16全國高中數(shù)學(xué)競賽講義-直線和圓、圓錐曲線練習(xí)題整理

§18直線和圓，圓錐曲線課后練習(xí)1.已知點a為雙曲線x1.已知點a為雙曲線x2—y2

邊三角形，貝則AABC的面積是<3 3J3(A)—— (B)---3 2=1的左頂點3<3點B和點C在雙曲線的右支上，AABC是等6<32.平面上整點(縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點)v'34 2.平面上整點(縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點)v'34 <34 1(A)前(B)記(C)205 4到直線y=3x+5的距離中的最小值是1(D)——30TOC\o"1-5"\h\z3.若實數(shù)x,y滿足(x+5)2+(y-12)2=142,則x2+y2的最小值為 _(A)2 (B)1 (C)<3 (D)<2x y-x2 y2 “.直線:+4=1橢圓=+一二1相交于A,B兩點，該圓上點P,使得力PAB面積等于3,4 3 16 9這樣的點P共有(A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個.設(shè)a,b￡R,abW0,那么直線ax—y+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是ABCD6.ABCD6.過拋物線y2=8(x+2)的焦點F作傾斜角為60o的直線，若此直線與拋物線交于A、B兩點，弦AB的中垂線與x軸交于P點，則線段PF的長等于163D.8-vi163D.8-vix2 y2.方程.k.不+——， 三二1表示的曲線是sinv2—sin''3cos*2-cosJ3A.焦點在x軸上的橢圓 B.焦點在x軸上的雙曲線C.焦點在y軸上的橢圓 D.焦點在y軸上的雙曲線x2 y2.在橢圓一；+^-=1(〃>b>0)中，記左焦點為F,右頂點為A,短軸上方的端點為B。a2 b2若該橢圓的離心率是，則若該橢圓的離心率是，則/ABF=.設(shè)F,F)是橢圓1+:=1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF/：|PF,|=2：1,則1 2 9 4 1 2三角形APF1F2的面積等于..在平面直角坐標(biāo)系XOY中，給定兩點M(-1,2)和N(1,4),點P在X軸上移動，當(dāng)/MPN取最大值時，點P的橫坐標(biāo)為。.若正方形ABCD的一條邊在直線y=2X-17上，另外兩個頂點在拋物線y=x2上.則該正方形面積的最小值為.X2y212.已知C0：x2+y2=1和C.：-+^-=1(〃>b>0)。試問：當(dāng)且僅當(dāng)a,b滿足什么0 1a2b2條件時，對G任意一點P,均存在以P為頂點、與C0外切、與C1內(nèi)接的平行四邊形？并證明你的結(jié)論。X2 .13.設(shè)曲線C:一+y2=1(a為正常數(shù))與C-v2=2(x+m)在x軸上方公有一個公共點P。1a2 2(1)實數(shù)m的取值范圍(用a表示)；(2)O為原點，若C1與x軸的負(fù)半軸交于點A,當(dāng)0<a<1時，試求力OAP的面積的最大值(用a表示)。14.已知點A(0,2)和拋物線y2=x+4上兩點且C使得AB1BC,求點C的縱坐標(biāo)的取值范圍.15.一張紙上畫有半徑為R的圓。和圓內(nèi)一定點4且0A=a.拆疊紙片，使圓周上某一點A剛好與A點重合，這樣的每一種拆法，都留下一條直線折痕，當(dāng)A/取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合.-4、?―”小.(04,14)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，給定三點A(0,§),B(-1,0),C(1,0)，點P到直線BC的距離是該點到直線AB,AC距離的等比中項。(I)求點P的軌跡方程；(II)若直線L經(jīng)過AABC的內(nèi)心(設(shè)為D),且與P點的軌跡恰好有3個公共點，求L的斜率k的取值范圍。.過拋物線y=X2上的一點A(1,1)作拋物線的切線，分別交X軸于D,交y軸于B.點Cae^E BF在拋物線上，點E在線段AC上，滿足k=九；點F在線段BC上，滿足后八，且EC i FC 2々+%=1，線段CD與EF交于點P.當(dāng)點C在拋物線上移動時，求點P的軌跡方程.課后練習(xí)答案2、回1.C2.B3.B4.B 5.B6.A7.C 8.90° 9. 3.設(shè)橢圓的長軸、短軸的長及焦矩分別為2a、2b、2c,則由其方程知a=3,b=2,c=v?,故，|QFJ+|PF2|=2a=6,又已知仍「1|：|PF2|=2：1,故可得|PFl|=4,|PF2|=2.