押第3題 計(jì)數(shù)原理（新高考）（解析版）

押第3題計(jì)數(shù)原理從2020年山東新高考和往年高考來看，計(jì)數(shù)原理是高考的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，主要考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)、展開式的系數(shù)、排列和組合等知識(shí).1．熟記二項(xiàng)式定理：，是解決此類問題的關(guān)鍵.2．求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題,實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)的特點(diǎn),一般需要建立方程求k,再將k的值代回通項(xiàng)求解,注意k的取值范圍（）.（1）第項(xiàng)：：此時(shí)k+1=m,直接代入通項(xiàng).（2）常數(shù)項(xiàng)：即這項(xiàng)中不含“變?cè)?令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為0建立方程.（3）有理項(xiàng)：令通項(xiàng)中“變?cè)钡膬缰笖?shù)為整數(shù)建立方程.3．對(duì)于參數(shù)問題，通常是運(yùn)用通項(xiàng)由題意列方程求出參數(shù)即可；有時(shí)需先求n，計(jì)算時(shí)要注意n和k的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系．4．二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別：二項(xiàng)式系數(shù)是指Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)，它是組合數(shù)，只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)．如(a＋bx)n的展開式中，第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Ceq\o\al(r,n)，而該項(xiàng)的系數(shù)是Ceq\o\al(r,n)an－rbr.當(dāng)然，某些特殊的二項(xiàng)展開式如(1＋x)n，各項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的．5．在解決排列、組合的應(yīng)用題時(shí)，一定要清楚是先排列再組合，還是先組合再排列.1．（2020年新高考全國(guó)卷Ⅰ數(shù)學(xué)高考試題（山東））6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有（）A．120種 B．90種C．60種 D．30種【答案】C【詳解】首先從名同學(xué)中選名去甲場(chǎng)館，方法數(shù)有；然后從其余名同學(xué)中選名去乙場(chǎng)館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學(xué)去丙場(chǎng)館.故不同的安排方法共有種.2．（2020年北京市高考數(shù)學(xué)試卷）在的展開式中，的系數(shù)為（）．A． B．5 C． D．10【答案】C【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為：，令可得：，則的系數(shù)為：.3．（2020年新高考全國(guó)卷Ⅱ數(shù)學(xué)考試題文檔版（海南卷））要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（）A．2種 B．3種 C．6種 D．8種【答案】C【詳解】第一步，將3名學(xué)生分成兩個(gè)組，有種分法第二步，將2組學(xué)生安排到2個(gè)村，有種安排方法所以，不同的安排方法共有種4.（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷）設(shè)，則________；________．【答案】【詳解】的通項(xiàng)為，令，則，故；.5．（2020年天津市高考數(shù)學(xué)試卷）在的展開式中，的系數(shù)是_________．【答案】10【詳解】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，令，解得．所以的系數(shù)為．1．（2021·山東濰坊市·高三一模）多項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為A． B． C． D．【答案】C【詳解】原式，所以展開式中含的項(xiàng)包含中項(xiàng)為，和中的項(xiàng)為，這兩項(xiàng)的系數(shù)和為.2．（2021·山東棗莊市·高三二模）若，則（）A．20 B． C．15 D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以展開式的通項(xiàng)為，令，則，所以，故選：B.3．