181勾股定理教案2

18．1勾股定理(二)教課時間第二課時三維目標一、知識與技術1．掌握勾股定理，認識利用拼圖考證勾股定理的方法．2．運用勾股定理解決一些實質問題．二、過程與方法1．經歷用拼圖的方法考證勾股定理，培育學生的創(chuàng)新能力和解決實質問題的能力．2．在拼圖的過程中，鼓舞學生勇敢聯(lián)想，培育學生數形聯(lián)合的意識．三、感情態(tài)度與價值觀1．利用拼圖的方法考證勾股定理，是我國古代數學家的一大貢獻，借助此過程對學生進行愛國主義的教育．2．經歷拼圖的過程，并從中獲取學習數學的快樂，提升學習數學的興趣．教課要點經歷用不同的拼圖方法考證勾股定理的過程，體驗解決同一問題方法的多樣性，進一步領會勾股定理的文化價值．教課難點經歷用不同的拼圖方法證明勾股定理．教具準備每個學生準備一張硬紙板．多媒體課件演示．教課過程一、創(chuàng)建問題情境，引入新課活動1問題：我們曾學習過整式的運算，此中平方差公式(a＋b(a－b)＝a2－b2，完整平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2是特別重要的內容．誰還可以記適當時這兩個公式是怎樣推出的？設計企圖：回想前面的知識，由此得出用拼圖的方法推證數學結論特別直觀，上節(jié)課已經經過數格子的方法勇敢猜想出了一個命題；在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．但我們不可以對全部的直角三角形一一考證，所以需從理論上加以推證，學生或許會此后活動中獲取啟迪，采納近似拼圖的方法證明．師生行為：學生著手活動，分組操作，而后在組內溝通．教師深入小組參加活動，聆聽學生的溝通，并幫助，指導學生達成任務，得出兩個公式的幾何意義．在活動1中教師應要點關注：①學生可否踴躍主動地參加活動，②學生可否想到用拼圖的方法，經過計算拼圖的面積而得出兩個公式的幾何意義；③學生可否從這兩個公式的幾何意義聯(lián)想到直角三角形的三邊關系能否也能夠近似證明．生：這兩個公式都能夠用多項式乘以多項式的乘法法例推導．以下：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；22222(a－b)＝(a－b)(a－b)＝a－ab－ab＋b＝a－2ab＋b；生：還可以夠用拼圖的方法說明上邊的公式建立．比如：圖(1)中，暗影部分的面積為a2－b2，用剪刀將(1)中的長和寬分別為(a－b)和b的長方形剪下來拼接成圖(2)的形式即可得圖(2)中暗影部分的面積為(a＋b)(a－b)．而這兩部分面積是相等的，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2建立．生：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2也能夠用拼圖的方法，經過計算面積證明，如圖(3)我們用兩個邊長分別a和b的正方形，兩個長和寬分別a和b的長方形拼成一個邊長為(a＋b)的正方形，所以這個正方形的面積為(a＋b)2，也能夠表示為a2＋2ab＋b2，所以可得(ab)2＝a2＋2ab＋b2．師：你能用近似的方法證明上一節(jié)猜想出的命題嗎?二、研究研究活動2我們已用數格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊關系，拼一拼，達成以下問題：(1)在一張紙上畫4個與圖(4)全等的直角三角形，并把它們剪下來．(2)用這4個直角三角形拼一拼，擺一擺，看可否獲取一個含有以斜邊c為邊長的正方形，你能利用拼圖的方法，面積之間的關系說明上節(jié)課對于直角三角形三邊關系的猜想嗎?(3)有人利用圖(4)這4個直角三角形拼出了圖(5)，你能用兩種方法表示大正方形的面積嗎?大正方形的面積能夠表示為：_______________，又能夠表示為________________．