奧數(shù)長(zhǎng)方體正方體體積

知識(shí)框架相關(guān)要素三要素：相關(guān)要素三要素：a、b、h二要素：s、h一要素：a二要素：s、h立體圖形示例體積公式=abh長(zhǎng)方體=sh-a3正方體-sh重難點(diǎn)重點(diǎn)：長(zhǎng)方體與正方體的表面積和體積的計(jì)算公式的理解性記憶與運(yùn)用.難點(diǎn)：切割和穿孔圖形的空間想象.例題精講1.如果一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方體的體積增加208立方厘米后仍是正方形，則邊長(zhǎng)增加厘米.原來(lái)體型2x2迎=8,后來(lái)體積8+208=216立方厘米，216=6x6x6,邊世增加02=4厘淞,【鞏固】用125個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方體可以拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為5厘米的正方體，要使拼成的立方體的邊長(zhǎng)變?yōu)?厘米，則需要增加邊長(zhǎng)為1厘米的正方體個(gè).6x6x6=216)216-125=914^2.下圖中的(A)、(6)、(C)是三塊形狀不同的鐵皮，將每塊鐵皮沿虛線彎折后2.焊接成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體鐵桶。其中，裝水最多的鐵桶是由鐵皮焊接的.80TOC\o"1-5"\h\zcm7075

cm120cm140cm160c(A)(B)(C)分別求乩&□的缽積為：30x30x50=450(X1平方厘米；35x35x35=42X75平方厘米以及40x40x318000平方厘米所以c鐵皮裝水最多.【鞏固】如圖從長(zhǎng)為13厘米，寬為9厘米的長(zhǎng)方形硬紙板的四角去掉邊長(zhǎng)2厘米的正方形，然后，沿虛線折疊成長(zhǎng)方體容器.這個(gè)容器的體積是多少立方厘米？2913容器的底面積是(13-4a(S4)(平方厘米卜高為2厘米?所以容器的體積是，45片2=9(立方厘米).有一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)是寬的2倍，寬是高的3倍；長(zhǎng)的2與高的3之和比寬多1厘米.這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是立方厘米.長(zhǎng)的L即寬.，所以高的工就是1厘米：高是3厘米，寬是3乂三=%厘米，裝是9況2.=IX厘米，體23積是9x|S=4￡6(立方厘米〉【鞏固】一個(gè)長(zhǎng)方體的各條棱長(zhǎng)的和是48厘米，并且它的長(zhǎng)是寬的2倍，高與寬相等，那么這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是立方厘米.依翅意，這個(gè)箕方體的長(zhǎng)、寬、高之和是4Re4=12（厘米）,于是它的寬與高都等于1之+值十1十11-3（厘淞卜它的性是3x2=6厘米.所以這個(gè)長(zhǎng)才體的體積是相乂.3工,3=54（立方座米），一個(gè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)之和是28厘米，而長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)度各不相同，并且都是整厘米數(shù)，則長(zhǎng)方體的體積等于立方厘米。由題意如長(zhǎng)，寬，高的和為2g4=7,又根據(jù)題意長(zhǎng)，寬、高各不相同，且是整數(shù)，所以只能是1、2、4,所以體積為8立方厘米【鞏固】某工人用薄木板釘成一個(gè)長(zhǎng)方體的郵件包裝箱，并用尼龍編織條（如圖所示）在三個(gè)方向上的加固．所用尼龍編織條分別為365厘米，405厘米，485厘米．若每個(gè)尼龍加固時(shí)接頭重疊都是5厘米．問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方體包裝箱的體積是多少立方米?高長(zhǎng)高長(zhǎng)I女方體中TOC\o"1-5"\h\z高十寬=/3?！?gt;=1加，<1）高4欠=1-（405-5）=200,⑵口寬=；（皿5—5）=24。,⑶⑵-⑴；蟲-寬=如，⑷（4）+（3）：長(zhǎng)=1三口，從而寬=11。,代將■高=70T所以長(zhǎng)方體體積為70x11（>x130=1001001（立方厘米0=I0（）1（立方米）5.一個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是33.66平方分米，其中一個(gè)面的長(zhǎng)是2.3分米，寬是2.1分5.米，它的體積是立方分米.長(zhǎng)方體的高是（33而6-2」x23x2）2-=■（2.1+2.3）=竺（分來(lái)）.