專題15 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（解析版）-2021年高考沖刺之二輪專題精講精析

專題15導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、單選題1．定義在上的函數(shù)滿足，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法易得在上是增函數(shù)，然后將不等式轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性求解.【詳解】設(shè)，則，∴在上是增函數(shù)，不等式可化為.即，∴，解得.故選：B2．已知、滿足，則與的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．不能確定【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性，可比較出與的大小關(guān)系，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出與的大小關(guān)系，進(jìn)而可得出與的大小關(guān)系.【詳解】令，其中，則，當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，即，即，即，可得，所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解答比較函數(shù)值大小問題，常見的思路有兩個：（1）判斷各個數(shù)值所在的區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答.數(shù)值比較多的比較大小問題也也可以利用兩種方法的綜合應(yīng)用.3．已知函數(shù)，（為常數(shù)，且），若在處取得極值，且，而在上恒成立，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，又由已知可得或，進(jìn)而求得答案．【詳解】，令，可得，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∵，∴函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).∴或∴，∴的取值范圍是.故選：B4．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，若，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】采用構(gòu)造函數(shù)法，同乘得，變形得，即，由此可得表達(dá)式，將求出具體解析式，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究增減性，畫出大致圖象，即可求解.【詳解】依題意，，故，則，即，故，令，則，解得，故，故；令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；作出函數(shù)的大致圖象如圖所示；觀察可知，與有2個交點(diǎn)，即函數(shù)有2個零點(diǎn)，故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)法求解函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，常用以下方法：（1）利用含導(dǎo)數(shù)方程還原原表達(dá)式需要結(jié)合導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算特征，如本題中同乘移項(xiàng)后就得到除法對應(yīng)導(dǎo)數(shù)公式；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性,如遇導(dǎo)數(shù)不能判斷正負(fù)的情況下，往往需要再次求導(dǎo)，通過二階導(dǎo)數(shù)判斷一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，再通過一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的增減.5．定義在R上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式在時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)遞增，從而可得單調(diào)遞增，因此恒成立等價(jià)于，即，得，進(jìn)而可求得的取值范圍【詳解】由于，因此單調(diào)遞增，從而單調(diào)遞減，因此單調(diào)遞增，注意到恒成立等價(jià)于，即，即恒成立，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查由函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，解題的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而得恒成立等價(jià)于，可得，從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍，屬于中檔題6．已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件.【答案】B【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義和單調(diào)性可確定和的符號，由奇偶性定義可知為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可確定單調(diào)性；根據(jù)，利用單調(diào)性可求得的解集，根據(jù)推出關(guān)系可確定結(jié)論.【詳解】為上的奇函數(shù)，，又單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且，令，則，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，由偶函數(shù)對稱性知：在上單調(diào)遞減；，由得：，，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查充分條件與必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）若是的充分不必要條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）若是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；（4）若是的既不充分又不必要條件，則對應(yīng)的集合與對應(yīng)集合互不包含．7．函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)周期性只需考慮函數(shù)最值，結(jié)合得時(shí)函數(shù)取得最大值，利用導(dǎo)函數(shù)分析單調(diào)性，結(jié)合隱零點(diǎn)求解最值.【詳解】由題，只需考慮函數(shù)最值即可，，所以當(dāng)即時(shí)函數(shù)取得最大值，，考慮函數(shù)，，所以必存在唯一零點(diǎn)，，且遞減，遞增，記，由正弦函數(shù)單調(diào)性可得：函數(shù)遞增，函數(shù)遞減，所以函數(shù)，解得，所以.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查求函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確分析函數(shù)的周期性和單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)解決隱零點(diǎn)問題求解最值，屬于難題.8．已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】函數(shù)有兩個零點(diǎn)，即方程有兩個根，設(shè)，求出，研究出函數(shù)的單調(diào)性，由的圖象與有兩個交點(diǎn)，得出參數(shù)的范圍，即得結(jié)果.