高等數(shù)學(xué)歷年考試真題上冊(cè)總復(fù)習(xí)

高數(shù)復(fù)習(xí)重點(diǎn)〔上〕一、函數(shù)的極限，連續(xù)、可導(dǎo)1.函數(shù)的極限〔1〕重要極限；〔2〕等價(jià)無(wú)窮小代換；〔3〕洛必塔法那么；2.函數(shù)連續(xù)〔左右連續(xù)，間斷點(diǎn)類型〕、可導(dǎo)的定義重點(diǎn)：分段函數(shù)在分界點(diǎn)處之連續(xù)性與可導(dǎo)性二、函數(shù)求導(dǎo)和微分、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，高階導(dǎo)數(shù)，利用參數(shù)方程求曲線的切線方程和法線方程，微分中值定理的應(yīng)用1.函數(shù)求導(dǎo)和微分重點(diǎn):隱函數(shù)和參數(shù)方程求導(dǎo)(包括二階導(dǎo)數(shù)〕變上限函數(shù)求導(dǎo).2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)3.高階導(dǎo)數(shù)重點(diǎn):二階導(dǎo)數(shù)4.利用參數(shù)方程求曲線的切線方程和法線方程6.微分中值定理的應(yīng)用〔1〕零點(diǎn)定理P61〔2〕中值定理的應(yīng)用〔證明題〕5.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間，極值與最值，拐點(diǎn)，漸近線三、不定積分與定積分1.求積分：原函數(shù)與不定積分的概念，換元法和分部積分法，倒代換，對(duì)稱性，廣義積分.2.定積分的幾何應(yīng)用：平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積四、微分方程：一階線性微分方程，可降階微分方程，二階常系數(shù)齊次線性微分方程，二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解形式.例1：求極限解：//參考題答案：答案：1例1解例2：設(shè)解：例3解：微分法解：例4：已知可導(dǎo)，求例5：解：令那么y=f(u),x=0時(shí)u=1例1解例5證明：例5證明：f(x)在〔0，+〕上單調(diào)增加，故當(dāng)x>0時(shí)，必有亦即//例1:求的單調(diào)增減區(qū)間和極值解：令得駐點(diǎn)x=1,又x=0為不可導(dǎo)點(diǎn)不存在極大值極小值

在(,0)

和(1,+)上單調(diào)增加，在(0,1)上單調(diào)減少，f(0)=0為極大值，f(1)=0.5為極小值五、不定積分計(jì)算重點(diǎn)：〔1〕湊微分法與分部積分法的結(jié)合例1：設(shè)解：求〔2〕兩次分部積分后，表達(dá)式含所求不定積分重點(diǎn)：〔1〕對(duì)稱區(qū)間上奇函數(shù)和偶函數(shù)積分性質(zhì)假設(shè)f(x)為偶函數(shù)，即假設(shè)f(x)為奇函數(shù)，即1.求積分：原函數(shù)與不定積分的概念，換元法和分部積分法，倒代換，對(duì)稱性，廣義積分.例1：求解：〔2〕分段函數(shù)的積分例2：設(shè)解：類似地有被積函數(shù)為絕對(duì)值或開根號(hào)，例如〔3〕定積分的換元法和分部積分法解：例1：設(shè)f(x)有一個(gè)原函數(shù)，求例2計(jì)算解：原式換元時(shí)，假設(shè)不寫出代換變量，那么不要換上、下限.例3計(jì)算解令原式原式例3計(jì)算解令原式=例4：計(jì)算解：這是一個(gè)以1為瑕點(diǎn)的反常積分〔4〕瑕積分計(jì)算三、不定積分與定積分1.求積分：原函數(shù)與不定積分的概念，換元法和分部積分法，倒代換，對(duì)稱性，廣義積分.2.定積分的幾何應(yīng)用：平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積圖形的面積元素為xyo〔1〕A可以看作為兩個(gè)曲邊梯形面積的差〔2〕右邊的被積函數(shù)可以看作是上邊曲線方程與下邊曲線方程的差曲邊扇形的面積二、極坐標(biāo)系情形·面積元素問(wèn)題：一般地，考慮如下圖的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的空間立體，其體積為多少？旋轉(zhuǎn)體的體積xyo所以考慮以dx為底的窄曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片V體積的近似值

其體積可以近似看作以f(x)為底半徑，高為dx的薄圓柱體的體積，即體積元素或〔4〕平面兩曲線所圍之平面圖形面積重要題型：設(shè)曲線將圓分為兩局部，兩局部面積之比為1:3，試確定a的值七、微分方程1。一階線性微分方程的通解例1函數(shù)f(x)滿足:解求

f(x).其通解為為確定常數(shù)C，需要一個(gè)初始條件?？紤]t=1，1.函數(shù)f(x)滿足:求

f(x).參考習(xí)題答案：2.設(shè)連接兩點(diǎn)

A(0,1),B(1,0)的一條凸弧，P(x,y)為凸弧AB上的任意一點(diǎn)，凸弧與弦AP之間的面積為求此凸弧的方程。答案：例4：函數(shù)f(x)滿足:求

f(x).解：兩邊求導(dǎo)例4：函數(shù)f(x)滿足:求

f(x).解：兩邊求導(dǎo)2。二階常系數(shù)非齊次微分方程滿足初始條件的特解〔非齊項(xiàng)為類型〕重點(diǎn)：解對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根：代入方程,化簡(jiǎn)得原方程通解為例1求二階常系數(shù)齊次線性微分方程〔1〕的通解的步驟如下：第一步寫出方程〔1〕的特征方程〔2〕第二步求出特征方程〔2〕的兩個(gè)根第三步根據(jù)特征方程〔2〕的兩個(gè)根的不同情形，對(duì)應(yīng)寫出方程〔1〕的通解.（1）（2）特征方程〔2〕的根的判別式特征方程〔2〕的根的情形微分方程〔1〕的通解兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)相等的實(shí)根一對(duì)共扼復(fù)根其中：是常數(shù)，對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程：綜上討論，方程