長(zhǎng)方體的體積是NIC也=13衛(wèi)（立方分米）.111W【鞏固】若長(zhǎng)方體的三個(gè)側(cè)面的面積分別是6,8,12,則長(zhǎng)方體的體積是—?！勘P長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為％'，J則有/，.，⑺的值分別為箍8,12,可得長(zhǎng)方體的體積的平方』三”"狂MS三后父除匕三—4乂2*⑶三2",所以此長(zhǎng)才依的體積為加，一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的長(zhǎng)方形，現(xiàn)從它的上面盡可能大的切下一個(gè)正方體,然后從剩余的部分再盡可能大的切下一個(gè)正方體,最后再?gòu)牡诙问Ｓ嗟牟糠直M可能大的切下一個(gè)正方體,剩下的體積是多少平方厘米？I歿題的關(guān)鍵是■確定三次切下的正方體的枝長(zhǎng).由于2I:15:12=7:5:4,為了方便起見.我們先考慮長(zhǎng)，寬、高分別為7厘米、5厘米、4厘米的優(yōu)分體.因?yàn)?>5>4,容易知道第一次切下的正方體棱長(zhǎng)應(yīng)該是4厘米〔如圖），第二次切時(shí)，切下枝長(zhǎng)為3厘米的正方體符合要求.第三次切時(shí)，切下校長(zhǎng)為2厘米的正方體符合要求.剩下的體積應(yīng)是21*15乂12-（12,+/+63=1107（平方厘米）.【鞏固】一個(gè)3x5x6長(zhǎng)方形，現(xiàn)從它的上面盡可能大的切下一個(gè)正方體，然后從剩余的部分再盡可能大的切下一個(gè)正方體,最后再?gòu)牡诙问Ｓ嗟牟糠直M可能大的切下一個(gè)正方體,剩下的體積是多少平方厘米？I本題的關(guān)犍是確定三次切下的正方體的楂長(zhǎng).，因?yàn)?>5>3，客務(wù)如遂第一次切下的正方體楂長(zhǎng)應(yīng)該是3厘米（小圉）,第二次切時(shí)，切下棱長(zhǎng)為三厘米的正方體符合要求.第三次切時(shí)，切下棱箕為2厘米的正分體符合要求.剩下的體積應(yīng)是3乂5K6-（33+3,+胃）=2a（平方厘米｝.如圖,底面積為50平方厘米的圓柱形容器中裝有水,水面上漂浮著一塊棱長(zhǎng)為5厘米的正方體術(shù)塊,木塊浮出水面的高度是2厘米。若將木塊從容器中取出,水面將下降厘米。木塊浸入水中的體積為8x5x5=75立方厘米，如果把木塊拿出，那么四周的水要補(bǔ)充一部分來(lái)填充這部分體積，需要下降7595g].5厘米.【鞏固】如圖，長(zhǎng)30厘米，寬30厘米，高40厘米的長(zhǎng)方體容器中裝有水，水面上漂浮著個(gè)籃球，籃球在水面下的體積360立方厘米，是若將籃球從容器中取出，水面將下降厘米。,重球浸入水中的體積為北。立方厘米，如果把木塊拿出，那么四周的水要補(bǔ)充一部分來(lái)填充這新分體積，需要下降360+（30*3。）=04厘米，如圖所示，一個(gè)5x5x5的立方體，在兩個(gè)方向上開有1x1x5的孔，剩余部分的體積為.I原正方儂體積為5*5乂5=125,切去部分的體積為5+5-1=9,所以原正方體剩下部分的依積為I”-9=I1L【鞏固】如圖所示，一個(gè)5x5x5的立方體，在一個(gè)方向上開有1x1x5的孔，在另一個(gè)方向上開有2x1x5的孔，剩余部分的體積為.

I原正方體體積為5x5x5=125,切去部分的體積為5+10-]=14,所以原正方體剩下梆分的體積為125-14=11I.如右圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為3厘米的正方體，分別在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個(gè)截口是邊長(zhǎng)為1厘米的正方形的長(zhǎng)方體（都和對(duì)面打通）．試求正方體的體積．I原正方體儂積為3乂三乂3=27,切去部分的體積為3+3+3-2=7,所以原正方體剩下部分的體積為27-7=20.【鞏固】一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為12、9、7厘米的長(zhǎng)方體，在它的每組兩兩相對(duì)的面的正中央都打一個(gè)邊長(zhǎng)為4厘米的正方形的貫穿洞.那么這個(gè)長(zhǎng)方體剩下部分的體積是立方厘米．

