高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)極限

高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)極限第一頁，共四十一頁，2022年，8月28日一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限播放第二頁，共四十一頁，2022年，8月28日通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問題:如何用精確的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.第三頁，共四十一頁，2022年，8月28日第四頁，共四十一頁，2022年，8月28日2.另兩種情形:第五頁，共四十一頁，2022年，8月28日3.幾何解釋:第六頁，共四十一頁，2022年，8月28日例1證明證故不妨設(shè)|x|＞1，而當(dāng)|x|＞1時(shí)第七頁，共四十一頁，2022年，8月28日第八頁，共四十一頁，2022年，8月28日二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限先看一個(gè)例子

這個(gè)函數(shù)雖在x=1處無定義，但從它的圖形上可見，當(dāng)點(diǎn)從1的左側(cè)或右側(cè)無限地接近于1時(shí)，f(x)的值無限地接近于4，我們稱常數(shù)4為f(x)當(dāng)x→1時(shí)f(x)的極限。1xyo4第九頁，共四十一頁，2022年，8月28日第十頁，共四十一頁，2022年，8月28日第十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日注①定義習(xí)慣上稱為極限的ε—δ定義其三個(gè)要素：10。正數(shù)ε，20。正數(shù)δ，30。不等式②定義中所以x→x0時(shí)，f(x)有無極限與f(x)在x0處的狀態(tài)并無關(guān)系，這是因?yàn)槲覀兯P(guān)心的是f(x)在x0附近的變化趨勢，即x→x0時(shí)f(x)變化有無終極目標(biāo)，而不是f(x)在x0這一孤立點(diǎn)的情況。約定x→x0但

x≠x0第十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日③δ＞0反映了x充分靠近x0的程度，它依賴于ε，對(duì)一固定的ε而言，合乎定義要求的δ并不是唯一的。δ由不等式|f(x)－A|＜ε來選定，一般地，ε越小，δ越小2.幾何解釋:第十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日例2證明證于是恒有例3設(shè)x0＞0證明第十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日證恒有例4證明證（不妨設(shè)ε＜1）第十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日第十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日例5證明證不妨設(shè)第十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日注

在利用定義來驗(yàn)證函數(shù)極限時(shí)，也可考慮對(duì)|f(x)－A|進(jìn)行放大，放大的原則與數(shù)列時(shí)的情形完全相同。此外還須注意此時(shí)是在x=x0的附近考察問題的，對(duì)于“附近”應(yīng)如何理解，請(qǐng)揣摩一下。第十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日3.單側(cè)極限:例如,第十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日左極限右極限第二十頁，共四十一頁，2022年，8月28日例6證左右極限存在但不相等,第二十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.局部有界性2.唯一性3.不等式性質(zhì)（局部）定理(保序性)第二十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日推論定理(保號(hào)性)推論第二十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日4.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理第二十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日證第二十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.Heine定理，又稱歸并原則第二十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日即證明設(shè)即恒有再由則對(duì)上述有又故第二十七頁，共四十一頁，2022年，8月28日設(shè)對(duì)都有要證用反證法若即但現(xiàn)取有滿足即但此與矛盾第二十八頁，共四十一頁，2022年，8月28日例7證二者不相等,第二十九頁，共四十一頁，2022年，8月28日四、小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義(見下表)第三十頁，共四十一頁，2022年，8月28日過程時(shí)刻從此時(shí)刻以后過程時(shí)刻從此時(shí)刻以后第三十一頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考題第三十二頁，共四十一頁，2022年，8月28日思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.第三十三頁，共四十一頁，2022年，8月28日練習(xí)題一、填空題:第三十四頁，共四十一頁，2022年，8月28日第三十五頁，共四十一頁，2022年，8月28日練習(xí)題答案第三十六頁，共四十一頁，2022年，8月28日第三十七頁，共四