2023-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章解析幾何課時(shí)達(dá)標(biāo)53曲線與方程

2023-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章解析幾何課時(shí)達(dá)標(biāo)53曲線與方程[解密考綱]求曲線的軌跡方程，經(jīng)常通過(guò)定義法或直接法，在解答題的第(1)問中出現(xiàn)．一、選擇題1．兩定點(diǎn)A(－2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|，那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(B)A．直線 B．圓C．橢圓 D．雙曲線解析設(shè)P(x，y)，那么eq\r(x＋22＋y2)＝2eq\r(x－12＋y2)，整理得x2＋y2－4x＝0，又D2＋E2－4F＝16>0，所以動(dòng)點(diǎn)P2．(2023·全國(guó)卷Ⅲ)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝eq\f(\r(5),2)x，且與橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1有公共焦點(diǎn)，那么C的方程為(B)A．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,10)＝1 B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C．eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1解析根據(jù)雙曲線C的漸近線方程為y＝eq\f(\r(5),2)x，可知eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5),2)，①又橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)和(－3,0)，所以a2＋b2＝9，②根據(jù)①②可知a2＝4，b2＝5，應(yīng)選B．3．點(diǎn)P是直線2x－y＋3＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(－1,2)，Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且|PM|＝|MQ|，那么Q點(diǎn)的軌跡方程是(D)A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0解析設(shè)Q(x，y)，那么P為(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得Q點(diǎn)的軌跡方程為2x－y＋5＝0.4．設(shè)圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn)，線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M，那么M的軌跡方程為(D)A．eq\f(4x2,21)－eq\f(4y2,25)＝1 B．eq\f(4x2,21)＋eq\f(4y2,25)＝1C．eq\f(4x2,25)－eq\f(4y2,21)＝1 D．eq\f(4x2,25)＋eq\f(4y2,21)＝1解析∵M(jìn)為AQ垂直平分線上一點(diǎn)，那么|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的軌跡是以定點(diǎn)C，A為焦點(diǎn)的橢圓，∴a＝eq\f(5,2)，c＝1，那么b2＝a2－c2＝eq\f(21,4)，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(4x2,25)＋eq\f(4y2,21)＝1.5．設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，且eq\o(OQ,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝1，那么點(diǎn)P的軌跡方程是(A)A．eq\f(3,2)x2＋3y2＝1(x>0，y>0) B．eq\f(3,2)x2－3y2＝1(x>0，y>0)C．3x2－eq\f(3,2)y2＝1(x>0，y>0) D．3x2＋eq\f(3,2)y2＝1(x>0，y>0)解析設(shè)A(a,0)，B(0，b)，a>0，b>0.由eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，得(x，y－b)＝2(a－x，－y)，即a＝eq\f(3,2)x>0，b＝3y>0，點(diǎn)Q(－x，y)，故由eq\o(OQ,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝1，得(－x，y)·(－a，b)＝1，即ax＋by＝1.將a，b代入ax＋by＝1得所求的軌跡方程為eq\f(3,2)x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．6．圓錐曲線mx2＋4y2＝4m的離心率e為方程2x2－5x＋2＝0的根，那么滿足條件的圓錐曲線的個(gè)數(shù)為(BA．4 B．3C．2 D．1解析∵e是方程2x2－5x＋2＝0的根，∴e＝2或e＝eq\f(1,2)，mx2＋4y2＝4m可化為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1，當(dāng)它表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓時(shí)，有eq\f(\r(4－m),2)＝eq\f(1,2)，∴m＝3；當(dāng)它表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓時(shí)，有eq\f(\r(m－4),\r(m))＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(16,3)；當(dāng)它表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線時(shí)，可化為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,－m)＝1，有eq\f(\r(4－m),2)＝2，∴m＝－12，∴滿足條件的圓錐曲線有3個(gè)，應(yīng)選B．二、填空題7．△ABC的頂點(diǎn)A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，那么頂點(diǎn)C的軌跡方程是__eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)__.解析如圖，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1(x>3)．8．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(1,0)，B(2,2)，假設(shè)點(diǎn)C滿足Oeq\o(C,\s\up6(→))＝Oeq\o(A,\s\up6(→))＋t(Oeq\o(B,\s\up6(→))－Oeq\o(A,\s\up6(→)))，其中t∈R，那么點(diǎn)C的軌跡方程是__2x－y－2＝0__.解析設(shè)C(x，y)，那么eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(OA,\s\up6(→))＋t(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝(1＋t,2t)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，,y＝2t，))消去參數(shù)t得點(diǎn)C的軌跡方程為y＝2x－2.9．