在^PFlF2中，三邊之長分別為2,4,2-石，而22+42=(2<5)2,可見^PFlF2是直角三角形，且兩直角邊的長為2和4,故^PFlF2的面積=4..解：經(jīng)過M、N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3-x上，設(shè)圓心為S(a,3-a),則圓S的方程為：(x-a)2+(y-3+a)2=2(1+a2)對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當(dāng)/MPN取最大值時，經(jīng)過M,N,P三點的圓S必與X軸相切于點P,即圓S的方程中的a值必須滿足2(1+a2)=(a—3)2,解得a=1或a=-7。即對應(yīng)的切點分別為P(1,0)和P1(-7,0)，而過點M,N,p'的圓的半徑大于過點M,N,P的圓的半徑，所以/MPN>/MP'N，故點P(1,0)為所求，所以點P的橫坐標(biāo)為1。.解：設(shè)正方形的邊AB在直線y=2x-17上，而位于拋物線上的兩個頂點坐標(biāo)為C(x1，yJ、Dx2,y2),貝"CD所在直線/的方程y=2x+4將直線/的方程與拋物線方程聯(lián)立，得x2=2x+bnx二1±7b+1.1,2令正方形邊長為a,則a2二(5-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2=20(b+1)-①在y=2在y=2x-17上任取一點(6,,5),它到直線y=2x+b的距離為a,，a=117+bI<5②.①、②聯(lián)立解得b=3,b=63.，a2=80,或a2=1280.，a2=80.1 2 min.利用極坐標(biāo)解決：以坐標(biāo)原點為極點，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為1 cos20+sin20 (、p2—a2 b2一顯知此平行四邊形ABCD必為菱形，設(shè)A(匕,0)，則B(P2,90o+0)代入(1)式相加：-+-=—-+-TP12p?2 a2b2由于該菱形必與單位圓相切，故原點到AB的距離為1,,- 7 1???P1Pl=1y匕2+P22，從而至+-J1,?=114.合;合.+y2,- 7 1???P1Pl=1y匕2+P22，從而至+-J1,?=114.合;合.+y2=1消去y得：x2+2a2x+2a2m-a2=0 ①設(shè)f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2，問題(1)化為方程①在x￡(—a,a)上有唯一解或等根.只需討論以下三種情況:a2+1△=0得：m= ,此時Xp=-a2,當(dāng)且僅當(dāng)一a<-a2<a,即0<a<1時適f(a)f(—a)<0，當(dāng)且僅當(dāng)一a<m<a；f(—a)=0得m=a，此時xp=a—2a2，當(dāng)且僅當(dāng)一a<a—2a2<a，即0<a<1時適f(a)=0得m=—a，此時xp=—a—2a2，由于一a—2a2<—a，從而mW—a.綜上可知，當(dāng)0<a<1時，m=a+1或一a<mWa；2當(dāng)a三1時，一a<m<a.1(2心OAP的面積S=—ay2p1V0<a<—2故一a<mWa時，0<-a2+a\a2+1-2m<a,由唯一性得x=-a2+a\a2+1-2m顯然當(dāng)m=a時，5取值最小?由于5A0從而y=J1-工取值最大，此時pa2y=21a—a2，.二S=aaa-a2.二r 1 0-rx=—a2,y=v1一a2，此時S=一av1-a2.p p 2一一，一- ,1 ?F面比較a\-a-a2與一a\1-a2的大小:2令axa-a2=-a\'1-a2

2，得a=—31，故當(dāng)0<aW時，3,.1 1,當(dāng)一<a<時3 2:---1 二~~：a^a-a2W—a\1—a22a\：a-a2〉—a\1-a221 止匕時S =a\1-a2.max2止匕時S =a^a一a2.15.解：設(shè)B點坐標(biāo)為(y2-4,y),。點坐標(biāo)為(y2—4,y).消去x,消去x,TOC\o"1-5"\h\z,y—2 1顯然y2-4豐0，故k=T一-= -1 ABy2一4y+2i i由于AB1BC,所以鼠=—(yi+2)從而y=y=-(y+2)[x-(y2-4)]i i i從而y2=x+4(2+yi)(y+yj+i=0nyi2+2(2+y)y「(2y+i)=0由A>0解得：y<0或y>4.當(dāng)y=0時，點B的坐標(biāo)為(-3,-i)；當(dāng)y=4時，點B的坐標(biāo)為(5,-3)，均滿足是題意.故點C的縱坐標(biāo)的取值范圍是y<0或y>4.16.