|原正方體體需為1x2對(duì)=,切去部分的體積為1x2x4-f4k9x4-f4x7x4,所以原正方體剩下部分的體積為756-320=436.有一個(gè)棱長(zhǎng)為5cm的正方體木塊，從它的每個(gè)面看都有一個(gè)穿透的完全相同的孔（右上圖），求這個(gè)立體圖形的體積．將此帶乳的正方體看做由八個(gè)2乂2x2—￡心”的正方體（8個(gè)頂角）和12個(gè)的正方體（12條棱中段）粘成的.所以總的體積為：8式8“12=76平方厘米【鞏固】如圖所示，一個(gè)5x5x5的立方體，在一個(gè)方向上開有1x1x5的孔，在另一個(gè)方向上開有2x1x5的孔，在第三個(gè)方向上開有3x1x5的孔，剩余部分的體積是多少？【解析】法—：直接計(jì)算一原正才體體積為5x5x5=125,先切加1，5，再切"]*5,最后切1乂1父5一切去部分的帳積為[5工3十（5-M?（5-。川（5用:所以原正才體剩下部分的體積為M.5-？5=10.法二：切片法一將整個(gè)圖形切片，加果切南平行于娠面，那么用個(gè)切片分別如圖:將到總缽積為：22x4+12=101）溫給檢融【例1】一根長(zhǎng)方體木料，體積是0.078立方米.已知這根木料長(zhǎng)1.3米.寬為3分米，高該是多少分米?孫健同學(xué)把高錯(cuò)算為3分米.這樣，這根木料的體積要比0.078立方米多多少？0.078^（1.3x03）-0.2（米）?0.2米=2介米.13x0.3x03-0.073=。⑷39（立方米）.所以這根木料的高是2分米；算錯(cuò)后：這根木料的體積比。用7岳立方米多口.｛方9立方米.【鞏固】一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為8厘米、14厘米、16厘米的長(zhǎng)方形，現(xiàn)從它的上面盡可能大的切下一個(gè)正方體，然后從剩余的部分再盡可能大的切下一個(gè)正方體，最后再?gòu)牡诙问Ｓ嗟牟糠直M可能大的切下一個(gè)正方體，剩下的體積是多少平方厘米？I本題的關(guān)鍵是確定三次切下的正方體的棱長(zhǎng).由于14"6=4:7:呂，為了方便起見.我們先考寬、高分別為&厘米、7厘米，4厘米的長(zhǎng)方體.因?yàn)閄474,容易知道第一次切下的正方應(yīng)該是4厘米（如圖），第二次切時(shí)，切下棱卷為4厘米的正方體符合要求.第三次切時(shí)，-長(zhǎng)為3厘米的正方體符合要求.剩下的體積應(yīng)是1丘xl4xH-儼+爐+6）=552（平方厘米）.【鞏固】有大、中、小三個(gè)正方形水池，它們的內(nèi)邊長(zhǎng)分別是6米、3米、2米.把兩堆碎石分別沉沒(méi)在中、小水池的水里，兩個(gè)水池的水面分別升高了8厘米和9厘米.如果將這兩堆碎石都沉沒(méi)在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？把碎石沉浸在水中，水面升高所增加的體積，就笨于所沉入的碎石的體積因此I沉入水池中的碎石的體積是3空。一。理=0.72(米而沉入小水池中的碎石的體積是M2*口"=336(米)【鞏固】如圖所示，一個(gè)5x5x5的立方體，在一個(gè)方向上開有1x1x5的孔，在另一個(gè)方向上開有3x1x5的孔，在第三個(gè)方向上開有2x2x5的孔，剩余部分的體積為多少？I原正方體體積為5x5x5=125，切去部分的體積為［4乂5+3x(5—2)］十—2)=32，所以原正才體剩下部分的體型為125-32=93.一個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是2.2平方米，其中一個(gè)面的長(zhǎng)是5分米，寬是10分米，它的體積是立方米.長(zhǎng)方體的高是（2.2=2—0.5乂1）=（0.5+1）—04（米）.箕方體的體塞是Ix0,5x0.4=0.2（立方米）.nn某工人用木板釘成一個(gè)長(zhǎng)方體郵件包裝箱，并用三根長(zhǎng)度分別為235厘米、445厘米、515厘米的尼龍帶進(jìn)行加固（如下圖），若每根尼龍帶加固時(shí)截頭重疊都是5厘米，那么這個(gè)長(zhǎng)方體包裝箱的體積是立方米。性方形的箕為；（44S+5l5-235-5）-4=1H01厘米長(zhǎng)方根的寬為:（515-5-1882）—=751厘米）；長(zhǎng)方形的高為：（235-5-75x2卜”4仆（:屋來(lái)）；長(zhǎng)方形的體積為：1區(qū)口冥75工40^10^-0.54f立方米k一個(gè)5x8x10長(zhǎng)方形，現(xiàn)從它的上面至少切下個(gè)正方體，剩下的體積才會(huì)小于70?要使切的次數(shù)少，須使正方體棱長(zhǎng)盡量大.因?yàn)镮。>8>5,容易知道第一次切下的正方體棱卷最大是5厘米（如圖），第二次切時(shí)，最大棱長(zhǎng)也為5厘米.切兩次后剛好剩F一個(gè)5x3X10的立方體，體積為150立方厘米，第三次切時(shí)，最火能切下棧長(zhǎng).為3厘米的正方體.第四次劃時(shí)：聶大能初下枝長(zhǎng)為3厘米的正方體.第五次切時(shí)，最大能切下棱長(zhǎng)為3厘米的正方體.五次后體積為150-3、3=69符合題意邊長(zhǎng)40厘米立方體容器中裝有水，水面上漂浮著一個(gè)體積為7200立方厘米的籃球，籃球在水面下的體積1200立方厘米，是若將籃球按至剛好一半在水面下，水面將上升厘米。是若將籃球接至剛好一半在水面下，籃球浸入水中的體積為弘口0立方厘米，比原來(lái)多