傳染病模型與應用

.../題目傳染病模型及其應用院部數(shù)學與信息科學學院專業(yè)數(shù)學與應用數(shù)學指導教師評閱教師班級姓名學號2013年5月目錄摘要IAbstract:I1引言12模型建立12.1SARS模型的基本假設(shè)22.2模型一,SIR模型22.3模型二,基于SIR的改進模型33.模型求解43.1SIR模型的求解43.2改進SIR模型求解54結(jié)果分析65模型的改進與推廣6結(jié)束語6參考文獻6致謝8...摘要：用數(shù)學模型幫助發(fā)現(xiàn)傳染病的傳播機理來預測傳染病的發(fā)展趨勢已成為控制和預防傳染病的主流方法,"非典"給我國社會的發(fā)展和人民身體的健康帶來了不可估量的損失,如何進行有效的防治,一直是我國理論專家和實踐工作者普遍關(guān)心的問題,本文以經(jīng)典的傳染病模型〔SIR模型為參考,在其基礎(chǔ)上進行改進,將總?cè)丝趧澐譃橐韵挛孱悾航】等恕⒁伤苹颊?、病人、感染后治愈、感染后不治身?以此建立一個新的SARS模型,該模型描述了各類人數(shù)隨時間變化的變化規(guī)律.通過數(shù)值模擬,以及插值的方法,運用Matlab軟件,分別求解出疑似患者和病人的日接觸率,日治愈率和日死亡率.通過曲線擬合發(fā)現(xiàn)與實際數(shù)據(jù)非常吻合.本文最后還通過對參數(shù)隔離的擾動方式發(fā)現(xiàn)隔離措施對整個"非典"疫情的控制起著關(guān)鍵性的作用:隔離強度越大,采取隔離措施的時間越早,累計患病人數(shù)就越少,疫情就能越早受到控制.關(guān)鍵字：SIR模型；數(shù)值模擬；插值；參數(shù)隔離擾動Abstract:"SARS"toChina'ssocialdevelopmentandpeople'sphysicalhealthhasbroughtimmeasurableloss,howeffectivepreventionandtreatment,haslongbeenthetheoreticalexpertsandpractitionersaregenerallyconcernedabouttheproblem,thispaper,theclassicepidemicmodel<SIRmodel>asareference,basedonitsimprovement,thetotalpopulationisdividedintothefollowingfivecategories:healthypeople,suspectedpatients,patientscuredafterinfectionafterinfectionanddied.inordertoestablishanewmodelofSARS,themodeldescribesthevarioustypesoftime-dependentchangesinthenumberoflawbynumericalsimulation,andinterpolationmethods,theuseofmatlabsoftware,respectively,tosolvethesuspectedcontactwithpatientsandpatientsontheratecurerateanddailymortality.,bythecurvefittingtheactualdatafoundingoodagreementwiththispaperandfinallythroughtheparameterperturbationmethodthatisolatedquarantinemeasuresfortheentire"SARS"epidemiccontrolplaysakeyrole:thegreatertheintensityofisolation,quarantinemeasurestakensooner,thelessthecumulativenumberofpatients,thesoonertheepidemicundercontrol.Keywords:SIRmodel；numericalsimulation；interpolation；parametersofisolateddisturbances...1引言人類歷史上曾多次遭受危害及其嚴重的傳染病的威脅。近幾年發(fā)生的一些傳染病,如非典型性肺炎〔SARS,高致病性禽流感〔H5N1,甲型〔H1N1流感等,均對生命健康和社會生活造成了很大影響[1]。特別是在20XX冬到20XX春天,SARS傳染病突然侵襲了大半個中國,給國民經(jīng)濟和人民的正?