高等數(shù)學(xué)第一章第一節(jié)函數(shù)

高等數(shù)學(xué)第一章第一節(jié)函數(shù)第一頁，共六十一頁，2022年，8月28日第一章函數(shù)與極限函數(shù)數(shù)列的極限函數(shù)的極限無窮小與無窮大極限的運算法則極限存在準則與重要極限無窮小比較函數(shù)的連續(xù)性第二頁，共六十一頁，2022年，8月28日一、集合二、函數(shù)概念三、函數(shù)的簡單性態(tài)五、反函數(shù)四、復(fù)合函數(shù)六、初等函數(shù)第一節(jié)函數(shù)第三頁，共六十一頁，2022年，8月28日1.集合:集合：具有某種特定性質(zhì)的事物全體。例：

集合元素特定性質(zhì)華工全體學(xué)生學(xué)生華工的我班全體同學(xué)學(xué)生我班的全體實數(shù)數(shù)實的但：所有高檔商品不是一個集合，是一個模糊集合。元素：組成集合的事物。一、基本概念第四頁，共六十一頁，2022年，8月28日集合的表示:描述法：

列舉法：

文氏圖：平面區(qū)域。集合的關(guān)系:第五頁，共六十一頁，2022年，8月28日N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實數(shù)集例題：例題：例題：注：數(shù)集是今后主要研究的集合。第六頁，共六十一頁，2022年，8月28日2.區(qū)間——特殊的數(shù)集:是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,第七頁，共六十一頁，2022年，8月28日稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,有限區(qū)間：稱為開區(qū)間,稱為閉區(qū)間,第八頁，共六十一頁，2022年，8月28日無限區(qū)間：第九頁，共六十一頁，2022年，8月28日4.鄰域—特殊的區(qū)間:第十頁，共六十一頁，2022年，8月28日為什么要講鄰域？答：函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)均討論函數(shù)在一點附近的特征。第十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日4.常量與變量:

在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,注意常量與變量是相對“過程”而言的.例如：重力g。通常用字母a,b,c等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.用字母x,y,t等表示變量.第十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日二、函數(shù)概念

在同一自然現(xiàn)象中，往往同時存在幾個變量一起變化，這幾個變量不是孤立的變化，而是相互聯(lián)系，遵循一定的規(guī)律。解釋：變量；對應(yīng)法則；定義域。例如：自由落體運動。例如：圓面積

。

解釋：變量；對應(yīng)法則；定義域。第十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日

定義：設(shè)和是兩個變量，是一個給定的數(shù)集。如果對于每一個數(shù)，變量按照一定的對應(yīng)法則總有確定的值與它對應(yīng)，則稱是的函數(shù)，記作:,數(shù)集D數(shù)集E按對應(yīng)法則教學(xué)：將函數(shù)定義進行展開，能知道……。第十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日因變量自變量定義域第十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日自變量因變量對應(yīng)法則f1.函數(shù)概念的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.定義域和對應(yīng)法則都相同的函數(shù)，稱為相同的函數(shù)。例第十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日2.函數(shù)的定義域D:自變量的取值范圍。約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值.第十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日3.對應(yīng)法則f：由自變量決定因變量取值的法則。常用的表現(xiàn)形式：公式法、圖形法、表格法。第十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日分段函數(shù)：在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù).不能看成兩個函數(shù)！在分段點兩側(cè)，函數(shù)的表達式不同!第十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日(1)符號函數(shù)特殊分段函數(shù)舉例1-1xyo第二十頁，共六十一頁，2022年，8月28日(2)取整函數(shù)y=[x][x]表示不超過的最大整數(shù)12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線第二十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日有理數(shù)點無理數(shù)點?1xyo(3)狄利克雷函數(shù)第二十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日(4)取最值函數(shù)yxoyxo第二十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日答：

（2）

答：；先小后大。

（1）

（3）答：；由外到內(nèi)。

例題求下列函數(shù)的定義域第二十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日答案例題第二十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日1．函數(shù)的單調(diào)性:三、函數(shù)的簡單性態(tài)第二十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日xyoxyo第二十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日說明：1單調(diào)增與單調(diào)減的函數(shù)，統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。使函數(shù)單調(diào)的區(qū)間，稱為單調(diào)區(qū)間。2單調(diào)性與函數(shù)本身有關(guān)，也與所考慮的區(qū)間有關(guān)。3就上述例題，再談?wù)勥B續(xù)性與單調(diào)性關(guān)系。第二十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX2．函數(shù)的有界性:教學(xué)：詳細討論，引出抽象概念。第二十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日(下界)(上界)3.借助記號，進一步談?wù)動薪?、無界的定義，舉例說明。第三十頁，共六十一頁，2022年，8月28日第三十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日第三十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日3．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)圖形關(guān)于y軸對稱。yxox-x第三十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日奇函數(shù)圖形關(guān)于原點對稱。yxox-x第三十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日第三十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日第三十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日4．函數(shù)的周期性:顯然，若T是周期，則kT也是。通常說的周期，是指其最小正周期.第三十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日例1解有界函數(shù),偶函數(shù),周期函數(shù)(無最小正周期)不是單調(diào)函數(shù),第三十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日四、復(fù)合函數(shù)定義:例如：第三十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日注意:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.3.常見的函數(shù)一般是復(fù)合函數(shù)，可以分解成一系列簡單函數(shù).第四十頁，共六十一頁，2022年，8月28日第四十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日例3解故第四十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日五、反函數(shù)DEDE第四十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.第四十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日第四十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日第四十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日六、初等函數(shù)1.冪函數(shù)第四十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日2.指數(shù)函數(shù)第四十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日3.對數(shù)函數(shù)第四十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日4.三角函數(shù)正弦函數(shù)第五十頁，共六十一頁，2022年，8月28日余弦函數(shù)第五十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日正切函數(shù)余切函數(shù)第五十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日正割函數(shù)余割函數(shù)第五十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日5.反三角函數(shù)第五十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日第五十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日第五十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日第五十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日

定義：冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).第五十八頁，共六十一頁