P是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，有一動(dòng)點(diǎn)Q滿足Oeq\o(Q,\s\up6(→))＝eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是eq\f(x2,4a2)＋eq\f(y2,4b2)＝1.解析作P關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)M，連接F1M，F(xiàn)2那么四邊形F1PF2M所以eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))＝eq\o(PM,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))＝－2eq\o(OP,\s\up6(→)).又eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(PF1,\s\up6(→))＋eq\o(PF2,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OQ,\s\up6(→))，設(shè)Q(x，y)，那么eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,2)，－\f(y,2)))，即點(diǎn)P坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,2)，－\f(y,2)))，又P在橢圓上，那么有eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,2)))2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,2)))2,b2)＝1，即eq\f(x2,4a2)＋eq\f(y2,4b2)＝1.三、解答題10．圓C1的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線l1：x－y－2eq\r(2)＝0相切．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A為圓上一動(dòng)點(diǎn)，AN⊥x軸于點(diǎn)N，假設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q滿足eq\o(OQ,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－m)eq\o(ON,\s\up6(→))(其中m為非零常數(shù))，試求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程C2.解析(1)依題意圓的半徑為圓心(0,0)到直線l1的距離eq\f(|－2\r(2)|,\r(12＋12))＝2，故圓C1的方程為x2＋y2＝4.(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)，A(x0，y0)．∵AN⊥x軸交于點(diǎn)N，∴N(x0,0)，由題意，得(x，y)＝m(x0，y0)＋(1－m)·(x0,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0，,y＝my0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x，,y0＝\f(1,m)y，))將Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(1,m)y))，代入x2＋y2＝4，得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,4m2)＝1.即動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,4m2)＝1.11．(2023·河北唐山統(tǒng)考)動(dòng)點(diǎn)P到直線l：x＝－1的距離等于它到圓C：x2＋y2－4x＋1＝0的切線長(zhǎng)(P到切點(diǎn)的距離)．記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程；(2)過(guò)圓心C作直線AB：x＝my＋2交曲線E于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D，過(guò)圓心C作直線CQ垂直于直線AB交直線l于點(diǎn)Q，求eq\f(|QD|,|AB|)的取值范圍．解析(1)由得圓的方程為(x－2)2＋y2＝3，那么圓心為C(2,0)，半徑r＝eq\r(3).設(shè)P(x，y)，依題意可得|x＋1|＝eq\r(x－22＋y2－3)，整理得y2＝6x.故曲線E的方程為y2＝6x.(2)又直線AB的方程為my＝x－2，那么直線CQ的方程為y＝－m(x－2)，可得Q(－1,3m將my＝x－2代入y2＝6x并整理可得y2－6my－12＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么y1＋y2＝6m，y1y2AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，即D(3m2＋2,3m)，|QD|AB|＝eq\r(1＋m2)·eq\r(y1－y22)＝2eq\r(3)eq\r(1＋m23m2＋4)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|QD|,|AB|)))2＝eq\f(3m2＋3,43m2＋4)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3m2＋4)))∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,16)，\f(1,4)))，故eq\f(|QD|,|AB|)的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(1,2))).12．(2023·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(NM,\s\up6(→)).(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x＝－3上，且eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝1.證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F.解析(1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，那么N(x0,0)，eq\o(NP,\s\up6(→))＝(x－x0，y)，eq\o(NM,\s\up6(→))＝(0，y0)．由eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(NM,\s\up6(→))得x0＝x，y0＝eq\f(\r(2),2)y.因?yàn)镸(x0，y0)在橢圓C上，所以eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,2)＝1.因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝2.(2)由題意知F(－1,0)．設(shè)Q(－3，t)，P(m，n)，那么eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(－3，t)，eq\o(PF,\s\up6(→))＝(－1－m，－n)，eq\o(OQ,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(