傾斜角與斜率

關(guān)于傾斜角與斜率第1頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.1直線的傾斜角與斜率第三章3.1.1傾斜角與斜率第2頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三互動(dòng)課堂2隨堂測(cè)評(píng)3課后強(qiáng)化作業(yè)4預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)1第3頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)第4頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三●課標(biāo)展示1．理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握它們之間的關(guān)系．2．掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率計(jì)算公式，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用．第5頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三●溫故知新舊知再現(xiàn)1．在直角三角形中，當(dāng)內(nèi)角α為銳角時(shí)，sinα＝____，cosα＝______，tanα＝_____，其中x、y分別為角α的鄰邊、對(duì)邊，r為斜邊．第6頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三－tanα

第7頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4．幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值：tan30°＝______；tan45°＝_____；tan60°＝_______；tan120°＝__________；tan135°＝________；tan150°＝__________.5．______點(diǎn)確定一條直線．1－1兩第8頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三新知導(dǎo)學(xué)1．傾斜角定義當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，____軸正向與直線l向_____方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．規(guī)定當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定直線的傾斜角為_(kāi)_________.記法αx上0°第9頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖示范圍0°≤α<180°作用(1)用傾斜角表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一條直線的__________(2)確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個(gè)定點(diǎn)以及它的__________，二者缺一不可傾斜程度傾斜角第10頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[破疑點(diǎn)]理解傾斜角的概念時(shí)，要注意三個(gè)條件：①x軸正向；②直線向上的方向；③小于180°的非負(fù)角．第11頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2．斜率(傾斜角為α)定義α≠90°一條直線的傾斜角α的_________叫做這條直線的斜率α＝90°斜率不存在記法k，即k＝________范圍________公式經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝__________作用用實(shí)數(shù)反映了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線的_________正切值tanαR傾斜程度第12頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[破疑點(diǎn)]①當(dāng)傾斜角是90°時(shí)，直線的斜率不存在，并不是直線不存在，此時(shí)，直線垂直于x軸；②所有的直線都有傾斜角，但不是所有的直線都有斜率；③直線的斜率也反映直線相對(duì)于x軸的正方向的傾斜程度．當(dāng)0°≤α<90°時(shí)，斜率越大，直線的傾斜程度就越大；當(dāng)90°<α<180°時(shí)，斜率越大，傾斜角也越大；④k>0?0°<α<90°；k＝0?α＝0°；k<0?90°<α<180°；k不存在?α＝90°.第13頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三●自我檢測(cè)1．給出下列命題：①任何一條直線都有唯一的傾斜角；②一條直線的傾斜角可以為－30°；③傾斜角為0°的直線只有一條，即x軸；④按照傾斜角的概念，直線傾斜角的集合{α|0°≤α<180°}與直線集合建立了一一映射關(guān)系．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4[答案]A第14頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[解析]

序號(hào)正誤理由①√任何直線都有唯一的傾斜角，故①正確②×傾斜角的范圍是[0°，180°)，故②錯(cuò)誤③×所有與x軸平行或重合的直線的傾斜角都是0°，故③錯(cuò)誤④×傾斜角相同的直線有無(wú)數(shù)條，不是一一映射關(guān)系，故④錯(cuò)誤第15頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[答案]B第16頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3．已知直線過(guò)點(diǎn)A(0,4)和點(diǎn)B(1,2)，則直線AB的斜率為()A．3 B．2C．－2 D．不存在[答案]C第17頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三互動(dòng)課堂第18頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三直線的傾斜角的理解

●典例探究

第19頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[分析]

(1)直線傾斜角α的范圍是什么？(2)關(guān)于x軸對(duì)稱的兩條直線的傾斜角能互補(bǔ)嗎？[解析]

(1)因?yàn)橹本€l的傾斜率為β－15°，所以0°≤β－15°<180°，即15°≤β<195°.(2)當(dāng)α1＝0°時(shí)，α2＝0°，當(dāng)0°<α1<180°時(shí)，α2＝180°－α1.[答案](1)D(2)0°或180°－α1第20頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

