全國(guó)高中數(shù)學(xué)青年教師展評(píng)課三次函數(shù)圖象和性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)(山西太谷中學(xué))

《三次函數(shù)》教課方案一．教課內(nèi)容分析三次函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的一個(gè)重要載體，是應(yīng)用二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的好素材.本節(jié)課是在復(fù)習(xí)了函數(shù)（二次函數(shù)）和導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上的一節(jié)高三復(fù)習(xí)研究課.經(jīng)過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，有助于學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的進(jìn)一步理解和掌握.二．教課目的設(shè)置經(jīng)過本節(jié)的學(xué)習(xí)，達(dá)到以下三個(gè)目標(biāo)：知識(shí)與技術(shù)1）用函數(shù)的看法系統(tǒng)梳理三次函數(shù)的看法、圖象等相關(guān)性質(zhì)。2）利用三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(二次函數(shù))進(jìn)一步研究三次函數(shù)的圖象特點(diǎn),并正確記憶三次函數(shù)的圖象及性質(zhì).3）掌握與三次函數(shù)相關(guān)的常有問題及解決方法，以及在此過程中所浸透的轉(zhuǎn)變,分類議論,數(shù)形聯(lián)合等數(shù)學(xué)思想.過程與方法利用導(dǎo)數(shù)及二次函數(shù)的知識(shí)去研究三次函數(shù)的圖象，進(jìn)一步利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象間的關(guān)系來解決函數(shù)單一性、極值、最值、方程根的個(gè)數(shù)（圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)）、和恒建立問題.感情態(tài)度價(jià)值觀讓學(xué)生經(jīng)歷從特別到一般的認(rèn)識(shí)事物和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，領(lǐng)會(huì)事物之間的內(nèi)在聯(lián)系.三．學(xué)生學(xué)情剖析本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了二次函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)長(zhǎng)進(jìn)行的擴(kuò)展研究，是對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的拔高訓(xùn)練，雖有必定的知識(shí)貯備，可是仍有必定的理解難度.四．教課策略剖析利用學(xué)生已有的知識(shí)去研究其未認(rèn)識(shí)的知識(shí)，全部以學(xué)生的認(rèn)知構(gòu)造為出發(fā)點(diǎn)，去設(shè)置問題和選題.層層遞進(jìn)，由淺入深，指引并鼓舞學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并解決問題.五．教課過程知識(shí)梳理定義:形如f(x)ax3bx2cxd(a0)的函數(shù)叫做三次函數(shù).定義域R,值域R.f'(x)3ax22bxc,此中4(b23ac)a000yy導(dǎo)函數(shù)圖x1Ox2xOx0x

yOx0x原函數(shù)圖象單一(,x1),(x2,)單增區(qū)間(,)單增(x1,x2)單減極大值f(x1)極值

無極值極小值

f(x2)問題1:三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)圖象特點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是什么預(yù)設(shè)結(jié)果:①在(a,b)上,f'(x)0,則f(x)在(a,b)上單一遞加;

?f'(x)

0,

則

f(x)在

(a,b)

上單一遞減

;②當(dāng)0時(shí),原函數(shù)都是單一的且無極值點(diǎn),而0時(shí),原函數(shù)都是有三個(gè)單一區(qū)間且有兩個(gè)極值點(diǎn).設(shè)計(jì)企圖:是讓學(xué)生更深刻的理解記憶二次導(dǎo)函數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系.2.基本應(yīng)用例1.設(shè)函數(shù)f(x)x32x2x1,xR.1）求函數(shù)f(x)的單一區(qū)間和極值;2）求函數(shù)f(x)在0,3上的最大值.解:f'(x)3x24x1(x1)(3x1)由導(dǎo)數(shù)圖知,x(,1)或x(1,),f'(x)0,f(x)單增,3x(1,1),f'(x)0,f(x)單減,3,1),),單一遞減區(qū)間為(1,1).f(x)的單一遞加區(qū)間為((1,33又f(1)31,f(1)1.327131f(x)的極大值為f(),極小值為f(1)1.327(2)當(dāng)x(0,1),f'(x)0,f(x)單增,3當(dāng)當(dāng)

x1,f'(x)0,f(x)(,1)3x(1,3),f'(x)0,f(x)

單減,單增,f(1)31,f(3)13,f(x)maxf(3)13.327設(shè)計(jì)企圖:利用基本問題,穩(wěn)固基本方法.變式(1)題干條件不變，分別議論a的取值范圍,使得對(duì)于x的方程f(x)a有一個(gè),兩個(gè)，三個(gè)實(shí)根？(2)若對(duì)于x的不等式f(x)a在0,3上恒建立,求a的取值范圍.解:(1)當(dāng)a31或a1時(shí),方程27當(dāng)a31或a1時(shí),方程27