；顒佣荚斐闪撕艽蟮挠绊?由于人們對此種傳染病的傳播機理還不太清楚,因而一度引起了人們心理上的恐慌。因此,預防和控制傳染病的研究就顯得極其重要。其實對傳染病的描述和預測是人們由來已久的話題,最早使用的完全是總結(jié)經(jīng)驗型的統(tǒng)計方法。在漫長的研究過程中,人們不斷地吸收最新數(shù)學和物理成果,使統(tǒng)計方法不斷得到改進,因此這種曾在歷史上起過很大作用的方法直到今天仍然是重要的研究手段[2]。目前,對傳染病的研究有4種方法：描述性研究[3]、分析性研究[4]、實驗性研究[5]和理論性研究[6]。在理論性研究中,數(shù)學模型起著極其重要的作用。它把傳染病的主要特征通過假設(shè)、參數(shù)、變量和它們之間的聯(lián)系清晰地揭示出來。數(shù)學模型的分析結(jié)果能提供許多強有力的理論基礎(chǔ)和概念。用數(shù)學模型幫助發(fā)現(xiàn)傳染病的傳播機理,預測傳染病的流行趨勢已成為共識?？v觀傳染病的數(shù)學模型研究,我們可把它們分為兩類：決定性模型[7]和網(wǎng)絡(luò)動力學模型[8]。目前隨著人工智能計算機技術(shù)的發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)動力學模型成為了新的研究熱點[9-12],但是決定論模型仍然具有非常重要的學術(shù)地位。本文主要就決定性模型介紹了SIR模型及SIR模型的改進。2模型建立在建模之前,需要對SARS傳染病的傳播規(guī)律進行具體的分析。首先,在不考慮城市流動人口和被隔離人口的情況下,我們將北京市總?cè)丝趧澐譃橐韵挛孱悾喝巳褐腥静『蟛恢紊硗稣?、人群中染病后恢復并獲得免疫力者、人群中染病者、人群中染病后處在潛伏期者,并且。在SARS病毒在北京的傳播初期,病毒的高傳染性并未顯現(xiàn),而且人們也沒有意識到它的嚴重性,因而沒有采取任何防護措施,小部分人開始被傳染并處于潛伏期。當潛伏期過后,病毒開始爆發(fā),此時的患者與人群接觸,導致新一批的人被感染并處于潛伏期。當發(fā)病過后,部分患者得不到及時的醫(yī)治而死亡。傳染病傳播的過程反復無常,難以控制,以至于在較短時間內(nèi)感染人數(shù)會迅速增多。并且,隨著時間的推移,發(fā)病人數(shù)也將不斷增加,死亡人數(shù)迅速增加。這使得人們對于病毒開始感到恐慌,造成社會的負面影響。這引起了政府及相關(guān)部門的重視,并開始采取措施。雖然疫情得到了控制,但由于當時沒有有效的抗病毒藥物,因此疫情只能通過患者自主愈合和死亡。在該期間內(nèi),每天的發(fā)病和死亡人數(shù)都在不斷減少,并最終降為零。根據(jù)上述對SARS傳播機制的分析結(jié)論,建立如下SARS傳播機制的流程圖。健康人健康人s疑似病人i1治愈r死亡e病人i2潛伏期者i1k2.1SARS模型的基本假設(shè)1本文主要考察的是北京地區(qū)的疫情變化,且考察的時間相對較短,故我們視人口總量不變,不考慮人口的出生率和自然死亡率,即為一常數(shù)N.2將SARS的傳播途徑視為與病人的有效接觸,每個健康人變成病人的途徑只能是與病人的有效接觸.3不考慮氣候條件對SARS傳播的影響.4為了使模型簡化,假設(shè)處于同一群體的每個個體與病人的日接觸率及有效接觸率相同.5假設(shè)SARS疫情的爆發(fā)有個初始時間.2.2模型一,SIR模型在建立改進的SIR模型之前,先對基本的SIR模型進行描述。基于參考文獻[3]中的5.1傳染病模型的模型三〔SIR,為了簡便起見,考慮、、為常數(shù),于是我們得到了類似于[3]中5.1傳染病模型的方程組：2.3模型二,基于SIR的改進模型以上一節(jié)基本的SIR模型為基礎(chǔ)。首先,根據(jù)人群分類情況可得：,．表示總的具備傳染力的人數(shù)比例.設(shè)每個疑似病人每天有效接觸的平均人數(shù)為；每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)為；疑似病人中實際感染了SARS病毒的比例為.則實際具備感染能力的疑似病人人數(shù)為：,那么實際具備感染能力的疑似病人每天感染的健康人人數(shù)為：.病人人數(shù)為：,每個病人每天感染的健康人人數(shù)為：.則健康人數(shù)每天的增量為：,上式中表示那些為當成是疑似病人但實際上為感染病毒,經(jīng)過隔離被放回來的人.病人中每天被治愈出院的人數(shù)占病人總數(shù)的比例為,病人中每天死亡的人數(shù)占病人總數(shù)的比例為,則死亡人數(shù)與治愈人數(shù)的變化量分別為：、,則結(jié)合以上幾式可得出具備傳染力的人數(shù)增量為：,綜上,可建立方程組模型：3.