（2021·山東臨沂市·高三其他模擬）數(shù)學(xué)對(duì)于一個(gè)國(guó)家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國(guó)家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”，“世界數(shù)字通史”，“幾何原本”，“什么是數(shù)學(xué)”四門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選門，大一到大三三學(xué)年必須將四門]選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式有（）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【詳解】由題意可知三年修完四門課程，則每位同學(xué)每年所修課程數(shù)為或或若是，則先將門學(xué)科分成三組共種不同方式.再分配到三個(gè)學(xué)年共有種不同分配方式，由乘法原理可得共有種，若是，則先將門學(xué)科分成三組共種不同方式，再分配到三個(gè)學(xué)年共有種不同分配方式，由乘法原理可得共有種，若是，則先將門學(xué)科分成三組共種不同方式，再分配到三個(gè)學(xué)年共有種不同分配方式，由乘法原理可得共有種所以每位同學(xué)的不同選修方式有種，故選：B.4．（2021·山東淄博市·高三一模）有7名學(xué)生參加“學(xué)黨史知識(shí)競(jìng)賽”，咨詢比賽成績(jī)，老師說：“甲的成績(jī)是最中間一名，乙不是7人中成績(jī)最好的，丙不是7人中成績(jī)最差的，而且7人的成績(jī)各不相同”.那么他們7人不同的可能位次共有（）A．120種 B．216種 C．384種 D．504種【答案】D【詳解】因?yàn)榧椎某煽?jī)是中間一名，所以只需安排其余6人位次，因?yàn)橐也慌诺谝幻?，丙不排最后一名，所以由間接法可得,故選：D5．（2021·山東泰安市·高三一模）2020年11月，中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)在上海舉行，本次進(jìn)博會(huì)設(shè)置了“云采訪”區(qū)域，通過視頻連線，幫助中外記者采訪因疫情影響無法來滬參加進(jìn)博會(huì)的跨國(guó)企業(yè)CEO或海外負(fù)責(zé)人．某新聞機(jī)構(gòu)安排4名記者和3名攝影師對(duì)本次進(jìn)博會(huì)進(jìn)行采訪，其中2名記者和1名攝影師負(fù)責(zé)“云采訪”區(qū)域的采訪，另2名記者和2名攝影師分兩組（每組記者和攝影師各1人），分別負(fù)責(zé)“汽車展區(qū)”和“技術(shù)裝備展區(qū)”的現(xiàn)場(chǎng)采訪．如果所有記者、攝影師都能承擔(dān)三個(gè)采訪區(qū)域的相應(yīng)工作，則所有不同的安排方案有（）A．36種 B．48種 C．72種 D．144種【答案】C【詳解】解：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①在4名記者中任選2人，在3名攝影師中選出1人，安排到“云采訪”區(qū)域采訪，有種情況，②在剩下的外2名記者中選出1人，在2名攝影師中選出1人，安排到“汽車展區(qū)”采訪，有種情況，③將最后的1名記者和1名攝影師，安排到“技術(shù)裝備展區(qū)”采訪，有1種情況，則有種不同的安排方案，故選：（限時(shí)：30分鐘）1．在象棋比賽中，參賽的任意兩位選手都比賽一場(chǎng)，其中勝者得2分，負(fù)者得0分，平局各得1分.現(xiàn)有四名學(xué)生分別統(tǒng)計(jì)全部選手的總得分為131分，132分，133分，134分，但其中只有一名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)結(jié)果是正確的，則參賽選手共有（）A．11位 B．12位 C．13位 D．14位【答案】B【詳解】設(shè)參賽選手共有位，則總比賽場(chǎng)次為，即場(chǎng)，且，，由題意知：任意一場(chǎng)比賽結(jié)束，選手的總得分為2分，故所有選手總得分為分且為偶數(shù)，∴當(dāng)，得；當(dāng)，無整數(shù)解；∴(位).2．在的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由二項(xiàng)式通項(xiàng)，∴當(dāng)時(shí)，，則.∴的系數(shù)是.3．的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)的展開式的通項(xiàng)公式為，令，；令，，所以的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為：，故選：D.4．已知，則（）A．10 B．20 C．40 D．80【答案】C【詳解】因?yàn)樗怨蔬x：C5．2021年是鞏固脫貧攻堅(jiān)成果的重要一年，某縣為響應(yīng)國(guó)家政策，選派了6名工作人員到、、三個(gè)村調(diào)研脫貧后的產(chǎn)業(yè)規(guī)劃，每個(gè)村至少去1人，不同的安排方式共有（）A．630種 B．600種 C．540種 D．480種【答案】C【詳解】把6名工作人員分成1,1,4三組，再安排到三個(gè)村有：種；把6名工作人員分成2,2,2三組，再安排到三個(gè)村有：種；把6名工作人員分成1,2,3三組，再安排到三個(gè)村有：種；所以共有90+90+360=540種.6．