【詳解】函數(shù)有兩個零點(diǎn)，由題意得方程有兩個根，設(shè)，則與有兩個不同的交點(diǎn)，又，設(shè)，則所以在上單調(diào)遞減，又當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時(shí)，，則，即在上單調(diào)遞減，但恒正.作出函數(shù)的大致圖象如下：要使的圖象與有兩個交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.9．定義在上的函數(shù)有不等式恒成立，其中為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件可以得到，在(0,+∞)上的單調(diào)性，從而分別得到,進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】解：，即，因?yàn)槎x在上，，令則，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.由得，即，；同理令，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減.由得，，即.綜上，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)性在比較大小中的應(yīng)用，涉及根據(jù)已知導(dǎo)函數(shù)滿足的關(guān)系構(gòu)造可判定導(dǎo)數(shù)正負(fù)的函數(shù)，是難題.，從中間是減號，聯(lián)想到除法的求導(dǎo)法則，從系數(shù)2，聯(lián)想到要有的導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生，綜合需要兩邊同乘以，得到，進(jìn)而得到得到函數(shù)，同樣道理得到的單調(diào)性，這是解決本題的關(guān)鍵和難點(diǎn).10．已知函數(shù)的兩個極值分別為和，若和分別在區(qū)間與內(nèi)，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由極值點(diǎn)的所在區(qū)間即可知的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)區(qū)間，應(yīng)用根的分布可得，結(jié)合目標(biāo)式的幾何意義，即可求其范圍.【詳解】函數(shù)的兩個極值分別為和，∴的兩個根為，，∵，別在區(qū)間與內(nèi)，所以化為：.畫出可行域如圖（陰影部分），設(shè)，點(diǎn)是可行域內(nèi)部的點(diǎn)，則表示直線的斜率，由圖象可得，或，由得；由得，所以，，因此或，即的取值范圍為故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于，根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)，求出所滿足的等量關(guān)系，再由分式型目標(biāo)函數(shù)的取值情況，利用數(shù)形結(jié)合的方法，即可求解.11．定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，對函數(shù)求導(dǎo)判斷出單調(diào)性，利用的單調(diào)性解出不等式即可．【詳解】令，則，所以在R上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以不等式，可變形得，即，所以，解得．故選：D12．已知定義在上的函數(shù)滿足，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)單調(diào)遞減，由，結(jié)合函數(shù)定義域可解得.【詳解】令，，則，因?yàn)椋?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，，所以，即，所以且，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍為．故選D．【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)點(diǎn)睛，本題的容易忽略定義域，切記解函數(shù)抽象不等式要優(yōu)先考慮定義域.二、填空題13．已知在單調(diào)遞減，則的取值范圍為______．【答案】【分析】由函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，得到在恒成立，進(jìn)而可得的取值范圍.【詳解】在單調(diào)遞減，在恒成立，又是開口向上的二次函數(shù)，為使在恒成立，只需，即，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用已知函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)時(shí)，通常需要對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，得到導(dǎo)函數(shù)在給定區(qū)間的符號（正負(fù)），由此列出不等式求解即可.14．若x＝2是f(x)＝ax3-3x的一個極值點(diǎn)，則a＝________.【答案】【分析】由=0解得，再驗(yàn)證即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)閤＝2是f(x)＝ax3-3x的一個極值點(diǎn)，所以，故，經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，是的一個極值點(diǎn).所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0求解是解題關(guān)鍵.15．已知函數(shù)在的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【分析】由函數(shù)知存在極大、小值，而的值域?yàn)?，則必包含極值點(diǎn)，列不等式組求的取值范圍.【詳解】由解析式知：，∴、上，即單調(diào)遞增；上，即單調(diào)遞減；∴有極大值，極小值，由題意知：，即有：，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：定義域?yàn)殚_區(qū)間的函數(shù)值域?yàn)殚]區(qū)間，一般開區(qū)間包含極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)，但求參數(shù)范圍時(shí)，注意開區(qū)間的端點(diǎn)值不能超過極值.16．對于函數(shù)有下列命題：①在該函數(shù)圖象上一點(diǎn)（﹣2，f（﹣2））處的切線的斜率為；②函數(shù)f(x)的最小值為；③該函數(shù)圖象與x軸有4個交點(diǎn)；④函數(shù)f(x)在（﹣∞，﹣1]上為減函數(shù)，在（0，1]上也為減函數(shù).其中正確命題的序號是_____.【答案】①②④【分析】求出導(dǎo)數(shù)代入-2可得判斷①；利用函數(shù)的單調(diào)性求出極值可判斷②④；分別求函數(shù)等于零的根可判斷③.【詳解】x≤0時(shí)，f(x)＝2xex，f′(x)＝2（1+x）ex，故f′（﹣2）＝，①正確；且f(x)在（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減，在（﹣1，0）上單調(diào)遞增，故x≤0時(shí)，f(x)有最小值f（﹣1）＝，x＞0時(shí)，f(x)＝在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故x＞0時(shí)，f(x)有最小值f（1）＝故f(x)有最小值，②④正確；令得，令得，故該函數(shù)圖象與x軸有3個交點(diǎn)，③錯誤；故答案為：①②④【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值一定注意定義域.三、解答題17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）證明：.【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明見解析.【分析】（1）求得的函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）要證，即要證，分別求得函數(shù)的最小值和的最大值，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，其定義域?yàn)?