部編人教版九年級數(shù)學(下)教案2821解直角三角形

28．2．1解直角三角形1．理解解直角三角形的意義和條件；(要點)2．依據(jù)元素間的關(guān)系，選擇適合的關(guān)系式，求出全部未知元素．(難點)一、情境導入世界遺產(chǎn)意大利比薩斜塔在與垂直中心線夾角為∠A，過點

1350年落成時就已傾斜．設(shè)塔頂中心點為B,塔身中心線B向垂直中心線引垂線，垂足為點C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度數(shù)．在上述的Rt△ABC中，你還可以求其余未知的邊和角嗎？二、合作研究研究點一：解直角三角形【種類一】利用解直角三角形求邊或角已知在Rt△ABC

中，∠

C＝90°，∠

A、∠B、∠C

的對邊分別為

a，b，c，按以下條件解直角三角形．(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A的度數(shù)和邊b、c的長；(2)若a＝62，b＝66，求∠A、∠B的度數(shù)和邊c的長．分析：(1)已知直角邊和一個銳角，解直角三角形；(2)已知兩條直角邊，解直角三角形．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，a＝36，∴∠A＝90°－∠B＝60°，∵cosB＝a，c即c＝a＝36＝243，∴b＝sinB·c＝1×243＝123；cosB322(2)在Rt△ABC中，∵a＝62，b＝6a＝3，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°，6，∴tanA＝b3∴c＝2a＝122.方法總結(jié)：解直角三角形時應求出全部未知元素，

解題時盡可能地選擇包括所求元素與兩個已知元素的關(guān)系式求解．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“講堂達標訓練”【種類二】結(jié)構(gòu)直角三角形解決長度問題一副直角三角板如圖擱置，點C在FD的延伸線上，∠E＝30°，∠A＝45°，AC＝122，試求CD的長．

第4題AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，分析：過點B作BM⊥FD于點M，求出BM與CM的長度，而后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：過點B作BM⊥FD于點M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝122，∴BC＝AC＝122.∵AB∥CF，∴BM＝sin45°BC＝122×

2＝12，CM＝BM＝12.在△EFD2BM中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝＝43，∴CD＝CM－MD＝tan60°12－43.方法總結(jié)：解答此類題目的要點是依據(jù)題意結(jié)構(gòu)直角三角形，而后利用所學的三角函數(shù)的關(guān)系進行解答．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后穩(wěn)固提高”

第4題【種類三】運用解直角三角形解決面積問題3如圖，在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝7，D為邊AC上一點，∠BDC＝45°，DC＝6.求△ABC的面積．分析：第一利用正弦的定義設(shè)BC＝3k，AB＝7k，利用BC＝CD＝3k＝6，求得k值，從而求得

AB的長，而后利用勾股定理求得

AC

的長，再進一步求解．解：∵∠C＝90°，∴在

Rt△ABC

中，sinA＝BC＝3，設(shè)AB7

BC＝3k，則

AB＝7k(k＞0)，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝90°，∴∠BDC＝45°，∴∠CBD＝∠BDC＝45°，∴BC＝CD＝3k＝6，∴k＝2，∴AB＝14.在Rt△ABC中，AC＝AB2－BC2＝142－62＝410，∴S△ABC＝1AC·BC＝1×410×6＝1210.因此△ABC的面積是1210.22方法總結(jié)：若已知條件中有線段的比或可利用的三角函數(shù)，可設(shè)出一個協(xié)助未知數(shù)，列方程解答．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“講堂達標訓練”第7題研究點二：解直角三角形的綜合【種類一】解直角三角形與等腰三角形的綜合已知等腰三角形的底邊長為2，周長為2＋2，求底角的度數(shù)．分析：先求腰長，作底邊上的高，利用等腰三角形的性質(zhì)，求得底角的余弦，即可求得底角的度數(shù)．解：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝2，∵周長為2＋2，∴AB＝AC＝1.過A作2，在Rt△ABD中，cos∠ABD＝BD＝2，∴∠ABD＝45°，即AD⊥BC于點D，則BD＝2AB2等腰三角形的底角為45°.方法總結(jié)：求角的度數(shù)時，可考慮利用特別角的三角函數(shù)值．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后穩(wěn)固提高”第2題【種類二】解直角三角形與圓的綜合已知：如圖，Rt△AOB中，∠O＝90°，以O(shè)A為半徑作⊙O，BC切⊙O于點C，連結(jié)AC交OB于點P.(1)求證：BP＝BC；(2)若sin∠PAO＝13，且PC＝7，求⊙O的半徑．分析：(1)連結(jié)OC，由切線的性質(zhì)，可得∠OCB＝90°，由OA＝OC，得∠OCA＝∠OAC，再由∠AOB＝90°，可得出所要求證的結(jié)論；(2)延伸AO交⊙O于點E，連結(jié)CE，在Rt△AOP和Rt△ACE中，依據(jù)三角函數(shù)和勾股定理，列方程解答．解：(1)連結(jié)OC，∵BC是⊙O的切線，∴∠OCB＝90°，∴∠OCA＋∠BCA＝90°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＋∠BCA＝90°，∵∠BOA＝90°，∴∠OAC＋∠APO＝90°，∵∠APO＝∠BPC，∴∠BPC＝∠BCA，∴BC＝BP；1(2)延伸AO交⊙O于點E，連結(jié)CE，在Rt△AOP中，∵sin∠PAO＝3，設(shè)OP＝x，AP＝3x，∴AO＝22x.∵AO＝OE，∴OE＝22x，∴AE＝42x.∵sin∠PAO＝1，∴在Rt△ACE3CE1AC223x＋722，解得x＝3，∴AO＝22x＝62，即⊙O的半徑為中AE＝3，∴AE＝3，∴42x＝362.方法總結(jié)：此題考察了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識，解決問題的要點是根據(jù)三角函數(shù)的定義聯(lián)合勾股定理列出方程．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后穩(wěn)固提高”第9題三、板書設(shè)計1．解