第二章 階段訓(xùn)練二

階段訓(xùn)練二(范圍：§2.1～§2.3)一、選擇題1．?dāng)?shù)列eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，－eq\f(1,16)，…的一個通項(xiàng)公式可能是()A．a(chǎn)n＝(－1)neq\f(1,2n) B．a(chǎn)n＝(－1)neq\f(1,2n)C．a(chǎn)n＝(－1)n－1eq\f(1,2n) D．a(chǎn)n＝(－1)n－1eq\f(1,2n)答案D解析分母2,4,8,16可看成2n，分子1，－1,1，－1可看成(－1)n－1，故選D.2．600是數(shù)列1×2,2×3,3×4,4×5，…的()A．第20項(xiàng) B．第24項(xiàng)C．第25項(xiàng) D．第30項(xiàng)答案B解析由數(shù)列1×2,2×3,3×4,4×5，…可得通項(xiàng)公式為an＝n(n＋1)，n∈N*，令n(n＋1)＝600，求得n＝24，故選B.3．若數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，則a2019等于()A.eq\f(1,2)B．－1C．2D．3答案C解析∵an＋1＝1－eq\f(1,an)，∴a2＝1－eq\f(1,a1)＝1－2＝－1，a3＝1－eq\f(1,－1)＝1＋1＝2，a4＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，則數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列．∵2019＝3×673，∴a2019＝a3＝2.4．若x是a與b的等差中項(xiàng)，x2是a2與－b2的等差中項(xiàng)，則a，b的關(guān)系是()A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)＝3bC．a(chǎn)＝－b或a＝3b D．a(chǎn)＝b＝0答案C解析由等差中項(xiàng)的定義知x＝eq\f(a＋b,2)，x2＝eq\f(a2－b2,2)，∴eq\f(a2－b2,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，即a2－2ab－3b2＝0，故a＝－b或a＝3b.5．(2018·新鄉(xiāng)模擬)已知等差數(shù)列{an}中，a1012＝3，S2017＝2017，則S2020等于()A．2020B．－2020C．－4040D．4040答案D解析由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，S2017＝eq\f(a1＋a2017,2)×2017＝eq\f(2a1009,2)×2017＝2017a1009＝2017，則a1009＝1，據(jù)此可得，S2020＝eq\f(a1＋a2020,2)×2020＝1010eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1009＋a1012))＝1010×4＝4040.6．等差數(shù)列{an}中，已知a1＝－6，an＝0，公差d∈N*，則n(n≥3)的最大值為()A．5B．6C．7D．8答案C解析由an＝a1＋(n－1)d，得－6＋(n－1)d＝0，n＝eq\f(6,d)＋1，因?yàn)閐∈N*，所以當(dāng)d＝1時，n取最大值7.7．已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且eq\f(An,Bn)＝eq\f(7n＋45,n＋3)，則使得eq\f(an,bn)為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是()A．2B．3C．4D．5答案D解析∵eq\f(an,bn)＝eq\f(A2n－1,B2n－1)＝eq\f(14n＋38,2n＋2)＝eq\f(7n＋19,n＋1)＝7＋eq\f(12,n＋1)為正整數(shù)，∴n＝1,2,3,5,11.8．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，若數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列，則()A．d>0B．d<0C．a(chǎn)1d>0D．a(chǎn)1d<0答案D解析由數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列，得2a1an<2a1an－1，再由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得a1an－1>a1an，由等差數(shù)列的公差為d知，an－an－1＝d，所以a1an－1>a1an，即a1an－a1an－1<0，即a1(an－an－1)<0，即a1d<0.二、填空題9．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2－8n＋12，則該數(shù)列中為負(fù)數(shù)的項(xiàng)一共有項(xiàng)．答案3解析令an＝n2－8n＋12<0，解得2<n<6，因?yàn)閚∈N*，所以n＝3,4,5，一共有3項(xiàng)．10．在等差數(shù)列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，m，n∈N*，且m>n，則am＝.答案eq\f(A＋B,2)解析因?yàn)閍m＋n與am－n的等差中項(xiàng)是am，所以am＝eq\f(A＋B,2).11．若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝3n2＋n，則數(shù)列{an}的公差d＝.答案6解析當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝4；當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝6n－2.當(dāng)n＝1時，a1＝4滿足上式，∴an＝6n－2.又∵{an}為等差數(shù)列，∴4＋(n－1)d＝6n－2，∴d＝6.12．在項(xiàng)數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列{an}中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則n的值為．答案10解析在等差數(shù)列{an}中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和S奇＝eq\f(n＋1a1＋a2n＋1,2)＝165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和S偶＝eq\f(na2＋a2n,2)＝150.∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴eq\f(n＋1,n)＝eq\f(165,150)＝eq\f(11,10)，∴n＝10.三、解答題13．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，求{an}的通項(xiàng)公式．解因?yàn)閍1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故當(dāng)n≥2時，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．兩式相減得(2n－1)an＝2，所以an＝eq\f(2,2n－1)(n≥2).又由題設(shè)可得a1＝2，符合an＝eq\f(2,2n－1)，從而{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2,2n－1)，n∈N*.14．在等差數(shù)列{an}中，已知a10＝30，a20＝50.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn<eq\f(1,24).(1)解由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋9d＝30，,a1＋19d＝50，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝12，,d＝2，))∴an＝2n＋10.(2)證明由(1)可知eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋1)))，∴Tn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)－\f(1,a2)＋\f(1,a2)－\f(1,a3)＋…＋\f(1,an)－\