第3章 第1節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

PAGEPAGE1全國(guó)卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式本章內(nèi)容在高考中一般是“一大一小”．2.考查內(nèi)容(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義一般在選擇題或填空題中考查，有時(shí)與函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合出現(xiàn)在壓軸小題中．(2)解答題一般都是兩問(wèn)的題目，第一問(wèn)考查曲線的切線方程、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的極值點(diǎn)等，屬于基礎(chǔ)問(wèn)題．第二問(wèn)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，已知單調(diào)區(qū)間或極值求參數(shù)的取值范圍，函數(shù)的零點(diǎn)等問(wèn)題.導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算[考試要求]1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y＝C(C為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的導(dǎo)數(shù).3.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．1．導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(2)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)：f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).提醒：函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”．2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線斜率．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．提醒：(1)瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)．(2)曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線是指P為切點(diǎn)，斜率為f′(x0)的切線，是唯一的一條切線．(3)曲線y＝f(x)過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，切線可能有多條．3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_a(a＞0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)(a＞0，且a≠1)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)4．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．5．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])1．奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．2．熟記以下結(jié)論：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)；(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,fx)))′＝－eq\f(f′x,[fx]2)(f(x)≠0)；(3)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率．()(2)求f′(x0)時(shí)，可先求f(x0)，再求f′(x0)．()(3)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線．()(4)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導(dǎo)數(shù)是f′(x)＝cosx．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材習(xí)題衍生1．(多選)下列各式正確的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝coseq\f(π,3) B．(cosx)′＝sinxC．(sinx)′＝cosx D．(x－5)′＝－5x－6CD[對(duì)于A，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))′＝0，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，(cosx)′＝－sinx，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，(sinx)′＝cosx，故C正確；對(duì)于D，(x－5)′＝－5x－6，故D正確．]2．曲線y＝x3＋11在點(diǎn)P(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()A．－9 B．－3C．9 D．15C[因?yàn)閥＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲線y＝x3＋11在點(diǎn)P(1,12)處的切線方程為y－12＝3(x－1)．令x＝0，得y＝9.故選C.]3.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是()A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)C[由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)，故選C.]4．在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，ts時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度(單位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，則運(yùn)動(dòng)員的速度v＝________m/s，加速度a＝________m/s2.－9.8t＋6.5－9.8[v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.]5．若y＝ln(2x＋5)，則y′＝________.eq\f(2,2x＋5)[令v＝2x＋5，則y′＝eq\f(v′,v)＝eq\f(2,2x＋5).]考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的計(jì)算已知函數(shù)解析式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)[典例1－1]求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝xeq\r(2x)；(2)y＝tanx；(3)y＝2sin2eq\f(x,2)－1；(4)y＝lneq\f(2x－1,2x＋1).[解](1)先變形：y＝eq\r(2)x，再求導(dǎo)：y′＝(eq\r(2)x)′＝eq\f(3\r(2),2)x.(2)先變形：y＝eq\f(sinx,cosx)，再求導(dǎo)：y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝eq\f(sinx′·cosx－sinx·cosx′,cos2x)＝eq\f(1,cos2x).(3)先變形：y＝－cosx，再求導(dǎo)：y′＝－(cosx)′＝－(－sinx)＝sinx.(4)先變形：y＝ln(2x－1)－ln(2x＋1)，再求導(dǎo)：y′＝[ln(2x－1)]′－[ln(2x＋1)]′＝eq\f(1,2x－1)·(2x－1)′－eq\f(1,2x＋1)·(2x＋1)′＝eq\f(2,2x－1)－eq\f(2,2x＋1)＝eq\f(4,4x2－1).點(diǎn)評(píng)：(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分解為基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)．(2)在求導(dǎo)過(guò)程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣法則，記準(zhǔn)公式，避免運(yùn)算錯(cuò)誤．抽象函數(shù)求導(dǎo)[典例1－2]已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)＝________.－4[∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4.]點(diǎn)評(píng)：賦值法是求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，求解時(shí)先視f′(1)為常數(shù)，然后借助導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算f′(x)，最后分別令x＝1，x＝0代入f′(x)求解即可．