小華在學(xué)校里學(xué)習(xí)了二十四節(jié)氣歌，打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)氣有關(guān)的古詩，他準(zhǔn)備在立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒6個(gè)冬季節(jié)氣與立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨6個(gè)春季節(jié)氣中一共選出3個(gè)節(jié)氣，若冬季節(jié)氣和春季節(jié)氣各至少選出1個(gè)，則小華選取節(jié)氣的不同方法種數(shù)是（）A．90 B．180 C．220 D．360【答案】B【詳解】依題意，6個(gè)冬季節(jié)氣和6個(gè)春季節(jié)氣各至少選出1個(gè)，小明可以選1冬2春、2冬1春.1冬2春的不同情況有：種，2冬1春的不同情況有：種，故小華選取節(jié)氣的不同方法種數(shù)是種.故選：B.7．2020年是脫貧攻堅(jiān)決戰(zhàn)決勝之年，某市為早日實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，現(xiàn)將甲、乙、丙、丁4名干部派遣到，，三個(gè)貧困縣扶貧，要求每個(gè)貧困縣至少分到一人，則甲、乙2名干部不被分到同一個(gè)貧困縣的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A，，三個(gè)貧困縣扶貧，共有種情況，其中甲、乙2名干部被分到同一個(gè)貧困縣共有種情況，所以甲、乙兩名干部不被分到同一個(gè)貧困縣的概率為.故選：D.8．甲、乙、丙、丁、戊5名黨員參加“黨史知識(shí)競(jìng)賽”，決出第一名到第五名的名次（無并列名次），己知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．據(jù)此推測(cè)5人的名次排列情況共有（）種A．5 B．8 C．14 D．21【答案】C【詳解】乙排在第五的情況有：，乙不在第五的方法有，共有，故選：C．9．今天是星期三，經(jīng)過7天后還是星期三，那么經(jīng)過天后是（）A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五【答案】C【詳解】所以被7除得余數(shù)為1，故經(jīng)過天后是星期四故選：C10．未來20年將是中國(guó)養(yǎng)老產(chǎn)業(yè)的黃金20年，康養(yǎng)小鎮(zhèn)已上升為國(guó)家戰(zhàn)略.康養(yǎng)小鎮(zhèn)是指以“健康”為小鎮(zhèn)開發(fā)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿點(diǎn)，以健康產(chǎn)業(yè)為核心，將健康?養(yǎng)生?養(yǎng)老?休閑?旅游等多元化功能融為一體，形成的生態(tài)環(huán)境較好的特色小鎮(zhèn).現(xiàn)將7位市場(chǎng)調(diào)查員安排到這5個(gè)產(chǎn)業(yè)中，共有安排方案的種數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】每位市場(chǎng)調(diào)查員在選擇時(shí)均有5種產(chǎn)業(yè)可選，共有7位調(diào)查員，所以安排方案有種.11．某省進(jìn)行高考綜合改革，要求學(xué)生從高二開始對(duì)課程進(jìn)行選修，即從化學(xué)、生物、政治、地理四門課程中選擇兩科進(jìn)行選修，則甲、乙兩人所選課程中至多有一科相同的選法的種數(shù)是（）A．12 B．24 C．30 D．36【答案】C【詳解】若甲、乙兩人所選課程中完全不同，選法有種；若甲、乙兩人所選課程中有一科相同，選法有種，所以甲、乙兩人所選課程中至多有一科相同的選法有種.故選：C.12．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】展開式的通項(xiàng)，令常數(shù)項(xiàng)，故選：D．13．已知多項(xiàng)選擇題的四個(gè)選項(xiàng)、、、中至少有兩個(gè)選項(xiàng)正確，規(guī)定：如果選擇了錯(cuò)誤選項(xiàng)就不得分．若某題的正確答案是，某考生隨機(jī)選了兩個(gè)選項(xiàng)，則其得分的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題得從4個(gè)選項(xiàng)里選兩個(gè)選項(xiàng)，共有種方法，從3個(gè)正確選項(xiàng)里選擇兩個(gè)選項(xiàng)，共有種方法.由古典概型的概率公式得所求的概率為.14．教育改革的核心是課程改革，新課程改革的核心理念就是教育以人為本，即一切為了每一位學(xué)生的發(fā)展．為滿足新課程的三維目標(biāo)要求，某校開設(shè)類選修課4門，類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門，若要求兩類課程中至少選一門，則不同的選法共有（）A．24種 B．48種C．32種 D．64種【答案】B【詳解】分兩種情況：第一種，選擇1門類選修課和2門類選修課，有種選法；