，可得，令，解得；令，解?所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）要證，即要證，即證明.令，則.由，解得；由，解得.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.令，則，由，解得；由，解得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，且等號不同時(shí)取得，即成立，所以.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題：（1）直接構(gòu)造法：證明不等式轉(zhuǎn)化為證明，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).18．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：在上存在唯一零點(diǎn)．【答案】（1）極小值0，無極大值；（2）證明見解析.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性即可求出極值；（2）通過構(gòu)造出一個新函數(shù),討論新函數(shù)的零點(diǎn)以證明原函數(shù)零點(diǎn)的唯一性.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)?，由得，由得，且，∴在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．∴當(dāng)時(shí)，取得極小值，無極大值．（2）證明：當(dāng)時(shí)，．令，則在上的零點(diǎn)即在上的零點(diǎn)，令，則．當(dāng)時(shí)，則，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增．又，，∴存在使得，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．又因?yàn)?，，∴在上存在一個零點(diǎn)，在上沒有零點(diǎn)，∴在上存在唯一零點(diǎn)，即在上存在唯一零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】函數(shù)極值點(diǎn)無法求出時(shí)，采用隱零點(diǎn)解決.19．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性：（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)滿足：對任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，令求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，即可得到函數(shù)單調(diào)性；（2）先由，得到，由分離參數(shù)法方法，將原不等式化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的方法求出其最大值，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，∵，，，令，得，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當(dāng)時(shí)，由對恒成立，得，設(shè)，則，設(shè)，則時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，且，，所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，所以時(shí)，所以，，，即因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，，即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)的方法研究由不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)時(shí)，一般可對不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可求出結(jié)果；有時(shí)也可根據(jù)不等式，直接構(gòu)成函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果.20．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，，記函數(shù)在上的最大值為，證明：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)后，對的類型、開口、判別式進(jìn)行分類討論可得結(jié)果；（2）化簡，利用導(dǎo)數(shù)求出，從而可得.【詳解】（1）由函數(shù)的定義域是，則．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間上，；在區(qū)間上，，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，對任意恒成立，即對任意恒成立，且不恒為0．故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，方程的兩根依次為，，此時(shí)在區(qū)間，上，；在區(qū)間上，，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，方程的兩根依次為，，此時(shí)在區(qū)間上，；在區(qū)間上，，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明：當(dāng)時(shí)，，則．當(dāng)時(shí)，，令，則，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，，所以存在使得，即，即．故?dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則．令，，則，所以在上單調(diào)遞增，則，，所以．故．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）問構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求解是解題關(guān)鍵.21．已知函數(shù)，，.（1）求的極值；（2）若對任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（3）若函數(shù)恰有兩個不相等的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）極小值為，無極大值；（2）最大值為；（3）.【分析】（1）求出，討論其符號后可得其極值.（2）結(jié)合（1）的結(jié)果可知題設(shè)的不等式等價(jià)于為上的增函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求實(shí)數(shù)的最大值.（3）先討論的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），令，得.當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故為的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)，∵，∴的極小值為，無極大值.（2）由（1）可得在為增函數(shù)，∵，故等價(jià)于，即設(shè)，則在為增函數(shù).∴在恒成立.∴恒成立.設(shè)，∵在上恒成立∴為增函數(shù)，∴在上的最小值為.∴，∴的最大值為.（3）①當(dāng)時(shí)，當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，所以函數(shù)至多有一個零點(diǎn)，不合題意，舍.②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，此時(shí)至多一個零點(diǎn)，不合題意，舍.③當(dāng)時(shí)，當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單