對照兩種衷示方法，你獲取直角三角形的三邊關系了嗎?設計企圖：讓學生經過拼圖計算面積的方法證明直角三角形的三邊關系，培育學生的著手操作能力和創(chuàng)新意識．師生行為：學生在獨立思慮的基礎上，以小組為單位溝通自己拼圖的結果．教師深入小組參加活動，聆聽學生的溝通，并幫助、指導學生達成任務，用計算面積的方法比較得出直角三角形的三邊關系．在本次活動中，教師應關注：①可否經過拼圖計算面積的方法獲取直角三角形的三邊關系．②學生可否踴躍主動地參加拼圖活動．生：我也拼出了圖(5)，并且圖(5)用兩種方法表示大正方形的面積分別為(a＋b)2或4×ab＋c2．由此可得(a＋b)2＝4×12ab＋c2．化簡得a2＋b2＝c2．因為圖(4)的直角三角形是隨意的，所以a2＋b2＝c2，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。生：我拼出了和這個同學不相同的圖，如圖(6)大正方形的邊長是c，小正方形的邊長為b－a，利用這個圖形也能夠說明勾股定理．因為大正方形的面積也有兩種表示方法，既能夠表示為c2，又能夠表示為ab×4＋(b－a)2．對照兩種表示方法可得222簡得c＝a＋b．相同獲取了直角三角形的三邊關系．

c2＝

ab×4＋(b－a)2．化師：這樣就經過推理證明了命題1的正確性，我們把經過證明被確立為正確的命題叫做定理．命題1與直角三角形的邊相關，我國把它稱為勾股定理．我國古代的學者們對勾股定理的研究有很多重要成就，不單在好久從前獨立地發(fā)現(xiàn)了勾股定理，并且使用了很多奇妙的方法證了然它。為了弘揚我國古代數學成就．下邊我們一起來賞識我國先人趙爽的證法，大家從中必定會領會到我國古代數學家的智慧．活動3圖(6)這個圖案和3世紀我國漢代的趙爽在講解(周髀算經)時給出的圖案如出一轍，人們稱它為“趙爽弦圖”，趙爽利用弦圖證明命題1(即勾股定理)的基本思路以下，如圖(7)．把邊長為a，b的兩個正方形連在一起，它的面積為a2＋b2，另一方面這個圖形由四個全等的直角三角形和一個正方形構成．把田(7)中左、右兩個三角形移到圖(9)所示的地點，就會形成一個c為邊長的正方形．因為圖(7)與圖(9)都是由四個全等的直角三角形和一個正方形構成，所以它們的面積相等．所以a2＋b2＝c2上邊的證法是我國有資料記錄的對勾股定理的最早證法．“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國先人對數學的研究精神和聰慧才華．它是我國古代數學的驕傲．正因這樣，這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數學家大會的會徽．設計企圖：認識我國古代數學成就，為我國數學將來的發(fā)展發(fā)奮作出貢獻，培育學生的愛國主義精神．師生行為：在教師的指引下進一步領會我國古代數學家證明勾股定理的聰慧、智慧．師：在全部的幾何定理中，勾股定理的證明方法或許是最多的．在西方，一般以為這個定理是由畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)的，所以人們稱這個定理為畢達哥拉斯定理．1940年，外國有人采集了勾股定理的365種證法，編了一本書．其實，勾股定理的證法不只這些，作者之所以采納了365種，或許他是風趣地想讓人注意，勾股定理的證明幾乎到了每日一種的地步．生：老師，我在查資料時，還發(fā)現(xiàn)勾股定理的證明還和美國的一個總統(tǒng)相關系，是這樣嗎?師：是的．1876年4月1日，美國俄亥俄州共和黨議員加菲爾德，很有興趣地在《新英格蘭教育日記)上發(fā)布了他提出的一個勾股定理的證明．據他說，這是一種思想體操，并且還俏皮地宣稱，他的這個證明是獲取兩黨議員“一致贊成的”．因為1881年加菲爾德當上了美國第二十屆總統(tǒng)，這樣，他曾提出的那個證明也就成了數學史上的一段美談．生：能給我們介紹一下這位總統(tǒng)的證明方法嗎?