二次根式的概念與性質(zhì)

-.z.二次根式的概念與性質(zhì)

編稿：莊永春審稿：邵劍英責(zé)編：張楊

一、目標(biāo)認(rèn)知1.學(xué)習(xí)目標(biāo)：

理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)的理由；理解并掌握以下結(jié)論：，，，并利用它們進(jìn)展計(jì)算和化簡．

2.重點(diǎn)：；，及其運(yùn)用．

3.難點(diǎn)：

利用，，解決具體問題.

二、知識要點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一：二次根式的概念

一般地，我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，"〞稱為二次根號．

要點(diǎn)詮釋：

二次根式的兩個(gè)要素：①根指數(shù)為2；②被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).

知識點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)

1.；

2.；

3.；

4.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；

5.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.

要點(diǎn)詮釋：

二次根式(a≥0)的值是非負(fù)數(shù)，其性質(zhì)可以正用亦可逆用，正用時(shí)去掉根號起到化簡的作用；逆用時(shí)可以把一個(gè)非負(fù)數(shù)寫成完全平方的形式，有利于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)展因式分解.

知識點(diǎn)三：代數(shù)式

形如5，a，a+b，ab，，*3，這些式子，用根本的運(yùn)算符號(根本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式(algebraice*pression).

三、規(guī)律方法指導(dǎo)

1.如何判斷一個(gè)式子是否是二次根式？

(1)必須含有二次根號，即根指數(shù)為2；

(2)被開方數(shù)可以是數(shù)也可以是代數(shù)式但必須是非負(fù)的，否則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義.

2.如何確定二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義必須滿足被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).要確定被開方數(shù)中所含字母的取值范圍，可根據(jù)題意列出不等式，通過解不等式確定字母的取值范圍.當(dāng)二次根式作為分母時(shí)要注意分母不能為零.經(jīng)典例題透析

類型一：二次根式的概念

1、以下式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

、、、(*＞0)、、、、、(*≥0，y≥0)．

思路點(diǎn)撥：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號"〞；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0．

解：二次根式有：、(*＞0)、、、(*≥0，y≥0)；

不是二次根式的有：、、、．

2、當(dāng)*是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

思路點(diǎn)撥：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0，所以3*-1≥0，才能有意義．

解：由3*-1≥0，得：*≥

當(dāng)*≥時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．

總結(jié)升華：要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．

舉一反三

【變式1】*是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，以下各式實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

(1)；(2)；

解：(1)由≥0，解得：*取任意實(shí)數(shù)

∴當(dāng)*取任意實(shí)數(shù)時(shí)，二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都有意義.

(2)由*-1≥0，且*-1≠0，解得：*＞1

∴當(dāng)*＞1時(shí)，二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都有意義.

【變式2】當(dāng)*是多少時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

思路點(diǎn)撥：要使+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

必須同時(shí)滿足中的2*+3≥0和中的*+1≠0．

解：依題意，得

由①得：*≥-

由②得：*≠-1

當(dāng)*≥-且*≠-1時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．

類型二：二次根式的性質(zhì)

3、計(jì)算：

(1)(2)(3)(4)

(5)(b≥0)(6)

思路點(diǎn)撥：我們可以直接利用(a≥0)的結(jié)論解題．

解：

(1)(2)=；(3)；

(4)=；(5)；

(6)．

舉一反三

【變式1】計(jì)算：

(1)；(2)；

(3)；(4).

思路點(diǎn)撥：(1)因?yàn)?≥0，所以*+1＞0；(2)a2≥0；

(3)a2+2a+1=(a+1)2≥0；(4)4*2-12*+9=(2*)2-2·2*·3+32=(2*-3)2≥0．

所以上面的4題都可以運(yùn)用的重要結(jié)論解題．

解：(1)因?yàn)?≥0，所以*+1＞0

；

(2)∵a2≥0，∴；

(3)∵a2+2a+1=(a+1)2

又∵(a+1)2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1；

(4)∵4*2-12*+9=(2*)2-2·2*·3+32=(2*-3)2

又∵(2*-3)2≥0

∴4*2-12*+9≥0，∴=4*2-12*+9.

4、化簡:

(1)；(2)；(3)；(4).

思路點(diǎn)撥：因?yàn)?1)9=32，(2)(-4)2=42，(3)25=52，(4)(-3)2=32，所以都可運(yùn)用去化簡．

解：(1)==3；(2)==4；

(3)==5；(4)==3.

5、填空：當(dāng)a≥0時(shí)，=____；當(dāng)a＜0時(shí)，=______，并根據(jù)這一性質(zhì)答復(fù)以下問題．

(1)假設(shè)=a，則a可以是什么數(shù)？

(2)假設(shè)=-a，則a可以是什么數(shù)？

(3)＞a，則a可以是什么數(shù)？

思路點(diǎn)撥：

∵=a(a≥0)，

∴要填第一個(gè)空格可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使"()2〞中的數(shù)是正數(shù)，

因?yàn)椋?dāng)a≤0時(shí)，=，則-a≥0．

(1)根據(jù)結(jié)論求條件；(2)根據(jù)第二個(gè)填空的分析，逆向思想；(3)根據(jù)(1)、(2)可知，而要大于a，只有什么時(shí)候才能保證呢？

解：(1)因?yàn)?，所以a≥0；

(2)因?yàn)椋詀≤0；

(3)因?yàn)楫?dāng)a≥0時(shí)，要使，即使a＞a所以a不存在；當(dāng)a＜0時(shí)，，

要使，即使-a＞a，即a＜0；綜上，a＜0.

類型三：二次根式性質(zhì)的應(yīng)用

6、當(dāng)*=-4時(shí)，求二次根式的值.

思路點(diǎn)撥：二次根式也是一種代數(shù)式，求二次根式的值和求其他代數(shù)式的值方法一樣.

解：將*=-4代入二次根式，得=.

7、(1)y=++5，求的值．

(2)假設(shè)+=0，求的值．

解：(1)由可得，，

(2)

8、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

(1)*2-5；(2)*3-2*；

解:(1)原式

.

(2)原式

.學(xué)習(xí)成果測評

根底達(dá)標(biāo)

一、選擇題

1.以下式子中，不是二次根式的是()

A．B．C．D．

2.一個(gè)正方形的面積是5，則它的邊長是()

A．5B．C．D．以上皆不對

3.(福建省福州市)假設(shè)代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則*的取值范圍為()

A．*＞0B．*≥0C．*≠0D．*≥0且*≠1

4．的值是()

A．0B．C．4D．以上都不對

5．a(chǎn)≥0時(shí)，、、，比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的選項(xiàng)是()

A．B．

C．D．

6.(遼寧省大連市)如圖，數(shù)軸上點(diǎn)N表示的數(shù)可能是()

A．B．

C．D．

二、填空題

1.假設(shè)，則*=____________.

2.假設(shè)有意義，則的取值范圍是____________.

3．-=________．

4.=____________.

5.=____________.

6.假設(shè)，則____________.

7.假設(shè)，則____________；假設(shè)，則____________.

8.化簡：=__________.

9.計(jì)算：(1)=_______；

(2)=________；

(3)=________。

10.(內(nèi)蒙古鄂爾多斯市)如圖，在數(shù)軸上，A、B兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)有_______個(gè)．

三、解答題

1.求以下二次根式中字母a的取值范圍：

(1)，(2)；(3).

2.*工廠要制作一批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m，按設(shè)計(jì)需要，底面應(yīng)做成正方形，試問底面邊長應(yīng)是多少？

能力提升

一、選擇題

1.使式子有意義的未知數(shù)*有()個(gè)

A．0B．1C．2D．無數(shù)

2.(山西省臨汾市)假設(shè)，則與3的大小關(guān)系是()

A．B．C．D．

3.以下計(jì)算正確的選項(xiàng)是()

A．B．C．D．

4.(福建省廈門市)以下四個(gè)結(jié)論中，正確的選項(xiàng)是()

A.B.C.D.

二、填空題

1.假設(shè)，則____________.

2．假設(shè)是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是________．

3.實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如下列圖，則____________.

三、解答題

1.當(dāng)*是多少時(shí)，+*2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

2.假設(shè)+有意義，求的值.

3.(北京市海淀區(qū))實(shí)數(shù)*，y滿足，求代數(shù)式的值.

4.，求*+y的值.

綜合探究

1.(福建省南安市)觀察分析以下數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律：0，，，3，2，，3，……則第10個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是____________.

2.(江蘇省蘇州市)等式中的括號應(yīng)填入____________.

3．先化簡再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+的值，甲乙兩人的解答如下：

甲的解答為：原式=a+=a+(1-a)=1；

乙的解答為：原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17．

兩種解答中，_______的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是__________．

4.假設(shè)時(shí)，試化簡.

5．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解以下因式:

(1)；(2).

答案與解析

根底達(dá)標(biāo)

一、1.D2.B3.D4.C5.A6.B

二、1.162.3.-0.024.5.2-*

6.7.8.9.(1)；(2)6；(3)-610.4

三、

1.解：(1)由a+1≥0，得a≥-1

∴字母a的取值范圍是大于或等于-1的實(shí)數(shù)。

(2)＞0，得1-2a＞0，即a＜

∴字母a的取值范圍是小于的實(shí)數(shù)。

(3)因?yàn)闊o論a取何值，都有，所以a取值范圍是全體實(shí)數(shù)。

2.解：設(shè)底面邊長為*，則0.2