2-1高考中的數(shù)列基礎(chǔ)知識

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)秒殺數(shù)學(xué)第二章數(shù)列專題1高考中的數(shù)列基礎(chǔ)知識第一講等差數(shù)列等差數(shù)列：考點1an=a1+(n-1)d中的知三求一．【例1】若數(shù)列是等差數(shù)列，且，，則等于（）A． B． C． D．【解析】．【例2】在等差數(shù)列中，，，求它的首項，公差與的值．【解析】，，，．【例3】在等差數(shù)列中，，，則是該數(shù)列的第（）項A． B． C． D．【解析】，，，，，，．關(guān)于等差中項：如果成等差數(shù)列，則,在等差數(shù)列中，若且．1．2．3．若則．【例4】（1）等差數(shù)列中,，，則_________．若，求．若，求．（4）等差數(shù)列的前項和，若，求．【解析】（1）；（2），，；（3），，；（4）成等差數(shù)列，，，．1．，用此公式要求必須具備三個條件：．2．，此公式要求必須具備三個條件：（有時比較有用）．總之：兩個公式都表明要求必須已知中三個．【例5】已知等差數(shù)列中，，，，則（）A． B． C． D．【解析】，（舍去）或．【例6】設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，則等于（）A． B． C． D．【解析】，，，故選C．【例7】等差數(shù)列中，，，此數(shù)列的通項公式為，設(shè)是數(shù)列的前項和，則等于．【解析】，，，，．秒殺秘籍：考點2等差數(shù)列與二次函數(shù)：對于任意數(shù)列一定有定理一：為數(shù)列的前項和，為等差數(shù)列．若有，則是以為首項的等差數(shù)列．證明：根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式可知，．定理二：若有，則是等差數(shù)列，且．證明：用n-1代替n，得，利用作差得：故是等差數(shù)列，且【例8】【解析】，當(dāng)時，時亦滿足，∴首項，，∴成等差數(shù)列且公差為6【例9】設(shè)數(shù)列其前項和，問這個數(shù)列成等差嗎？【解析】時時∵不滿足∴∴數(shù)列不成等差數(shù)列，但從第2項起成等差數(shù)列．【例10】已知正數(shù)列的前n項和，求的通項公式．【解析】（1），，，，，∵為正數(shù)列，∴，∴為首項為1，公差為2的等差數(shù)列，∴．秒殺秘籍：考點3an與Sn之間一步轉(zhuǎn)換例：；．公式一：例：；．公式二：例：；．當(dāng)也成等差數(shù)列時，均有．【例11】設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，則等于（）A． B． C． D．【解析】；．【例12】等差數(shù)列的前項和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【解析】；；；，．【例13】有兩個等差數(shù)列，，其前項和分別為，，若對有成立，求．【解析】．【例14】若為等差數(shù)列，是其前項和，且，則的值為（）A． B． C． D．【解析】．【例15】若是等差數(shù)列{}的前項和，若為一確定常數(shù)，則下列各式也為確定常數(shù)的是（）A． B． C． D．【解析】，故選C．【例16】在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【解析】；．秒殺秘籍推廣：考點4只有S的模型與最值問題等差數(shù)列中：．例如：若，則一定有：；．若，則有可以求出，甚至特別的，若，則有．有最大值；有最小值，若，則有同時取得最值，的最大值；,的最大值.【例17】設(shè)等差數(shù)列的前項的和為，且，，求．【解析】．【例18】若是等差數(shù)列的前n項和,有的值為（）A． B． C． D．【解析】．【例19】設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若,則；_______．【解析】；；；．【例20】設(shè)SKIPIF1<0是等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（）A． B． C． D．【解析】設(shè)；，故．【例21】等差數(shù)列中，記為前n項和，若是一確定的常數(shù)，下列各式中，也為確定常數(shù)的是______．①；②；③；④；⑤【解析】，，．達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1．（2018?新課標(biāo)Ⅰ）記為等差數(shù)列{}的前n項和．若，，則（）A． B． C． D．2．（2017?新課標(biāo)Ⅰ）記為等差數(shù)列{}的前項和．若，，則{}的公差為（）A．1 B． C． D．3．（2016?新課標(biāo)Ⅰ）已知等差數(shù)列{}前項的和為，，則（）A． B． C． D．4．（2015?重慶）在等差數(shù)列{}中，若，，則（）A． B． C． D．5．（2015?新課標(biāo)Ⅰ）已知{}是公差為的等差數(shù)列，為{}的前項和，若，則（）A． B． C． D．6．（2015?新課標(biāo)Ⅱ）已知是等差數(shù)列{}的前項和，若，則（）A． B． C． D．7．（2014?福建）等差數(shù)列{}的前項和為，若，，則等于（）A． B． C． D．8．（2014?重慶）在等差數(shù)列{}中，，，則（）A． B． C． D．9．（2013?安徽）設(shè)為等差數(shù)列{}的前項和，，，則（）A． B． C． D．10．（2013?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{}的前項和為，若，，，則（）A． B． C． D．11．（2012?重慶）在等差數(shù)列{}中，，，則{}的前項和（）A． B． C． D．12．（2012?福建）等差數(shù)列{}中，，，則數(shù)列{}的公差為（）A． B． C． D．13．（2012?遼寧）在等差數(shù)列{}中，已知，則（）A． B． C． D．14．（2012?遼寧）在等差數(shù)列{}中，已知，則該數(shù)列前項和（）A． B． C． D．15．（2011?江西）設(shè){}為等差數(shù)列，公差，為其前項和，若，則（）A． B． C． D．16．（2010?福建）設(shè)等差數(shù)列{}的前項和為，若，，則當(dāng)取最小值時，等于（）A． B． C． D．17．（2010?安徽）設(shè)數(shù)列{}的前項和，則的值為（）A． B． C． D．18．（2010?重慶）在等差數(shù)列{}中，，則的值為（）A． B． C． D．19．（2010?大綱版Ⅱ）如果等差數(shù)列{}中，，那么（）A． B． C． D．20．（2009?安徽）已知{}為等差數(shù)列，，，以表示{}的前項和，則使得達(dá)到最大值的是（）A． B． C． D．21．（2018?上海）記等差數(shù)列{}的前項和為，若，，則．22．（2018?北京）設(shè){}是等差數(shù)列，且，，則{}的通項公式為．23．（2016?江蘇）已知{}是等差數(shù)列，是其前項和，若，，則的值是．24．（2016?北京）已知{}為等差數(shù)列，為其前項和．若，，則．25．（2015?廣東）在等差數(shù)列{}中，若，則．26．（2015?安徽）已知數(shù)列{}中，，，則數(shù)列{}的前項和等于．27．（2014?北京）28．（2013?上海）若等差數(shù)列的前項和為，前項和為，則數(shù)列的前項和．29．（2013?廣東）在等差數(shù)列{}中，已知，則．30．（2013?上海）在等差數(shù)列{}中，若，則．31．（2012?江西）設(shè)數(shù)列{}，{}都是等差數(shù)列，若，，則．32．（2012?北京）已知{}為等差數(shù)列，為其前項和，若，，則，．33．（2011?重慶）在等差數(shù)列{}中，，則．34．（2011?遼寧）為等差數(shù)列的前項和，，，則．35．（2011?天津）已知{}為等差數(shù)列，為{}的前項和，，若，，則值為．36．（2011?湖南）設(shè)是等差數(shù)列{}（）的前n項和，且，，則．37．（2010?遼寧）設(shè)為等差數(shù)列{}的前項和，若，，則．38．（2018?北京）設(shè){}是等差數(shù)列，且，．（1）求{}的通項公式；（2）求．39．（2018?新課標(biāo)Ⅱ）記Sn為等差數(shù)列{}的前項和，已知，．（1）求{}的通項公式；（2）求，并求的最小值．40.（2015?新課標(biāo)Ⅰ）記為數(shù)列{}的前項和，已知，．（1）求{}的通項公式；（2）設(shè)bn=，求數(shù)列{}的前n項和．

第二講等比數(shù)列一．關(guān)于等比中項：如果在a．b中插入一個數(shù)G，使a．G．b成GP，則G是a．b的等比中項．（注意兩解且同號兩項才有等比中項）例：2與8的等比中項為G，則二．等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)：1．與首末兩項等距離的兩項積等于首末兩項的積。與某一項距離相等的兩項之積等于這一項的平方．2．若，則．【例1】求下列各數(shù)列的通項公式：（1）等比數(shù)列，，；（2），且．【解析】（1）．（2）．【例2】在等比數(shù)列中,，，則（）A． B． C． D．【解析】∵，∴．【例3】在等比數(shù)列中，若是方程的兩根，則的值是．【解析】∵，∴．【例4】在等比數(shù)列，已知，，求．【解析】∵，∴．【例5】在等比數(shù)列中，，求該數(shù)列前七項之積．【解析】∵，∴前七項之積三．判斷一個數(shù)列是否成GP的方法：1．定義法2．中項法3．通項公式法【例6】已知數(shù)列的前項和為，．求，，的值；求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求的通項公式及．【解析】∵∴，同理，又∵an=SnSn-1∴∴{an}是首項為公比為的等比數(shù)列，∴；．【例7】設(shè)數(shù)列前項之和為，若，，問：數(shù)列成GP嗎？【解析】∵，∴，即即：，∴成GP又：，∴不成GP，但時成GP，即：四．一般公式推導(dǎo)：設(shè)①乘以公比，②①②：，時：時：注意：（1）和各已知三個可求第四個．（2）注意求和公式中是，通項公式中是不要混淆．（3）應(yīng)用求和公式時，必要時應(yīng)討論的情況．【例8】在等比數(shù)列中，，，則它的公比_______，前項和_______．【解析】，又，，．秒殺秘籍：考點1等比數(shù)列與一次函數(shù)定理一：，則是等比數(shù)列證明：是等比數(shù)列，其前項的和為，則．根據(jù)可以確定等比數(shù)列的通項公式．若，則是從第二項為首項的等比數(shù)列．定理二：，當(dāng)僅當(dāng)時，是等比數(shù)列；當(dāng)僅當(dāng)時，是從第二項為首項的等比數(shù)列．證明：是等比數(shù)列，其前n項的和為，則．【例9】在數(shù)列中，已知對任意正整數(shù)，有，則________．【解析】∵又∵an=SnSn-1∴;當(dāng)n=1時，也成立，∴{an}是首項為1公比為2的等比數(shù)列，∴；是首項為1，公比為4的等比數(shù)列，∴；．【例10】已知數(shù)列{}中，且，求和．【解析】∵an+1=Sn又∵an+1=Sn+1Sn∴Sn+1=2Sn∴{Sn}是公比為2的等比數(shù)列，其首項為S1=a1=2,∴S1=a1×2n1=2n∴當(dāng)n≥2時,an=SnSn1=2n1∴．【例11】若等比數(shù)列的前項和，則的值為_________．【解析】∵又∵an=SnSn-1∴;當(dāng)n=1時，，∴{an}是等比數(shù)列，∴；∴．【例12】在等比數(shù)列中，，求公式．【解析】∵，∴S1=a1=,；當(dāng)n≥2時,∴，∴{an}是首項為公比為的等比數(shù)列，∴．秒殺秘籍：考點2等差和類比等比積秒殺公式：例：；；拓展：若成等差數(shù)列時，有例：；．【例13】在等比數(shù)列{}中,如果，那么等于（）A． B． C． D．【解析】∵，∴．【例14】正項等比數(shù)列中，是方程的兩根，則（）A． B． C． D．【解析】根據(jù)韋達(dá)定理，∵，∴．【例15】在等比數(shù)列中，，，則（）A． B． C． D．【解析】∵，∴．【例16】已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，則為（）A． B． C． D．【解析】∵，．【例17】已知由正數(shù)組成的等比數(shù)列中,公比，,則（）A． B． C． D．【解析】，．秒殺秘籍：考點3等間隔的等比數(shù)列比值秒殺公式：．例如：①②③④強(qiáng)調(diào)：一定要項數(shù)相等，才能用此定理。推論：在等比數(shù)列中，當(dāng)項數(shù)時，．秒殺公式：．例如：①； ②； ③；④．強(qiáng)調(diào)：兩個公式其實表達(dá)的就是一個意思，整體成等比數(shù)列．【例18】已知是公比為2的等比數(shù)列，則的值為（）A． B． C． D．【解析】．【例19】已知等比數(shù)列的公比為，并且，那么的值是（）A． B． C． D．【解析】．．【例20】設(shè)等比數(shù)列{}中，前項和為，已知，，則等于（）A． B． C． D．【解析】，．【例21】設(shè)等比數(shù)列{}中，前項和為，已知，，求．【解析】，．【例22】已知為等比數(shù)列，是它的前項和，，，則．【解析】；；．達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1．（2015?新課標(biāo)Ⅱ）已知等比數(shù)列{}滿足，，則（）A． B． C． D．2．（2015?新課標(biāo)Ⅱ）已知等比數(shù)列{}滿足，，則（）A． B． C． D．3．（2014?大綱版）等比數(shù)列{}中，，，則數(shù)列{}的前項和等于（）A． B． C． D．4．（2014?大綱版）設(shè)等比數(shù)列{}的前項和為．若，，則（）A． B． C． D．5．（2013?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)首項為，公比為的等比數(shù)列{}的前項和為，則（）A． B． C． D．6．（2012?安徽）公比為的等比數(shù)列{}的各項都是正數(shù)，且，則（）A． B． C． D．7．（2012?新課標(biāo)）已知{}為等比數(shù)列，，，則（）A． B． C． D．8．（2012?安徽）公比為的等比數(shù)列{}的各項都是正數(shù)，且，則（）A． B． C． D．9．（2012?大綱版）已知數(shù)列{}的前項和為，，，則當(dāng)時，（）A． B． C． D．10．（2012?北京）已知{}為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是（）A． B． C．若，則 D．若，則11．（2011?四川）數(shù)列{}的前項和為，若，，則（）A． B． C． D．12．（2010?大綱版Ⅰ）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，，，則（）A． B． C． D．13．（2018?新課標(biāo)Ⅰ）記為數(shù)列{}的前項和．若，則．14．（2017?江蘇）等比數(shù)列{}的各項均為實數(shù)，其前項和為，已知，，則．15．（2016?浙江）設(shè)數(shù)列{}的前項和為，若，，，則，．16．（2016?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{}滿足，，則的最大值為．17．（2015?廣東）若三個正數(shù)，，成等比數(shù)列，其中，，則．18．（2015?湖南）設(shè)為等比數(shù)列{}的前項和，若，且，，成等差數(shù)列，則．19．（2015?新課標(biāo)Ⅰ）在數(shù)列{}中，，，為{}的前項和，若，則．20．（2014?廣東）等比數(shù)列{}的各項均為正數(shù)，且，則．21．（2014?江蘇）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}中，若，，則的值是．22．（2014?廣東）．23．（2013?新課標(biāo)Ⅰ）若數(shù)列{}的前項和為，則數(shù)列{}的通項公式是．24．（2013?遼寧）已知等比數(shù)列{}是遞增數(shù)列，是{}的前項和．若，是方程的兩個根，則．25．（2013?北京）若等比數(shù)列{}滿足，，則公比，前項和．26．（2012?遼寧）已知等比數(shù)列{}為遞增數(shù)列．若，且，則數(shù)列{}的公比．27．（2012?廣東）若等比數(shù)列{}滿足，則．28．（2011?上海）若為等比數(shù)列{}的前項的和，，則=．29．（2018?新課標(biāo)Ⅲ）等比數(shù)列{}中，，．（1）求{}的通項公式；（2）記為{}的前項和．若，求．30．（2018?新課標(biāo)Ⅰ）已知數(shù)列{}滿足，，設(shè)．求，，；判斷數(shù)列{}是否為等比數(shù)列，并說明理由；（3）求{}的通項公式．31．（2016?新課標(biāo)Ⅲ）已知數(shù)列{}的前項和，其中．（1）證明{}是等比數(shù)列，并求其通項公式；（2）若，求．32．（2015?重慶）已知等差數(shù)列{}滿足，前項和．（1）求{}的通項公式;（2）設(shè)等比數(shù)列{}滿足，，求{}前項和．33．（2015?山東）設(shè)數(shù)列{}的前項和為，已知．（1）求{}的通項公式；（2）若數(shù)列{}，滿足，求{}的前項和．34．（2011?大綱版）設(shè)等比數(shù)列{}的前項和為，已知，，求和．35．（2011?新課標(biāo)）已知等比數(shù)列{}中，，公比．（1）為{}的前項和，證明：．（2）設(shè)，求數(shù)列{}的通項公式．第三講錯位相減法秒殺秘籍：等差乘等比數(shù)列求和，令,可以用錯位相減法 ①②①-②得：．整理得：．口訣：加1去，值入，樓上樓下．【例1】求數(shù)列1++++…+的前n項和．【解析】①②①-②得：整理得：【例2】求數(shù)列1+++…+的前項和．【解析】得：整理得：．【例3】設(shè)數(shù)列滿足：（1）求數(shù)列的通項；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）兩式想減可得；（2）錯位相減，【例4】已知求的值；求數(shù)列的通項；（3）求證：．【解析】（1）因為?，所以???（2）因為?所以（3）錯位相減，因為①（4）把式①兩邊同乘以，得②①-②得達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1．（2017?山東）已知{}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，．（1）求數(shù)列{}通項公式；（2）{}為各項非零的等差數(shù)列，其前項和為，已知，求數(shù)列的前項和．2．（2017?天津）已知{}為等差數(shù)列，前項和為，{}是首項為的等比數(shù)列，且公比大于，，，．（1）求{}和{}的通項公式；（2）求數(shù)列{}的前項和．3．（2017?新課標(biāo)Ⅲ）設(shè)數(shù)列{}滿足．（1）求{}的通項公式；（2）求數(shù)列{}的前項和．4．（2016?山東）已知數(shù)列{}的前項和，{}是等差數(shù)列，且．（1）求數(shù)列{}的通項公式；（2）令，求數(shù)列{}的前項和．5．（2015?浙江）已知數(shù)列{}和{}滿足，，，．（1）求與；（2）記數(shù)列{}的前項和為，求．6．（2015?天津）已知{}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，{}是等差數(shù)列，且，，．（1）求{}和{}的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{}的前項和．7．（2015?湖北）設(shè)等差數(shù)列{}的公差為，前項和為，等比數(shù)列{}的公比為，已知，，，．（1）求數(shù)列{}，{}的通項公式（2）當(dāng)時，記，求數(shù)列{}的前項和．8．（2015?山東）已知數(shù)列{}是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列{}的前項和為．（1）求數(shù)列{}的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{}的前項和．9．（2014?新課標(biāo)Ⅰ）已知{}是遞增的等差數(shù)列，，是方程的根．（1）求{}的通項公式；（2）求數(shù)列{}的前項和．10．（2014?安徽）數(shù)列{}滿足，，．（1）證明：數(shù)列{}是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列{}的前項和．11．（2014?江西）已知首項是的兩個數(shù)列{}，{}（，）滿足．（1）令，求數(shù)列{}的通項公式；（2）若，求數(shù)列{}的前項和．12．（2013?大綱版）等差數(shù)列{}中，，．（1）求{}的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{}的前項和．13．（2013?湖南）設(shè)為數(shù)列{}的前項和，已知，（）．（1）求，，并求數(shù)列{}的通項公式；（2）求數(shù)列{}的前項和．14．（2013?江西）正項數(shù)列{}滿足：．（1）求數(shù)列{}的通項公式；（2）令，求數(shù)列{}的前項和．15．（2013?新課標(biāo)Ⅰ）已知等差數(shù)列{}的前項和滿足，．（1）求{}的通項公式；（2）求數(shù)列{}的前n項和．16．（2013?山東）設(shè)等差數(shù)列{}的前項和為，且，．（1）求數(shù)列{}的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列{}滿足()，求{}的前項和．17．（2013?廣東）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{}的前項和為，滿足（）且，，構(gòu)成等比數(shù)列．（1）證明：；（2）求數(shù)列{}的通項公式；（3）證明：對一切正整數(shù)，有．18．（2012?江西）已知數(shù)列{}的前項和（其中，為常數(shù)），且，．（1）求；（2）求數(shù)列{}的前項和．19．（2012?天津）已知{}是等差數(shù)列，其前項和為，{}是等比數(shù)列，且，，．（1）求數(shù)列{}與{}的通項公式；（2）記()，證明：．20．（2011?遼寧）已知等差數(shù)列{}滿足，．（1）求數(shù)列{}的通項公式；（2）求數(shù)列{}的前項和．第四講數(shù)列構(gòu)造秒殺秘籍：考點1整體等比構(gòu)造已知，，求通項．設(shè)則，從而，即數(shù)列是以為首項，公比為k的等比數(shù)列，從而可得：，．簡單的二階整體等比關(guān)于模型，或者（）可以轉(zhuǎn)化為：，打開利用成等比數(shù)列求出，再利用迭加法求出．【例1】已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式．【解析】，故是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，即，秒殺解法：，將兩式相減可得．秒殺秘籍：考點2整體等差構(gòu)造之倒數(shù)等差系列（1）數(shù)列滿足：，則有∴是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即：．（2）若數(shù)列的前n項和為，且滿足，則有，兩邊同除以得：，故是以為首項，k為公差的等差數(shù)列，即，再用，求．?dāng)?shù)列滿足：，則將邊同時除以，得到，是以為首項，r為公差的等差數(shù)列，即：，∴．【例2】在數(shù)列中，若，，則．【解析】取倒數(shù)得：，即所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，．【例3】已知數(shù)列的前項和為，且滿足（），．（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求的表達(dá)式．【解析】（1）因為，所以，兩邊同除以得：，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即，所以；（2）．【例4】已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式．【解析】將等式兩邊同時除以得，，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即，所以．【例5】已知數(shù)列的首項，，，，，…．，證明：數(shù)列是等比數(shù)列并求的通項公式．【解析】達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1．（2018?瓊海模擬）設(shè)是數(shù)列{}的前項和，且，，則（）A． B． C． D．2．（2018?曲靖一模）數(shù)列{}中，，，設(shè)其前項和為，則（）A． B． C． D．3．（2018?合肥一模）已知數(shù)列{}的前項和為，若3，則（）A． B． C． D．4．（2018?道里一模）設(shè)是數(shù)列{}的前項和，若，則（）A． B． C． D．5．（2018?莆田二模）已知數(shù)列{}滿足，，則（）A． B． C． D．6．（2015?新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)數(shù)列{}的前項和為，且，，則