師：能夠，以以下圖所示．這就是這位總統(tǒng)用兩個全等的直角三角形拼出的圖形，和第一個同學用全等的四個直角三角形拼出來的圖形對照一下，有聯(lián)系．生：總統(tǒng)拼出的圖形恰巧是第一個同學拼出的大正方形的一半．師：同學們不如自己從上圖中推導出勾股定理．生：上邊的圖形整體上拼成一個直角梯形．所以它的面積有兩種表示方法．既能夠表示為1(a＋b)·(a＋b)，又能夠表示為1ab×2＋c2。對此兩種表示方法可得1(a＋b)·(a＋b)2221ab×2＋c2?；?，可得a2＋b2＝c2．2師：很好．同學們假如感興趣的話，不如自己也去找尋幾種證明勾股定理的方法．活動4議一議：察看上圖，用數格子的方法判斷圖中兩個三角形的三邊關系能否知足a2＋b2＝c2．設計企圖：前面已經議論了直角三角形三邊知足的關系，那么銳角三角形或鈍角三角形三邊能否也知足這一關系呢?學生經過數格子的方法能夠得出：假如一個三角形不是直角三角形，那么它的三邊a，b，c不知足a2＋b2＝c2。經過這個結論，學生將對直角三角形的三邊的關系有進一步的認識．師生行為：學生疏小組議論溝通，得出結論：教師提出問題后，組織議論，啟迪，指引．此活動教師應要點關注：①可否踴躍參加數學活動；①可否進一步領會到直角三角形特別重要的三邊關系．師：上圖中的△ABC和△A'B'C'是什么三角形?生：△ABC，△A'B'C'在小方格紙上，不難看出△ABC中，∠BCA＞90°；△A'B'C'中，A'B'C'，∠B'C'A'，∠B'A'C'都是銳角，所以△ABC是鈍角三角形，△A'B'C'是銳角三角形．師：△ABc的三邊上“長”出三個正方形．誰來幫我數一下每個正方形含有幾個小格子．生：以b為邊長的正方形含有9個小格子，所以這個正方形的面積b2＝9個單位面積；以a為邊長的正方形中含有8個小格子，所以這個正方形的面積a2＝8個單位面積；以c為邊長的正方形中含有29個小格子，所以這個正方形的面積c2＝29個單位面積．a2＋b2＝9＋7＝16個單位面積，c2＝29個單位面積，所以在鈍角三角形ABC中a2＋b2≠c2．師：銳角三角形A'B'C'中，怎樣呢?生：以a為邊長的正方形含5個小格子，所以a2＝5個單位面積；以b為邊長的正方形含有8個小格子，所以b2＝8個單位面積；以c為邊長的正方形含9個小格子，所以c2＝9個單位面積．由此我們能夠算出a2＋b2＝5＋8＝13個單位面積．在銳角三角形A'B'C'中，a2＋b2≠c2．師：經過對上邊兩個圖形的議論可進一步認識到只有在直角三角形中，a，b，c三邊才有a2＋b2＝c2(此中a，b是直角邊，c為斜邊)這樣的關系．生：老師，我發(fā)此刻鈍角三角形ABC中，固然a2＋b2≠c2，但它們之間也有一種關系a2＋b2＜c2；在銳角三角形A'B'C'中，a2＋b2＞c2．它們恒建立嗎?師：這位同學很擅長思慮，確實這樣．同學們課后不如考證一下，你必定會收獲不?。n時小結活動5你對本節(jié)內容有哪些認識?會結構直角三角形，并理解結構原理，深刻理解勾股定理的意義．設計企圖：這類形式的小結，激發(fā)了學生的主動參加意識，調換了學生的學習興趣，為每一位學生都創(chuàng)建了在數學學習活動中獲取成功的體驗時機，并為程度不同的學生供給了充分展現(xiàn)自己的時機，尊敬學生的個體差別，知足多樣化的學習需要，進而使小結活動不流于形式而擁有實效性，為學生供給更好的空間以梳理自己在本節(jié)課中的收獲．小結活動既要著重指引學生領會勾股定理獨到的證明方法又要從能力，感情態(tài)度方面關注學生對講堂的整體感覺．師生行為：由學生小組議論小結．在活動5中，教師應要點關注：(1)不同層次的學生對本節(jié)知識的認可程度；(2)學生要從我國先人對數學的研究精神和聰慧才華中獲取啟迪，建立學好數學的信心。板書設計18．1勾股定理(二)1．用拼圖法考證勾股定理(1)212由上圖得(a＋b)＝ab×4＋c即a2＋b2＝c2；(2)由上圖可得c2＝1ab×4＋(b－a)