解：如圖，以。為原點，。八所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則有4。，0).設(shè)折疊時，。。上點A/(Rcosa,Rsina)與點A重合，而折痕為直線MM則MN為線段AA/的中垂線.設(shè)P(x,y)為MN上任一點，則I0々1=1PAI5分；.(x-Rcosa)2+(y-Rsin)2=(x-a)2+y2即2R(xcosa+ysina)=R2-a2+2ax 10分.xcosa+ysina_R2-a2+2ax\.：x2+y2 2Rx2+y2可得：sin(a+0)=~~a+2ax(sin0=.x,cos。=,y)2R%x2+y2 xx2+y2 i；x2+y2TOC\o"1-5"\h\z???R2一戲+2?W1(此不等式也可直接由柯西不等式得到) 15分2Rqx2+y2(x-f)2 y2平方后可化為一一一+ 三1,/R、- /R、-,a、八(—)2 (—)2—(一)22 2 2/a、-(x )2 220即所求點的集合為橢圓圓——2—+ =1外(含邊界)的部分.20丁弋)24, “、 4, “、八?、17.解：(I)直線AB、AC、BC的方程依次為y=3(x+1),y=-3(x-1),y=0。點P(r,y)17.到AB、AC、BC的距離依次為d=i|4x-3y+41,d=?4x+3y-41,d=1yI。依設(shè)，15 25 3did2=d32,得I16x2-(3y-4)21=25y2，即16x2-(3y-4)2+25y2=0,或16x2-(3y-4)2-25y2=0，化簡得點p的軌跡方程為圓S：2x2+2w+3y—2=0與雙曲線T:8x2-17y2+12y—8=0(II)由前知，點P的軌跡包含兩部分圓S：2x2+2y2+3y-2=0TOC\o"1-5"\h\z與雙曲線T：8x2-17y2+12y-8=0 ②因為B(-1,0)和C(1,0)是適合題設(shè)條件的點，所以點B和點C在點P的軌跡上，且點P的軌跡曲線S與T的公共點只有B、C兩點。AABC的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點，由d=d=d,解得D(0,1),且知它在圓S上。1 2 3 2直線L經(jīng)過D,且與點P的軌跡有3個公共點，所以，L的斜率存在，設(shè)L的方程為7.1y=kx+2 ③1(i)當(dāng)k=0時，L與圓S相切，有唯一的公共點D；此時，直線y=-平行于x軸，表明L與雙曲線有不同于D的兩個公共點，所以L恰好與點P的軌跡有3個公共點。......10分(ii)當(dāng)k豐0時，L與圓S有兩個不同的交點。這時，L與點P的軌跡恰有3個公共點只能有兩種情況：情況1：直線L經(jīng)過點B或點C,此時L的斜率k=±J，直線L的方程為x=±(2y-1)。一— 一54 54、代入方程②得y(3y-4)=0，解得E()或F(-eq)。表明直線BD與曲線T有2個交33 33點B、E；直線CD與曲線T有2個交點C、F。故當(dāng)k=±1時，L恰好與點P的軌跡有3個公共點。情況2：直線L不經(jīng)過點B和C(即kW±1)，因為L與S有兩個不同的交點，所以L8xx2-17y2+12y-8=0與雙曲線T有且只有一個公共點。即方程組1 1 有且只有一組實數(shù)解，y=kx+2225-消去y并化簡得(8-17k2)x2-5kx--=0TOC\o"1-5"\h\z該方程有唯一實數(shù)解的充要條件是8-17k2=0 ④一一一一25一或(-5k)2+4(8-17k2)—=0 ⑤4解方程④得k=±*34，解方程⑤得k=±42。JL/ 41 2<34 ②綜合得直線1 2<34 ②綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集｛0,±-,±,±芋｝。乙 JL/ 乙18.解一：過拋物線上點A的切線斜率為：y'二2axm=2,：.切線AB的方程為y=2x—1.：.B、D的坐標(biāo)為B(0,-1),D(1,0),：D是線段AB的中點.AEC(x0，x；)、E（"l，"1）、方（"2,"2C(x0，x；)、1十1十九X2 1-0-；1+九;1BEq =人FC2九X-1十九X2X二一2-0-,y九X-1十九X2X二一2-0-,y= 20.21+九2 1+九2 2???EF所在直線方程為 1 -1+入X2 1+入X2 2-0-- U-0-1+6 1+\ 1 入X1+九X—2-0-- U-0-1+6 1+\化簡得［（九一九）X—（1+九）］y=［（九一九）x2—3］X+1+X—%x2.…^^, 1, 當(dāng)X中時，直線CD的萬程為:0 22X2X-X2y二一0 02x-10…②X+1X--0——3 1小八聯(lián)立①、②解得〈 ，消去X。，得P點軌跡方程為：y--(3