五年(2018-2022)全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編(全國卷新高考卷北京天津卷等)專題15概率(解析版)

2018-2022五年全國各省份高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

專題15概率

一、選擇題

1.（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）?第6題）從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取

2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

1122

A.-B.-C.-D.一

5353

【答案】C

【解析】從6張卡片中無放回抽取2張，共有

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）15種情況,

其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有（L4）,（2,4）,（2,6卜（3,4）,（4,5卜（4,6）6種情況，故概率為\=|.

故選：C.

【題目欄目】概率,事件與概率\隨機(jī)事件的頻率與概率

【題目來源】2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）?第6題

2.（2022新高考全國I卷?第5題）從2至87個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為

（）

1112

A-B.-C."D.一

6323

【答案】D

解析：從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有:（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7種,

21-72

故所求概率尸=-----故選：D.

213

【題目欄目】概率,古典概型與幾何概型,古典概型

【題目來源】2022新高考全國I卷?第5題

3.（2021年新高考全國II卷?第6題）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布2V（10,（72）,下列結(jié)論中不正確的

是（）

A.b越小，該物理量在一次測量中在（9.9,10.1）的概率越大

B.。越小，該物理量在一次測量中大于10概率為0.5

C.。越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.b越小，該物理量在一

次測量中落在（9.9,10.2）1與落在（10,10.3）的概率相等

【答案】D

解析:對于A,『為數(shù)據(jù)的方差，所以b越小，數(shù)據(jù)在〃=10附近越集中，所以測量結(jié)果落在（9.9,10.1）

內(nèi)的概率越大，故A正確；

對于B,由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5,故B正確；

對于C,由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的

概率相等，故C正確；

對于D,因為該物理量一次測量結(jié)果落在（9.9,10.0）的概率與落在（10.2,1（）.3）的概率不同，所以一次測

量結(jié)果落在（99102）的概率與落在（10,10.3）的概率不同，故D錯誤,故選D.

【題目欄目】概率'正態(tài)分布

【題目來源】2021年新高考全國II卷?第6題

4.（2021年新高考I卷?第8題）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)

取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的

數(shù)字是2”，丙表示事件”兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件”兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，

則（）

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

【答案】B

解析：P（甲）=2，P（乙）=1,P（丙）=［，0（丁），

6o36366

P（甲丙）=0r尸（甲）尸（丙），尸（甲?。?」=P（甲）P（?。?/p>

36

P（乙丙）尸（乙）P（丙），P（丙丁）=0W尸（?。㏄（丙）,故選B.

36

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

【題目欄目】概率'事件與概率'事件的關(guān)系及運算

【題目來源】2021年新高考I卷?第8題

5.（2021年高考全國甲卷文科?第10題）將3個1和2個。隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰概率為

()

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

【答案】c

解析：解：將3個1和2個0隨機(jī)排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,

共10種排法，

其中2個0不相鄰的排列方法為：

01011,01101,01110,10101,10110,11010,

共6種方法，

故2個0不相鄰的概率為9=0.6,

10

故選：C.

【題目欄目】概率,古典概型與幾何概型'古典概型

【題目來源】2021年高考全國甲卷文科?第10題

6.（2021年全國高考乙卷文科?第7題）在區(qū)間（0，:隨機(jī)取1個數(shù)，則取到的數(shù)小于工的概率為

I2_3

()

【答案】B

解析：設(shè)。="區(qū)間0,；隨機(jī)取1個數(shù)”=卜|0<%<；

A="取到的數(shù)小于1=卜|0<%<；｝,所以尸==F=：

3IfI叼士-0J

2

故選：B.

【點睛】本題解題關(guān)鍵是明確事件“取到的數(shù)小于;”對應(yīng)的范圍，再根據(jù)幾何概型的概率公式即可

準(zhǔn)確求出.

【題目欄目】概率,古典概型與幾何概型\幾何概型

【題目來源】2021年全國高考乙卷文科?第7題

7.（2021高考北京?第8題）某一時間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在

水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：mm）.24h降雨量的等級劃分如下：

等級24h降雨量，格確到0.1）H—200mm-H

..........

小雨0.1?9.9

中雨10.0-24.9

大雨25.0-49.9

暴雨50.0?99.9

..........

在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200mm,高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降

雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示），則這24h降雨量的等級是

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答案】B

解析：由題意，一個半徑為一=100（mm）的圓面內(nèi)的降雨充滿一個底面半徑為

—x嘿=50（mm）,高為150（mm）的圓錐，所以積水厚度7x5()2x150

3—12.5(mm)1屬

萬xlOO?

于中雨.

故選：B.

【題目欄目】

【題目來源】2021高考北京?第8題

8.（2020年高考課標(biāo)I卷文科?第4題）設(shè)。為正方形ABCD的中心，在。，4.B.C.。中任取3點，則

取到的3點共線的概率為)

1214

----

A.5B.525

【答案】A

【解析】如圖，從。AB,C,￡>5個點中任取3個有

{O,A,B},{O,A,C},{O,A,D},{O,B,C]{O,B,D},{O,C,D},{A,B,C},{A,B,D}

{AC。},{BCD}共10種不同取法，

3點共線只有{A。,C}與{氏0,0共2種情況，

21

由古典概型的概率計算公式知，取到3點共線的概率為一=

105

故選：A

【點晴】本題主要考查古典概型的概率計算問題，采用列舉法，考查學(xué)

生數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.

【題目欄目】概率'古典概型與幾何概型'古典概型

【題目來源】2020年高考課標(biāo)I卷文科?第4題

年高考課標(biāo)卷文科?第題）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)。的方差為則數(shù)據(jù)

9.（2020IH3xi,X2,X0.01,lOxi,10x2,

的方差為

10xn（）

A.0.01B.0.1C.1D.10

【答案】C

【解析】因為數(shù)據(jù)叫+4為=1,2,L,〃）的方差是數(shù)據(jù)x,,（i=l,2,L,〃）的方差的“倍，

所以所求數(shù)據(jù)方差為IO?x0.01=1

故選：C

【點睛】本題考查方差，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

【題目欄目】概率、離散型隨機(jī)變量的均值、方差

【題目來源】2020年高考課標(biāo)in卷文科?第3題

10.（2020年新高考全國I卷（山東）?第5題）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足

球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該

校學(xué)生總數(shù)的比例是（）

A.62%B.56%

C.46%D.42%

【答案】C

解析：記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件A，“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件5,則“該中學(xué)學(xué)生喜歡

足球或游泳”為事件A+3,“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件43,則P（A）=0.6,

尸（B）=0.82,P（A+B）=0.96,

所以尸(A?B)=尸(A)+P(B)—尸(A+B)=0.6+0.82-0.96=0.46

所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%.故選：C.

【題目欄目】概率'事件與概率\隨機(jī)事件的頻率與概率

【題目來源】2020年新高考全國1卷(山東)?第5題

11.(2020年新高考全國卷H數(shù)學(xué)(海南)?第5題)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜

歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)

占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()

A.62%B.56%

C.46%D.42%

【答案】C

解析：記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件A，“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件則“該中學(xué)學(xué)生喜歡

足球或游泳”為事件A+B，”該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件

則P(A)=0.6,P(8)=0.82,P(A+3)=0.96,

所以P(AB)=P(A)+P(B)—P(A+8)=0.6+0.82-0.96=0.46

所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%.故選：C.

【題目欄目】概率、事件與概率'隨機(jī)事件的頻率與概率

【題目來源】2020年新高考全國卷II數(shù)學(xué)(海南)?第5題

12.(2019年高考浙江文理?第7題)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列是

則當(dāng)。在(0,1)內(nèi)增大時()

A.O(X)先增大B.0(X)減小

C.4X)先增大后減小D.D(X)先減小后增大

【答案】【答案】D

【解析】解法■：E(X)=^，RX)=(0一竽W+(〃一號)2xg+(l一苧2xg=飄一步+/

所以當(dāng)0<a<l時，C(X)隨。增大先減小再增大.

解析二：D(X)=E(X2)-￡2(X)=0+a2xl+lxl-(-^￡)2=-(?—?-)2+1,所以當(dāng)Ocavl時，D(X)

333926

隨a增大先減小再增大.

2

解法三：當(dāng)時，此時數(shù)據(jù)分布最為均勻；當(dāng)a=0或a=l時，兩種數(shù)據(jù)分布對稱，且都比較分散.故

可知Q（x）隨。增大先減小再增大.

【題目欄目】概率'離散型隨機(jī)變量的均值、方差

【題目來源】2019年高考浙江文理?第7題

13.（2019年高考全國HI文?第3題）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是

（）

【答案】【答案】D

【解析】用捆綁法將兩女生捆綁在一起作為一個人排列，有可卷=12種排法，再所有的4個人全排列

有：A；=24種排法，利用古典概型求概率原理得：,故選：D.

注：文科方法為枚舉法.

【題目欄目】概率、古典概型與幾何概型、排列組合與古典概型

【題目來源】2019年高考全國III文?第3題

14.（2019年高考全國H文?第4題）生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標(biāo)，若從這5只

兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為（）

【答案】【答案】B

【解析】設(shè)其中做過測試的3只兔子為a/,c,剩余的2只為A,B,則從這5只中任取3只的所有取法

有{a,dc},{a,0,A},{a,6,5},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,5},{ac,A},{）,c,8},{b,A3},{c,A3}共10

種.其中恰有2只做過測試的取法有{a,加A},{a也8},{。,。4},{。,，,8},電。,外,也,￡：,陰共6種,

所以恰有2只做過測試的概率為*=|,故選B.

【點評】本題主要考查古典概率的求解，題目較易，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.應(yīng)用列

舉法寫出所有基本事件過程中易于出現(xiàn)遺漏或重復(fù)，將兔子標(biāo)注字母，利用"樹圖法"，可最大限度的避

免出錯.

【題目欄目】概率'古典概型與幾何概型,古典概型

【題目來源】2019年高考全國II文?第4題

15.（2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷?第7題）設(shè)隨機(jī)變量J的分布列是

4012

P_

P

222

則當(dāng)p在（0,1）內(nèi)增大時，（）

A.。（鄉(xiāng)減小B.增大C.￡）?）先減小后增大D.OC）先增大后減小

【答案】D

解析：【基本解法1】由EC）=0x.+lxg+2x5=g+p,

xX—P

2

;（zP?+；）+夕—4/?+2）=_/+p+：,

表示開口向下的拋物線，對稱軸為g,所以當(dāng)p=g時，。(。)取得最大值，

又因為0<〃<1,所以當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時，。(4)先增大后減小.

【基本解法2】特值法：由EC)=0x，+lx3+2x5=g+〃，

當(dāng)—時，%4g

19217I72I1

當(dāng)p=]時，E(J=1,D(^)=(0-1)X-+(1-1)-X-+(2-1)X-=-;

3(3V1<3丫1I

當(dāng)p=l時，44)=5,℃)=1--x-+2--x-=-.

所以當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時，0(。)先增大后減小.

【基本解法3】

g012

6014

P_

P

222

L/匕、C1-“，11cP1廣/匕2、C1一〃11/P1c

E(g)—Ox-----F1x—F2x—=—Fp>E?)—0x-----F1x—F4x—=—1-2p，

22222

℃)=￡($)一￡2《)=2+2〃_(!+〃]=_P2+〃+J,

2\2J4

表示開口向下的拋物線，對稱軸為;，所以當(dāng)p=g時，取得最大值，

又因為0<p<I,所以當(dāng)p在(0,1)內(nèi)增大時，。(g)先增大后減小.

【題目欄目】概率'離散型隨機(jī)變量的均值、方差【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷?第7題

16.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)m卷(文)?第5題)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金

支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為()

A.0.3B.0.4C.0.6D,0.7

【答案】B

解析：某群體中的成員只有“只用現(xiàn)金支付”、“既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付”以及“不用現(xiàn)金支付”

三種基本事件，并且他們相互互斥.所以不用現(xiàn)金支付的概率為：1—0.45-（）.15=0.4.故選B.

【題目欄目】概率、事件與概率'互斥事件與對立事件

【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷（文）?第5題

17.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷（文）?第5題）從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選

中的2人都是女同學(xué)的概率為（）

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

【答案】D

解析：（適合理科生）從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，共有=10種，其中全是

女生的有=3種，故選中的2人都是女同學(xué)的概率P=—=Q.3,

10

（適合文科生），設(shè)2名男生為?？?3名女生為A,8,C,

則任選2人的種數(shù)為ab,aA,aB,aC,bA,bB,bC,AB,AC,BC共10種，其中全是女生為AB,AC,BC共

3種，故選中的2人都是女同學(xué)的概率尸=23=0.3,故選D.

10

【題目欄目】概率'古典概型與幾何概型,古典概型

【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)[I卷（文）?第5題

二、多選題

18.（2021年新高考全國II卷?第9題）下列統(tǒng)計量中，能度量樣本%,馬,…，%的離散程度的是（）

A.樣本…,i的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本為,彳2,…，升的中位數(shù)

C.樣本西,工2,…,乙的極差D.樣本X1，W，％的平均數(shù)

【答案】AC

解析：由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是

數(shù)據(jù)的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)

考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢,故選AC.

【題目欄目】概率\離散型隨機(jī)變量的均值、方差

【題目來源】2021年新高考全國H卷?第9題

19.（2020年新高考全國I卷（山東）?第12題）信息牖是信息論中的一個重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能

的取值為1,2,…,〃，且尸（X=i）=p,>0（i=1,2,…p,=1,定義X的信息烯”（X）=-￡p,log2Pi.

r=lf=l

（）

A.若n=l,則，（X）=0B.若n=2,則H（X）隨著Pi的增大而增大

C.若口=4=1,2,則H（X）隨著n的增大而增大

n

D.若n=2m,隨機(jī)變量丫所有可能的取值為1,2,…,加，且尸（丫=力=丹+J=1,2,…，⑼，貝I]

【答案】AC

解析：對于A選項，若〃=1,貝=所以"(X)=—(lxlog21)=0,所以A選項正確.

對于B選項，若〃=2,則i=l,2,p2=1-p,,

所以H(X)=—[p]-log?P|+(l—pj-log2(l—

i,1133、

當(dāng)時，H(X)=_^,10g2-+--10g2^J-

當(dāng)Pi=1時，+

兩者相等，所以B選項錯誤.

對于C選項，若P：=』(i=1,2,…,則

n

>

A/(X)=-f--log,-|xz2=-log,-=log1?,

\nnJ-n

則”(X)隨著“增大而增大，所以C選項正確.

對于D選項，若n=2m,隨機(jī)變量y的所有可能的取值為1,2,…,〃?，且P"=力=為+0,用-)

(j=l,2,???,??).

?嗎?21

"(X)=P,?1幅Pi=￡P(guān)i,log?—

i=li=lPi

I111I11

lo1

=Pl-log,一+〃210g2—+…+P2m-I-§2-----+，2,”,log?一.

P\PlP2nLiPim

”(y)=

+

(P\P2”,).l°g2---+(P2+P2,”T).l0g2---------+-??+(Pm+P〃,+J,l°g2—'；一

++

Pl+P2mPlP2,n-\P,?P,?+i

,1,1,1,1

=P\-lOg2--------+P2.l°g2----------+…+P2,"-l?bg2----------+〃2,“.bg2--------由于

Pl+P2mPl+P2,"-lP2+P2,n-\Pl+P2m

,、11,1,1

p,->0(i=l,2,…,2根)，所以一>----------,所以log2—>l°g2----------

+

PiPiP2giPiP,+P2m+I-,'

所以

P,?10g2—>Pi-10g2----------------

PiPi+Plm+\-i

所以H（X）〉H（y）,所以D選項錯誤.故選：AC

【題目欄目】概率'離散型隨機(jī)變量及其概率分布'二項分布

【題目來源】2020年新高考全國I卷（山東）?第12題

三、填空題

20.（2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題?第15題）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7

張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為則P（J=2）=,E?=

【答案】①.《，②.

3577

解析:從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有C；種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最

小值為2的取法有C：+種，所以P記=2）=M,

由已知可得〈的取值有1,2.3,4,

1吟唱"A）嘴

C2311

%=3）=消=行，P（J=4）7=R

所以E?=

故答案為：||12

T

【題目欄目】

【題目來源】2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題?第15題

21.（2022新高考全國II卷?第13題）.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,且

尸（2<*?2.5）=0.36,則D（乂>2.5）=.【答案】0.14

解析：因為X?N（2,吟,所以P（X<2）=P（X>2）=0.5,因此

P（X>2.5）=P（X>2）-尸（2<XW2.5）=0.5-0.36=0.14.故答案為：0.14.

【題目欄目】

【題目來源】2022新高考全國II卷?第13題

22.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）?第14題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、

乙都入選的概率為一

3

【答案】-

10

解析：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3,從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，

有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,（乙，1,2）,

（乙,1,3）,（乙,2,3）,（1,2,3）,共10種選法;

3

其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率？=一.

10

3

故答案為：—.

【題目欄目】概率、事件與概率、隨機(jī)事件的頻率與概率

【題目來源】2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）?第14題

23.（2021年高考浙江卷?第15題）袋中有4個紅球m個黃球，n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅

球數(shù)為4,若取出的兩個球都是紅球的概率為7，一紅一黃的概率為《，則帆-〃=___________，E?=

63

【答案】（1）.1（2）.1

解析：p（<^=2）=-—=—7^—=>nC：+“+4=36,所以%+〃+4=9,

p（一紅一黃）=%￡工=黑=?=；=機(jī)=3,所以"=2,則相一〃=1.

ITD"c、1D"nC：V4x55，C：105

由于P（。=2）=_,P（J=1）=,，=----==0n）=—y=一=一

6Ck369《3618

icc15^2

）故答案為；

.?.E?=-x2+-xl+^x0=-+-=-.1

【題目欄目】概率'離散型隨機(jī)變量的均值、方差

【題目來源】2021年高考浙江卷?第15題24.（2021高考天津?第14題）甲、乙兩人在每次猜謎活動

中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動

中，甲、乙猜對的概率分別為之和,，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不

65

影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為,3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為

【答案】①.；2②.工20

542

解析：由題可得一次活動中，甲獲勝的概率為一x-=—；

653

(120

則在3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為C；x-x-+\-\.

3⑶3⑶27

故答案為：］2；鳥20.

327

【題目欄目】概率、事件與概率、隨機(jī)事件的頻率與概率

【題目來源】2021高考天津?第14題

25.(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第16題)一個盒子里有1個紅1個綠2個黃四個相同的球,每次拿一個,

不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出黃球的個數(shù)為4，則P?=0)=；E(J)=.

【答案】(1).1(2).1

解析：因為＜=0對應(yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，

所以P?=0)=；+；xg=g,

隨機(jī)變量g=0,l,2,

“八212111211

P(c=1)=—x-+—X-X—+—X—X—=-,

434324323

PC=2)=1—；一冷，

所以￡《)=0、!+1、；+2乂!=1.

【題目欄目】

【題目來源】2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第16題

26.(2020天津高考?第13題)已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為1和假定兩球是否落入盒子互

NJ

不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為;甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為

【答案】【答案】(1).21&)?23【解析】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為1：，I：，且兩球

o323

是否落入盒子互不影響，

所以甲、乙都落入盒子概率為

236

甲、乙兩球都不落入盒子的概率為(l-g)x(l-g)=g,

217

所以甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為彳.故答案為：-；

363

【題目欄目】概率,事件與概率\隨機(jī)事件的頻率與概率

【題目來源】2020天津高考?第13題

27.（2020江蘇高考??第4題）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)和為

5的概率是

【答案】【答案】-

9

【解析】根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為6x6=36個.

點數(shù)和為5的基本事件有（1,4）,（4,1）,（2,3）,（3,2）共4個.

,出現(xiàn)向上的點數(shù)和為5的概率為尸=弓=；；.故答案為：--

3699

【題目欄目】概率,古典概型與幾何概型'古典概型

【題目來源】2020江蘇高考?第4題

28.（2019年高考上海?第10題）某三位數(shù)密碼鎖，每位數(shù)字在0-9數(shù)字中選取，其中恰有兩位數(shù)字相同

的概率是.

27

【答案】【答案】—

【解析】法一：2=必與&=衛(wèi)-（分子含義：選相同數(shù)字X選位置X選第三個數(shù)字）

103100

法二：P=1-邙="（分子含義:三位數(shù)字都相同+三位數(shù)字都不同）

1031100

【點評】本題主要考查排列組合、概率.

【題目欄目】概率,古典概型與幾何概型\排列組合與古典概型

【題目來源】2019年高考上海?第10題

29.（2019年高考江蘇?第6題）從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2

名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是.

【答案】【答案】口

10

【解析】從5名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，共有10種方法，其中不含女生的方法有3種，因此所求概率為

37

1t———.

1010

【題目欄目】概率'古典概型與幾何概型'古典概型

【題目來源】2019年高考江蘇?第6題

30.（2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷?第6題）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活

動，則恰好選中2名女生的概率為.

,3

【答案】-

10

解析：從5名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，共有10種方法，其中恰好選中2名女生的方法有3種，因此所求

3

概率為2.

10

【題目欄目】概率,古典概型與幾何概型'古典概型

【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷?第6題

31.（2018年高考數(shù)學(xué)上海?第9題）有編號互不相同的五個祛碼，其中5克、3克、1克祛碼各一個，2克

祛碼兩個.從中隨機(jī)選取三個，則這三個祛碼的總質(zhì)量為9克的概率是.

【答案】-

5

解析：因為9為奇數(shù).所以拿取祛碼的情況有：

①三個祛碼中有2個偶數(shù)克（2克），一個奇數(shù)克（5克）；

②三個祛碼中沒有偶數(shù)，三個全為奇數(shù)克，即5克、3克、1克祛碼全部取出.

221

所以所求概率為一T=—=—.

C；105

【題目欄目】概率'古典概型與幾何概型'古典概型

【題目來源】2018年高考數(shù)學(xué)上海?第9題

四、解答題

32.（2022高考北京卷?第18題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到9.50m

以上（含9.50m）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎.為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往

的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,935,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立.

（1）估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；

（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望E（X）；

（3）在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）

【答案】解析：。）由頻率估計概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4,乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5,丙獲得

優(yōu)秀的概率為0.5,故答案為0.4

（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件4,乙獲得優(yōu)秀為事件A2,丙獲得優(yōu)秀為事件G

------3

p（X=0）=尸（444）=0.6x0.5x0.5=/

P（X=I）=尸（.豆）+P（4&W）+

Q

=0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.54-0.6x0.5x0.5=——,

20

P（X=2）=P（A44）+P（44A）+P（A44）

7

=0.4x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=—，

20

P(X=3)=尸(AA2A3)=0.4X0.5X0.5=2.

，x的分布列為

X0123

3872

p

20202020

387?7

E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=-

202020205

（3）丙奪冠概率估計值最大.

因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為,，甲獲得9.80的概

4

率為」?，乙獲得9.78的概率為并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越

106

有利.

【題目欄目】

【題目來源】2022高考北京卷?第18題

33.（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）?第17題）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和8兩家公司運營，為

了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表:

準(zhǔn)點班次數(shù)未準(zhǔn)點班次數(shù)

424020

B210