f(x)a有一個(gè)根;f(x)a有兩個(gè)根;當(dāng)1a31時(shí),方程f(x)a有三個(gè)根;27(2)af(x)af(x)max,即a13.問題2:1）請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)求函數(shù)單一區(qū)間，極值，最大（小）值的一般辦理方法.①求單一區(qū)間a.求f'(x)(定義域)b.解不等式f'(x)0,f'(x)0c.對(duì)應(yīng)的解集為單一增減區(qū)間.②求極值求f'(x)(定義域)解方程f'(x)0判斷根雙側(cè)導(dǎo)數(shù)值符號(hào)③求函數(shù)最大(小)值求f'(x)(定義域)研究f'(x)在給定區(qū)間上圖象狀況,從而復(fù)原原函數(shù)圖象找到最大(小)值（2）總結(jié)求方程根的個(gè)數(shù)問題的一般辦理方法.轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€與圖象的交點(diǎn)問題.3）總結(jié)恒建立問題的一般辦理方法.轉(zhuǎn)變?yōu)榍笞钪祮栴}.設(shè)計(jì)企圖:經(jīng)過變式進(jìn)一步穩(wěn)固基本方法,學(xué)生自己解決,獲取成就感.拓展升華例2.已知函數(shù)f(x)x3ax2x1,aR.（1）議論函數(shù)f(x)的單一區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)

f(x)

在區(qū)間

2,

1

內(nèi)是減函數(shù)，求

a的取值范圍

.33問題

3:

該題目與例

1有什么不一樣之處

?怎樣轉(zhuǎn)變求解

?預(yù)設(shè)結(jié)果

:例

2系數(shù)中不含參數(shù)

,此題含參

,致使

含參

,使得f(x)圖象與x軸地點(diǎn)不確立,要經(jīng)過議論使之確立.而第(2)問則要去限制二次導(dǎo)函數(shù)的圖象,用到一元二次方程根的散布.設(shè)計(jì)企圖:鼓舞學(xué)生對(duì)含參問題進(jìn)行研究,深入學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu).剖析:(1)

f(x)x3ax2x1,則f(x)3x22ax1,=4a212中含參,則f(x)圖象與x軸地點(diǎn)不確立,則要對(duì)來分類議論.（2）需要限制二次導(dǎo)函數(shù)的圖象.解:①當(dāng)0，3a3,f'(x)0,f(x)單一增函數(shù),單一增區(qū)間為(,)②當(dāng)0令f(x)aa23aa23明顯0,此時(shí)x13x23x2x1，由導(dǎo)函數(shù)圖象知，得出三次函數(shù)單一性.所以函數(shù)f(x)的單一遞加區(qū)間為(,aa23)和3(aa23,)單一遞減區(qū)間為(aa23,aa23)333法一:f(x)在區(qū)間(2,1)內(nèi)是減函數(shù),33f'(x)0在(2,1)33

恒建立.由導(dǎo)函數(shù)圖象知,f'(207)a34a2,f'(1)0a23a2.法二:f'(x)3x22ax10在(2,1)上恒建立,33即a3x211(3x1)令g(x)3x1,由對(duì)勾函數(shù)圖象2x2xx得,g(2)7,g(1)4,g(3)23,4g(x)23,3233312,a2g(x)2例3已知函數(shù)f(x)ax33x21,xR.a0,若在區(qū)間11上,22,2f(x)0恒建立,求a的取值范圍.問題4:函數(shù)f(x)在區(qū)間11上單一性怎樣?議論的標(biāo)準(zhǔn)是2,2什么?預(yù)設(shè)結(jié)果:相同都是含參的問題,而此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象跟著確實(shí)定基本能夠確立,有兩個(gè)不等實(shí)根,我們只要議論區(qū)間端點(diǎn)與極值點(diǎn)的大小關(guān)系.亦或許使參數(shù)分別轉(zhuǎn)而求函數(shù)的最值.設(shè)計(jì)企圖:更深層的考察學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握狀況,提高學(xué)生的轉(zhuǎn)變問題應(yīng)變能力.解:法一:f(x)ax33x21,xR,f'(x)3ax23x,2a0.f'(x)3ax(x1),如圖.11,即0aaⅰ)2,a2x1,0,f'(x)0,f(x)單增,2x0,1,f'(x)0,f(x)單減.2f(1)025a5,0a2.f(1)02ⅱ)11,即a2,a2x1,0,f'(x)0,f(x)單增,2x0,1,f'(x)0,f(x)單減ax1,1,f'(x)0,f(x)單增a2

,,f(1)022a5,2a5.f(1)02a綜上,0a5.法二:ax33x210對(duì)于隨意的x[1,1]恒建立.222當(dāng)x0時(shí),aR;當(dāng)x(0,1]時(shí),a313;22xx當(dāng)x[1,0)時(shí),a313;22xx令t1,t(,2][2,),g(t)t33t,x2當(dāng)t[2,)時(shí),g'(t)0,g(t)單一遞減,g(t)maxg(2)5,a5;當(dāng)t(,2]時(shí),g'(t)0,g(t)單一遞減,g(t)ming(2)5,a5;5a5.又a0,0a5梳理總結(jié)問題5:本節(jié)課你的收獲有哪些？請(qǐng)你從知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、問題、方法等方面進(jìn)行總結(jié).1、利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；2、利用圖象與性質(zhì)解決三次函數(shù)的幾類問題: