經(jīng)典ppt系列之簡諧振動

關(guān)于經(jīng)典ppt系列之簡諧振動第1頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五如：機械振動、電磁振動、分子振動、原子振動……。

任一物理量在某一定值附近往復(fù)變化均稱為振動.

機械振動物體圍繞一固定位置往復(fù)運動.

如一切發(fā)聲體、心臟、海浪起伏、地震以及原子的振動等.機械振動的特點：（1）有平衡點。

（2）且具有重復(fù)性。即具有周期性振動。

第2頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五機械振動的分類：（1）按振動規(guī)律分：簡諧、非簡諧、隨機振動。（2）按產(chǎn)生振動原因分：自由、受迫、自激、參變振動。（3）按自由度分：單自由度系統(tǒng)、多自由度系統(tǒng)振動。（4）按振動位移分：角振動、線振動。（5）按系統(tǒng)參數(shù)特征分：線性、非線性振動。

簡諧振動最簡單、最基本的振動.簡諧運動復(fù)雜振動合成分解

第3頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五§12-1簡諧振動第4頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五一彈簧振子的振動

彈簧振子若彈簧本身的質(zhì)量和摩擦力忽略不計，即只有彈性恢復(fù)力作用下的質(zhì)點的模型稱為彈簧振子

平衡位置物體所受合力為零，物體所在位置稱為平衡位置。自然長度l0平衡位置(原點）第5頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五任意位置令即簡諧振動的微分方程該微分方程的通解簡諧振動的運動學(xué)方程A,j為求解時的積分常量，由初始條件決定。是由諧振子本身的性質(zhì)決定的，稱為振動系統(tǒng)的固有角頻率。第6頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五2wcosA()wtj+簡諧振動的加速度avddt2wxxxcosA()wtj+簡諧振動的振動方程簡諧振動的速度vdtdxxAsinw(wtj+)0AAXv最大a0a最大v0a最大v0tXOAtaOA2wtvOAw第7頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五彈簧振子在彈性恢復(fù)力作用下的振動是簡諧振動。

（1）運動學(xué)定義：物體位移隨時間按余弦函數(shù)（或正弦函數(shù)）規(guī)律變化的運動稱為簡諧振動。

x=Acos(ωt+φ)（2）動力學(xué)定義：物體僅受下式的合力作用的振動稱為簡諧振動。

F=-kx（3）簡諧振動的運動微分方程

d2x/dt2+ω2x=0

簡諧振動定義

第8頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五討論:

豎直方向的彈簧振子的運動是否簡諧振動？第9頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五例

試證明，若選取受力平衡點作為位置坐標(biāo)原點，垂直彈簧振子與水平彈簧振子的動力學(xué)方程和振動方程相同。fxk()+rlrlmgXOf0平衡點mgxfmm在受力平衡點m小球f0mgkrl受彈性力大小選取受力平衡點作為位置坐標(biāo)原點小球在為置坐標(biāo)處所受彈性力xkxkrl+krlFmgxk()+rl+合外力振動方程xcosA()wtj+kxx動力學(xué)方程mddtx22k0k+微分方程ddtx22mx的解：均與水平彈簧振子結(jié)果相同解法提要例二第10頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五三描寫簡諧振動的三個特征量

從描寫簡諧振動的運動學(xué)方程中可看出，一個簡諧振動系統(tǒng)，若確定了A、ω、φ，則簡諧振動系統(tǒng)的振動就完全確定了，因此稱這三個量為簡諧振動的三個特征量。1振幅A

物體的運動范圍為：，將物體離開平衡位置的最大位移的絕對值稱為振動的振幅。平衡位置XOO-AAxOxOxOxO第11頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五2周期和頻率（1）周期完成一次振動需時間-----振動的周期。（2）頻率

每秒內(nèi)振動的次數(shù)稱為頻率ν，單位：赫茲（HZ）對彈簧振子：角頻率圖對單擺周期和頻率僅與振動系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)第12頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五3相位xxcosA()wtj+,()wtj+vAsinw相位：F()wtj+是界定振子在時刻的運動狀態(tài)的物理量t運動狀態(tài)要由位置和速度同時描述，而和的正負(fù)取決于

vxxvFtO，不是指開始振動，而是指開始觀測和計時。所謂時質(zhì)點的運動狀態(tài)xxcosAjOvAsinwjO位置速度tO初始條件即為初相：jtO是時，振子的相位。圖XOOxOxOxOxOOvOv(取或)第13頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五4常數(shù)和的確定初始條件cosjxOA或已知

求取第14頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五例四已知求例某物體沿

X軸作簡諧運動，振幅

A

=

0.12周期

T

=

2s，t=

0

時x0

=

0.06m處初相

j

,t=

0.5s

時的位置

x,速度

v,加速度a物體背離原點移動到位置A

=

0.12m，T

=

2s,w

=

2p/T=

prad·s-1,將j=p/3rad

及t=

0.5s

代入諧振動的

x,v,a定義式得x

A

cos(wt﹢j

)0.104(m)vdtdxxAsinw()wtj+0.19(

m·s-1)avddt2wcosA()wtj+2wx1.03(

m·s-2)解法提要x=

A

cos(wt﹢j

)由簡諧振動方程t=

0

時0.06=0.12cosj

得j=±p/3再由題意知t=

0

時物體正向運動，即AsinwjvO0xxOO且vOOj=p/3，則j在第四象限，故取第15頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五例一例已知mXt()sO)(0.040.0412簡諧振動的X~t曲線完成下述簡諧振動方程cos()x+t解法提要A=0.04(m)T=2(s)w

=

2p/T

=p(rad/s)cos()x+t0.04pp2(SI(t=0時第16頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五在不能延伸的輕線下端懸一小球m，小球在重力和拉力作用下，在鉛直平面內(nèi)作往復(fù)運動，這樣的振動系統(tǒng)稱為單擺。懸線與鉛直方向之間的角度θ作為小球位置的變量，稱為角位移，規(guī)定懸線在鉛直線右方時，角位移為正。

懸線的張力和重力的合力沿懸線的垂直方向指向平衡位置。OOOOllqqmgmgMM二單擺的振動

模型

平衡位置---鉛直方向

任意位置第17頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)θ很小時

sinθ≈

θ(θ

＜5°)

符合簡諧振動的動力學(xué)定義由牛頓第二定律令單擺運動學(xué)方程：OOOOllqqmgmgMM恢復(fù)力第18頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五§12-2簡諧振動的能量第19頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五線性回復(fù)力是保守力，作簡諧運動的系統(tǒng)機械能守恒

以彈簧振子為例（振幅的動力學(xué)意義）總機械能振幅不變第20頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五簡諧運動能量圖4T2T43T能量EkEp均隨時間而變且能量相互轉(zhuǎn)換EkEp均隨時間而變且能量相互轉(zhuǎn)換EkEp變到最大時變?yōu)榱鉋pEk系統(tǒng)的機械能E守恒。E8w2及A2特點變?yōu)榱阕兊阶畲髸r第21頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五例如圖，有一水平彈簧振子，彈簧的倔強系數(shù)k=24N/m，重物的質(zhì)量m=6kg，重物靜止在平衡位置上。設(shè)以一水平恒力F=10N向左作用于物體（不計摩檫），使之由平衡位置向左運動了0.05m，此時撤去力F。當(dāng)重物運動到左方最遠位置時開始計時，求物體的運動方程。解:第22頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五

例質(zhì)量為的物體，以振幅作簡諧運動，其最大加速度為，求：（1）振動的周期；（2）通過平衡位置的動能；（3）總能量；（4）物體在何處其動能和勢能相等？解（1）第23頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五（2）（3）（4）時，由第24頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五§12-3旋轉(zhuǎn)矢量第25頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五描述諧振動的方法：2.曲線法：3.旋轉(zhuǎn)矢量法：1.函數(shù)法：第26頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五t+t=t:

初相位t+

：相位11t=0OOAAXx=A

cos(wt﹢j)第27頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五t+t=t:

初相位t+

：相位11t=0OOAAXx=A

cos(wt﹢j)=0物體正越過原點,以最大速率運動.下個時刻要向x軸的負(fù)方向運動.第28頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五t+t=t:

初相位t+

：相位11t=0OOAAXx=A

cos(wt﹢j)=-A物體在負(fù)向位移極大處,速度為零.下個時刻要向x軸的正方向運動.第29頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五t+t=t:

初相位t+

：相位11t=0OOAAXx=A

cos(wt﹢j)=0物體正越過原點,以最大速率運動.下個時刻要向x軸的正方向運動.第30頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五t+t=t:

初相位t+

：相位11t=0OOAAXx=A

cos(wt﹢j)=A物體在正向位移極大處,速度為零.下個時刻要向x軸的負(fù)方向運動.第31頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五t:

初相位t+

：相位11t=0OOAAX循環(huán)往復(fù)A旋轉(zhuǎn)一周，投影點作一次全振動，所需時間為諧振周期。第32頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五t+t=t11t=0OOAAXx=A

cos(wt﹢j)旋轉(zhuǎn)矢量的模

A

振幅旋轉(zhuǎn)角速度ω逆時針角頻率與x軸的0時刻夾角φ初相位t時刻與x軸的夾角(wt﹢j)F相位矢量畫法小結(jié)第33頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五續(xù)上旋轉(zhuǎn)矢量端點M

作勻速圓周運動振子的運動速度（與X軸同向為正）vwA其速率MvvcosqvcosbwAsinvFsinjtw+()MMMAXOAAXOvwMFqbvvjtw+()F2pbObpqanMa

旋轉(zhuǎn)矢量端點M

的加速度為法向加速度，其大小為anw2A振子的運動加速度（與X軸同向為正）w2AaancosFcosjtw+()和av任一時刻的和值，其正負(fù)號僅表示方向。va同號時為加速va異號時為減速第34頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五振動質(zhì)點位移、速度與特征點(t=0時對應(yīng)的φ)x0>0時Φ在1,4象限v0>0時Φ在3,4象限第35頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五例1.一物體沿

x軸作簡諧振動，A=12cm,

T=2s

當(dāng)t=0時,x0=6cm,且向x正方向運動。解：（1）由旋轉(zhuǎn)矢量圖看（2）t=0.5s時,物體的位置、速度、加速度。求（1）初位相。（2）t=0.5s時第36頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五例一例已知mXt()sO)(0.040.0412簡諧振動的X~t曲線完成下述簡諧振動方程cos()x+t解法提要A=0.04(m)T=2(s)w

=

2p/T

=p(rad/s)cos()x+t0.04pp2XOAwjM(0(=p/2t=0v00

從t=0

作反時針旋轉(zhuǎn)時，A矢端的投影從x=0向X軸的負(fù)方運動，即，與已知X~

t曲線一致。v00(SI(第37頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五例三例已知彈簧振子x0

=0t=0時v0=0.4m·s-1m=5×10-3

kgk=2×10-4

N·m

-1

完成下述簡諧振動方程cos()x+tv00wkm0.2(rad·s–1)A+x02v02w22(m)x0

=0,已知OXjwM(0(p23相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖為cos()x+t20.2p23(SI)解法提要v00第38頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五討論

相位差：表示兩個振動狀態(tài)相位之差.1）對同一簡諧運動，相位差可以給出兩運動狀態(tài)間變化所需的時間.第39頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五同步2）對于兩個同頻率的簡諧運動，相位差表示它們間步調(diào)上的差異.（解決振動合成問題）為其它超前落后反相第40頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五［例］已知振動曲線求初相位及相位。

如圖所示的x—t振動曲線，已知振幅A、周期T、且t=0時，求：(1)該振動的初相位；(2)a、b兩點的相位；(3)從t=0到a、b兩態(tài)所用的時間是多少?第41頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五方法二，用旋轉(zhuǎn)矢量法

由已知條件可畫出t=0時振幅矢量，同時可畫出，時刻的振幅矢量圖如圖所示。由圖可知，(3)(1)(2)第42頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五［例］已知振動曲線求初相位及相位。

如圖所示的x—t振動曲線，已知振幅A、周期T、且t=0時，求：(1)該振動的初相位；(2)a、b兩點的相位；(3)從t=0到a、b兩態(tài)所用的時間是多少?解：方法一(1)由題圖可知，t=0時，第43頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五(2)由題圖a點，則a點的相位由題圖b點，故b點的相位為:(3)設(shè)從t=0到兩態(tài)所用的時間為ta、tb

第44頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五§12-4振動的合成第45頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五第三節(jié)振動合成簡諧振動的合成同頻率同方向一、兩個xx1cos()wt+A1j1cos()wt2j+A2xx2且

相同w同在

X

軸合成振動xx1xx2xx+用旋轉(zhuǎn)矢量法可求得合成振動方程xx22yOX1Aj1wA2w2j2jwAjjxx1y1yxx)xxcos()wtj+AAA12+A222A1A2cos(2jj1+j12arctanyxarctany+yx1+x2arctanA1cossinj1+A2sin2jA1j1+A2cos2jj與計時起始時刻有關(guān)合成初相分振動初相差j12j與計時起始時刻無關(guān)，但它對合成振幅屬相長還是相消合成起決定作用A第46頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五解析法推導(dǎo)：其中，解之可得：第47頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五1）相位差

討論同相位合振幅最大相互加強第48頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五2）相位差反相位合振幅最小若2jj1為其它值，則處于AA2A1A2A1+與之間相互削弱第49頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五振動合成二簡諧振動的合成不同頻率同方向二、兩個為了突出重點，設(shè)兩分振動的振幅相等且初相均為零。+合振動xx1xx2xx+xx1Acoswt1coswt2Axx22pnAcost12pnAcost22pnAcost12pnAcost2此合振動不是簡諧振動，一般比較復(fù)雜，只介紹一種常見現(xiàn)象：A2t2pcosn1+n222pcosn1n22tn1n22+頻率為的簡諧振動頻率為的簡諧振動n1n22第50頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五若n2n1與較大且相差不大，n1n2n1+n2xxA2t2pcosn1+n222pcos2n1n2t可看作呈周期性慢變的振幅合振動頻率相對較高的簡諧振動

頻率較大而頻率之差很小的兩個同方向簡諧運動的合成，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫拍.第51頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五xxA2t2pcosn1+n222pcos2n1n2t可看作呈周期性慢變的振幅合振動頻率相對較高的簡諧振動n1+n221秒tA2ttAA9Hzn1n28Hz（包絡(luò)線）兩分振動的頻率nn1n21Hz合振動頻率n8.5Hz()()()()合振幅每變化一周叫做一拍，單位時間出現(xiàn)的拍次數(shù)叫拍頻。拍的頻率為兩個分振動的頻率之差。

一拍tttn1385Hzn2383Hz聽到的音頻n384Hz強度節(jié)拍性變化n2Hz第52頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五質(zhì)點運動軌跡1）或

（橢圓方程）

討論簡諧振動的合成同頻率三、兩個相互垂直直線第53頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五2）3）直線正橢圓第54頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五簡諧運動的合成圖兩相互垂直同頻率不同相位差第55頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五4.振動方向垂直、不同頻率的諧振動的合成

軌跡曲線稱為李薩如圖形。一般軌跡曲線復(fù)雜，且不穩(wěn)定。由切點數(shù)之比及已知頻率可測未知頻率?？梢宰C明：兩振動的頻率之比成整數(shù)時,合成軌跡穩(wěn)定。圖形形狀還與位相差及振幅有關(guān)46第56頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五振動合成四簡諧振動的合成不同頻率四、兩個相互垂直xxcos()t+A1j1cos()t2j+A2yw2w1其合運動一般較復(fù)雜，且軌跡不穩(wěn)定。但當(dāng)為兩個簡單的整數(shù)之比時w2w1可以得到穩(wěn)定軌跡圖形，稱為李薩如圖形w1w22113322jj1p2pp234p4p5例如第57頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五小議鏈接2（1）0；（2）4cm；（4）8cm。結(jié)束選擇請在放映狀態(tài)下點擊你認(rèn)為是對的答案

兩個同方向同頻率的諧振動，振動方程為隨堂小議x1=6×10-2cos(5t+),x2=2×10-2sin(π

–5t)2π

則其合振動的振幅為諧振動（3）4cm；52第58頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五用旋轉(zhuǎn)矢量描繪振動合成圖第59頁，共67頁，2023年，2月20日，星期五

任意形狀的剛體懸掛后繞一固定軸作小角度擺動，稱為復(fù)擺。