規(guī)律總結(jié)：1.理解直線的傾斜角首先要弄清以下幾個(gè)問(wèn)題：(1)傾斜角定義中含有三個(gè)條件：①x軸正向；②直線向上的方向；③小于180°的非負(fù)角．(2)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)看，直線的傾斜角是由x軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的角．(3)直線的傾斜角α的取值范圍是：0°≤α＜180°.第21頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2．求直線傾斜角的方法及關(guān)注點(diǎn)：(1)方法定義法：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合傾斜角的定義找傾斜角．分類法：根據(jù)題意把傾斜角α分為以下四類討論：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°.(2)關(guān)注點(diǎn)結(jié)合圖形求角時(shí)，應(yīng)注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，如三角形內(nèi)角和定理及其有關(guān)推論．第22頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三設(shè)直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角為()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．當(dāng)0°≤α<135°時(shí)，傾斜角為α＋45°；當(dāng)135°≤α<180°時(shí)，傾斜角為α－135°[答案]D第23頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[分析]

畫(huà)出圖象輔助理解，由于條件中未指明α的范圍，所以需綜合考慮α的可能取值，以使旋轉(zhuǎn)后的直線的傾斜角在[0°，180°)內(nèi)．[解析]

根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，如圖所示：第24頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三因?yàn)?°≤α<180°，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意．通過(guò)畫(huà)圖(如圖所示)可知：當(dāng)0°≤α<135°，l1的傾斜角為α＋45°；當(dāng)135°≤α<180°時(shí)，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°.故選D.第25頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

規(guī)律總結(jié)：求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來(lái)求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時(shí)要根據(jù)情況分類討論．第26頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求傾斜角和斜率

第27頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第28頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

規(guī)律總結(jié)：

1.對(duì)直線斜率公式的認(rèn)識(shí)：直線的斜率公式表明了直線相對(duì)于x軸正向的傾斜程度，可通過(guò)直線上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示，比使用幾何的方法先求傾斜角，再求斜率要更簡(jiǎn)便．2．應(yīng)用斜率公式時(shí)的注意事項(xiàng)：(1)運(yùn)用公式的前提條件是“x1≠x2”，即直線不與x軸垂直，因?yàn)楫?dāng)直線與x軸垂直時(shí)，斜率是不存在的；(2)斜率公式與兩點(diǎn)P1，P2的先后順序無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)公式中的x1與x2，y1與y2可以同時(shí)交換位置．特別提醒：在解決與斜率有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)題目條件對(duì)斜率是否存在做出判斷，以免漏解．

第29頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第30頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第31頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第32頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第33頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

規(guī)律總結(jié)：

(1)對(duì)求斜率的兩個(gè)公式注意其應(yīng)用的條件，必要時(shí)應(yīng)分類討論；(2)當(dāng)直線繞定點(diǎn)由與x軸平行(或重合)位置按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與y軸平行(或重合)時(shí)，斜率由0逐漸增大到＋∞；按順時(shí)針?lè)较驎r(shí)，斜率由0逐漸減小到－∞，這種方法即可定性分析傾斜角與斜率的關(guān)系，也可以定量求解斜率和傾斜角的取值范圍．第34頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[分析]

1.當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，任意兩點(diǎn)的連線的斜率(斜率存在時(shí))有怎樣的關(guān)系？2．題2中求范圍可用什么方法？直線的傾斜角與斜率的綜合應(yīng)用

第35頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第36頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三已知某直線l的傾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直線上的三點(diǎn)，求x2，y1的值．[分析]

題中直線的傾斜角已知，且三點(diǎn)在同一條直線上，故可考慮根據(jù)點(diǎn)與斜率及其傾斜角之間的關(guān)系求解．第37頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

規(guī)律總結(jié)：用斜率公式可解決三點(diǎn)共線問(wèn)題：

第38頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第39頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第40頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[錯(cuò)因分析]當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類討論，然后對(duì)每一類分別研究，得出每一類結(jié)果，最終解決整個(gè)問(wèn)題．本題的討論分兩個(gè)層次：第一個(gè)層次是討論斜率是否存在；第二個(gè)層次是討論斜率的正、負(fù)．也可以分為m＝1，m>1，m<1三種情況進(jìn)行討論．第41頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第42頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三直線l過(guò)點(diǎn)M(－2，m)，N(m,4)兩點(diǎn)，則直線l的斜率為_(kāi)_______．第43頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三隨堂測(cè)評(píng)第44頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1．如下圖，直線l的傾斜角為()A．45° B．135°C．0° D．不存在[答案]B第45頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三[答案]A第46頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3．下列各組中的三點(diǎn)共線的是()A．(1,4)，(－1,2)，(3,5)B．(－2，－5)，(7,6)，(－5,3)C．(1,0)，(0，－)，(7,2)D．(0,0)，(2,4)，(－1,3)[答案]C[解析]

利用斜率相等判斷可知C正確．[答案]60°或120°第47頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5．已知直線l經(jīng)過(guò)A(5，－3)、B(4，y)、C