專題1平面向量的概念及其線性運(yùn)算精講原卷版

專題6.1 平面向量的概念及其線性運(yùn)算【考綱要求】.平面向量的實(shí)際背景及基本概念：理解平面向量及幾何意義，理解零向量、向量的模、單位向量、向量相等、平行向量、向量夾角的概念..向量的線性運(yùn)算：掌握向量加法、減法、數(shù)乘的概念，并理解其幾何意義.本節(jié)涉及所有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)1.向量的概念.向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模..零向量：長(zhǎng)度等于0的向量，其方向是任意的..單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量..平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線..相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量..相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.知識(shí)點(diǎn)2.平面向量的線性運(yùn)算一.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算巴a三角形法則a平行四邊形法則(1)交換律：a+b=b+a；(2)結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b^c)減法求a與b的相反向量—b的和的運(yùn)算叫做a與b的差2ya三角形法則\二.向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義.定義：實(shí)數(shù)力與向量0的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作相，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下:①|(zhì)加=|川|a|；②當(dāng)丸＞0時(shí)，丸a的方向與a的方向相同；當(dāng)丸＜0時(shí)，丸a的方向與a的方向相反；當(dāng)丸=0時(shí)，丸a=0..運(yùn)算律：設(shè)A,^是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則：

②(②(九+旦)a='a+旦a③X(a^b)=^a+入b.知識(shí)點(diǎn)3.共線向量共線向量定理：向量比"0）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)九使得b=居.【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一向量的有關(guān)概念【典例1】（2020?新泰市第二中學(xué)高一期中）下列命題中正確的個(gè)數(shù)有（）①向量AB與CD是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在一直線上；②單位向量都相等；③任一向量與它的相反向量不相等；④共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同.A.0 B.1 C.2 D.3【典例2】（2020?衡水市第十四中學(xué)高一月考）下列說法錯(cuò)誤的是（）a.向量6r的長(zhǎng)度與向量AO的長(zhǎng)度相等B.零向量與任意非零向量平行C.長(zhǎng)度相等方向相反的向量共線 D.方向相反的向量可能相等【易錯(cuò)提醒】1.有關(guān)平面向量概念的注意點(diǎn)⑴相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.⑵共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).⑶向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混淆.（4）兩向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn).⑸零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量.它們的模確定，但方向不確定.【變式探究】1,給出下列命題：①兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；②若AB,C,D是不共線的四點(diǎn)，則AB=DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③若a與b同向，且|a|>|b|,則a>b；④入,為實(shí)數(shù)，若"=〃b，則a與b共線.其中假命題的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.4（2019?重慶高二期末）下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）①單位向量都相等；②模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量；③若a,b滿足同>b且a與b同向，則a>b；④若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合；⑤若a〃b,b//。，則a〃c.人?0個(gè) B.1個(gè) 0.2個(gè) D.3個(gè)【總結(jié)提升】,、,_,.一》a-一a一”. a 一〉 （1）非零向量a與E的關(guān)系：刀是與a同方向的單位向量，一|「是與a反方向的單位向量.⑵兩個(gè)向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大小.⑶兩平行向量有向線段所在的直線平行或重合，易忽視重合這一條件.（4）幾個(gè)重要結(jié)論①向量相等具有傳遞性，非零向量的平行具有傳遞性;②向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算【典例3】（2020?湖南衡陽(yáng)?三模（文））在平行四邊形ABCD中，若CE=4ED，則BE=（）a—3Ab+Ad b4Ab-Ad c-Ab+4AD d-4Ab+AdTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument".4 B5 C, 5 D. 5【典例4】（2018年新課標(biāo)I卷理）在△48。中，AD為BC邊上的中線，E為4。的中點(diǎn)，則EB=（ ）A.348-14。B.148-34。4 4 4 4C.3AB+14。D.148+34。4 4 4 4【規(guī)律方法】.常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則..找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解.【變式探究】（2018?廣東高三會(huì)考）如圖，o是平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則下列等式正確的是I1B CA.DA-DC=AC b,DA+DC=DOC.OA-OB+AD=DB d,AO+OB+BC=AC(2019?廣東高考模擬(理))已知A,B,C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿足16OA-12OB-3OC二。，則( )a.OA=12AB+3AC b.OA=12Ab-3AcC.OA=-12Ab+3AC D.OA=-12AB-3Ac【總結(jié)提升】平面向量的線性運(yùn)算技巧(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解.(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解.考點(diǎn)三利用向量線性運(yùn)算求參數(shù)【典例5(2020?全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))已知X,y是實(shí)數(shù),向量W,b不共線，若(%+y-1)a+(%-y)b=0,則％=,y=.【典例6】(2020?三亞華僑學(xué)校高一開學(xué)考試)已知四邊形ABCD為正方形，BP=3CP,AP與CD交于點(diǎn)E，若PE=mPC+nPD，則m-n=.【總結(jié)提升】利用平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路⑴沒有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置.⑵利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式.⑶比較、觀察可知所求.【變式探究】

1.（2019?山東高考模擬（文））在正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，若AE=九AB+四AC，則九十N的值為（）A.1BA.1B.2D.12.（2019?北京高考模擬（文））設(shè)E為，ABC的邊AC的中點(diǎn)，BE=mAB+nAC，則m，n的值分別為（）2.A.-1，22,A.-1，22,-1-2，1d1，2考點(diǎn)四共線向量及其應(yīng)用【典例7】設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b),求證：A,B,口三點(diǎn)共線;⑵試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.【典例8】（2020?上海高三專題練習(xí)）設(shè)￡,b是不共線的兩個(gè)向量，已知AB=2a+kb,BC=a+b,CD=a—2b若A、B、D三點(diǎn)共線，求k的值.【規(guī)律方法】1.平面向量共線定理的三個(gè)應(yīng)用證明向量共線對(duì)于非零向量q,伍若存在實(shí)效人使a=Ab,則口與辦共線證明三點(diǎn)共線若存在實(shí)數(shù)九使％至=4就.施與就有公共點(diǎn)A,則三點(diǎn)共線求參數(shù)的值利用向量共線定理及向量相等的條件列方程（組）求參數(shù)的值2.求解向量共線問題的注意事項(xiàng)⑴向量共線的充票條件中，當(dāng)兩向量共線時(shí)，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定⑴向量共線的充票條件中，當(dāng)兩向量共線時(shí)，系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.⑵證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線⑵證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得到三點(diǎn)共線.⑶直線的向量式參數(shù)方程：A,P,⑶直線的向量式參數(shù)方程：A,P,8三點(diǎn)共線OP=(1—t)?OA+tOB(O為平面內(nèi)任一點(diǎn),t￡R).【變式探究】.設(shè)卷3是不共線的兩個(gè)向量，已知前=五+2江瓦^袤一跖，麗=-五+2譏則()A. 4、B、。三點(diǎn)共線 B. B、C、。三點(diǎn)共線C. 4、B、^三點(diǎn)共線 D. 4、C、。三點(diǎn)共線2.已知A,B,P三點(diǎn)共線，O為