模型求解3.1SIR模型的求解對于模型一,我們同樣無法求出和的解析解,通過將上式消去,可得下列轉(zhuǎn)化方程：其解為：．其中,,,;1模型的數(shù)值模擬解由于參考文獻[3]5.1節(jié)中對于上式的分析太不直觀,因而只能得到i關(guān)于s的函數(shù).而和的表達式卻很難求出。因此,我們通過參考文獻[4]的數(shù)據(jù)進行求解。首先,我們假定北京市的人口總量為,,。隨后,利用matlab軟件處理參考文獻[4]中的數(shù)據(jù)給出的累計治愈出院人數(shù)、累計死亡人數(shù)、現(xiàn)有的疑似病例數(shù)和累計已確診病例數(shù)的具體數(shù)字,得到日死亡率=0.00244305,日治愈率=0.05507568,日感染率=0.03908794。從而,得到i關(guān)于時間t的函數(shù);最后,以累計已確診病例數(shù)和北京市人口總數(shù)N之差得到的健康人總數(shù),由此得到一組健康人數(shù)與總?cè)藬?shù)的比例值。將其作為擬合對象,多項式擬合次數(shù)為6次,得：;可得隨時間t變化的趨勢圖〔如圖1.再將的擬合函數(shù)帶入的解析式中,得到關(guān)于時間t的函數(shù)趨勢圖〔如圖2圖1圖2對圖2分析可知,患病人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例隨著時間的推移在不斷減小,并最終在t=50時降為0,即至此,SARS病情得到良好控制。最后,我們發(fā)現(xiàn)圖2中的病人人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比例隨著時間的推移始終是降低的,即嚴格的單調(diào)遞減,這與實際情況不相符合,其原因在于擬合是通過高次多項式擬合的結(jié)果,所以會存在一定的偏差.3.2改進SIR模型求解對于模型二,我們無法求出s<t>和i<t>的解析解.于是,本文根據(jù)在網(wǎng)上所收集到的從03年4月份到六月份的病人數(shù),疑似病人數(shù),死亡人數(shù)和治愈出院人數(shù)為基礎(chǔ)[4],求解該模型.下圖為用Matlab所畫的實際數(shù)據(jù)的散點圖：圖3由圖3可以觀察出四類數(shù)據(jù)的走勢情況.本文運用插值擬合的方法,對四類數(shù)據(jù)分別進行擬合,從而得到兩個日接觸率的值、以及日治愈率和日死亡率、.4結(jié)果分析通過對上述模型的觀察可以發(fā)現(xiàn),病人數(shù)量與三個參數(shù)日感染率、日死亡率和日治愈率的值呈現(xiàn)相關(guān)性變化,當增大日死亡率和日治愈率時,病人的數(shù)量會減緩增加,但是其變化并不明顯.而當增大日感染率時,病人人數(shù)的增加將被顯著的抑制.于是我們得出隔離措施對整個"非典"疫情的控制起著關(guān)鍵性的作用:隔離強度越大,采取隔離措施的時間越早,累計患病人數(shù)就越少,疫情就能越早受到控制.5模型的改進與推廣模型二通過從一個景點的微分方程模型入手,建立了針對SARS特點的微分方程數(shù)學模型,并通過對數(shù)據(jù)的處理,得到了SARS傳播的日感染率、日死亡率和日治愈率的值,它們是不同時刻各值的平均值,當所給數(shù)據(jù)間有很大擺動時,就會使模型結(jié)果產(chǎn)生很大的誤差.可以通過對不同時刻的這些參數(shù)進行線性擬合,可以得到三個關(guān)于時間的函數(shù)、、,這樣就可以隨時間調(diào)整它們的值,可以使得模型更好地預測SARS的傳播.結(jié)束語通過本次對北京市的病毒傳播的分析,建立的相關(guān)模型,對于以后類似的相關(guān)傳染病的傳播與分析起到相當大的幫助作用,為未來人們預防以及控制傳染病病毒起到非常大的幫助作用。參考文獻黃良英,丘修峰,周昌?。甋ARS傳播的數(shù)學模型的建立與分析[J]．XX大學學報.余雷,薛惠鋒,李剛．傳染病傳播模型研究[J]．計算機仿真,2007,24<04>：57-60．張發(fā),李璐,宣慧玉．傳染病傳播模型綜述[J]．系統(tǒng)工程理論與實踐,2011,31<09>：1736-1744．劉華,吳承強．兩類疾病同時存在的傳染病模型的定性分析[J]．XX大學學報〔自然科學版,2011,39<02>：160-166．孫有發(fā),郭旭沖,梁肖肖,劉彩燕,張成科．現(xiàn)實復雜情況下得SIRS型傳染病模型及其控制策略[