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(2020·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x＋a)，若f′(1)＝eq\f(e,4)，則a＝________.1[由于f′(x)＝eq\f(exx＋a－ex,x＋a2)，故f′(1)＝eq\f(ea,1＋a2)＝eq\f(e,4)，解得a＝1.]2．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足關(guān)系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，則f′(2)＝________.－eq\f(9,4)[因?yàn)閒(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋eq\f(1,x)，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋eq\f(1,2)＝3f′(2)＋eq\f(9,2)，所以f′(2)＝－eq\f(9,4).]3．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)y＝x2sinx；(2)y＝eq\f(cosx,ex)；(3)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；(4)y＝eq\r(2x＋1).[解](1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,ex)))′＝eq\f(cosx′ex－cosxex′,ex2)＝eq\f(－exsinx－excosx,e2x)＝－eq\f(sinx＋cosx,ex).(3)∵y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝x－eq\f(1,2)sinx，∴y′＝1－eq\f(1,2)cosx.(4)令u＝2x＋1，y＝u，∴y′＝eq\f(1,2)u(u)′＝eq\f(2x＋1′,2\r(2x＋1))＝eq\f(1,\r(2x＋1)).考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程切線方程的求法(1)已知切點(diǎn)A(x0，f(x0))求切線方程，可先求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值f′(x0)，再根據(jù)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)求解．(2)若求過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程，可設(shè)切點(diǎn)為(x1，y1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＝fx1，,y0－y1＝f′x1x0－x1))求解即可．[典例2－1](1)(2020·全國(guó)卷Ⅰ)函數(shù)f(x)＝x4－2x3的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為()A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1(2)已知函數(shù)f(x)＝xlnx，若直線l過(guò)點(diǎn)(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為_(kāi)_______．(1)B(2)x－y－1＝0[(1)法一：∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f′(1)＝－2，又f(1)＝1－2＝－1，∴所求的切線方程為y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故選B.法二：∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，f′(1)＝－2，∴切線的斜率為－2，排除C，D.又f(1)＝1－2＝－1，∴切線過(guò)點(diǎn)(1，－1)，排除A.故選B.(2)∵點(diǎn)(0，－1)不在曲線f(x)＝xlnx上，∴設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋lnx，∴直線l的方程為y＋1＝(1＋lnx0)x.∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝x0lnx0，,y0＋1＝1＋lnx0x0，))解得x0＝1，y0＝0.∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.]求切點(diǎn)坐標(biāo)求切點(diǎn)坐標(biāo)的思路已知切線方程(或斜率)求切點(diǎn)的一般思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再讓導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，從而求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)．[典例2－2](2019·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在曲線y＝lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－e，－1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是________．(e,1)[設(shè)A(x0，y0)，由y′＝eq\f(1,x)，得k＝eq\f(1,x0)，所以在點(diǎn)A處的切線方程為y－lnx0＝eq\f(1,x0)(x－x0)．因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－e，－1)，所以－1－lnx0＝eq\f(1,x0)(－e－x0)，所以lnx0＝eq\f(e,x0)，解得x0＝e，y0＝1，即A(e,1)．]點(diǎn)評(píng)：切點(diǎn)既在曲線上，也在切線上，這是解題的切入點(diǎn)．求參數(shù)的值(范圍)1．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍．2．求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)(1)注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍．(2)謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上．[典例2－3](1)(2019·全國(guó)卷Ⅲ)已知曲線y＝aex＋xlnx在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為y＝2x＋b，則()A．a(chǎn)＝e，b＝－1 B．a(chǎn)＝e，b＝1C．a(chǎn)＝e－1，b＝1 D．a(chǎn)＝e－1，b＝－1(2)已知函數(shù)f(x)＝ex－mx＋1的圖象為曲線C，若曲線C存在與直線y＝eq\f(1,2)x垂直的切線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．m＞2 B．m≤2C．m＞－eq\f(1,2) D．m≤－eq\f(1,2)(1)D(2)A[(1)∵y′＝aex＋lnx＋1，∴y′|x＝1＝ae＋1，∴2＝ae＋1，∴a＝e－1.∴切點(diǎn)為(1,1)，將(1,1)代入y＝2x＋b，得1＝2＋b，∴b＝－1，故選D.(2)f′(x)＝ex－m，由題意知方程f′(x)＝－2有解．即m＝ex＋2有解，由ex＋2＞2得m＞2，故選A.]兩曲線的公切線問(wèn)題解決此類(lèi)問(wèn)題通常有兩種方法一是利用其中一曲線在某點(diǎn)處的切線與另一曲線相切，列出關(guān)系式求解；二是設(shè)公切線l在y＝f(x)上的切點(diǎn)P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點(diǎn)P2(x2，g(x2))，則f′(x1)＝g′(x2)＝eq\f(fx1－gx2,x1－x2).[典例2－4](1)已知曲線f(x)＝x3＋ax＋eq\f(1,4)在x＝0處的切線與曲線g(x)＝－lnx相切，則a的值為_(kāi)_______．(2)若直線y＝kx＋b是曲線y＝lnx＋2的切線，也是曲線y＝ex的切線，則b＝________.(1)－e(2)0或1[(1)由f(x)＝x3＋ax＋eq\f(1,4)，得f′(x)＝3x2＋a.∵f′(0)＝a，f(0)＝eq\f(1,4)，∴曲線y＝f(x)在x＝0處的切線方程為y－eq\f(1,4)＝ax.設(shè)直線y－eq\f(1,4)＝ax與曲線g(x)＝－lnx相切于點(diǎn)(x0，－lnx0)，g′(x)＝－eq\f(1,x)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－lnx0－\f(1,4)＝ax0，①,a＝－\f(1,x0)，②))將②代入①得lnx0＝eq\f(3,4)，∴x0＝e，∴a＝－eq\f(1,e)＝－e.(2)設(shè)直線y＝kx＋b與曲線y＝lnx＋2的切點(diǎn)為(x1，y1)，與曲線y＝ex的切點(diǎn)為(x2，y2)，y＝lnx＋2的導(dǎo)數(shù)為y′＝eq\f(1,x)，y＝ex的導(dǎo)數(shù)為y′＝ex，可得k＝ex2＝eq\f(1,x1).又由k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(ex2－lnx1－2,x2－x1)，消去x2，可得(1＋lnx1)·(x1－1)＝0，則x1＝eq\f(1,e)或x1＝1，則直線y＝kx＋b與曲線y＝lnx＋2的切點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1))或(1,2)，與曲線y＝ex的切點(diǎn)為(1，e)或(0,1)，所以k＝eq\f(e－1,1－\f(1,e))＝e或k＝eq\f(1－2,0－1)＝1，則切線方程為