得，、或，，成等差數(shù)列，∴公差的絕對值，∵，∴，即該等差數(shù)列公差的絕對值的取值范圍為.（3）由題意得：，當，即時，，故不是的零點；則的零點個數(shù)等價于的根的個數(shù)，即與的交點個數(shù)，∵，∴是以為周期的周期函數(shù)，當時，，∴當時，；當時，，故在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，則在上的大致圖像如下圖所示，由圖像可知：當時，與在內(nèi)無交點，在內(nèi)有兩個交點；當時，在內(nèi)有兩個交點，在內(nèi)有兩個交點；當時，與在內(nèi)有且僅有一個交點，在內(nèi)有兩個交點；綜上所述，在內(nèi)，當時，與有個交點，即有個零點；當時，與有個交點，即有個零點；當時，與有個交點，即有個零點.22.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．答案：見解析解析：【分析】（1）對求導(dǎo)得，分別討論和時，求不等式，的解集，再由極值的定義可求得結(jié)果；（2）恒成立，轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，進一步令，對任意恒成立，令，分類討論和是否滿足，即可得出答案.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，當時，在恒成立，在單調(diào)遞減，故無極值；當時，令，則，時，，在單調(diào)遞減；時，，