2023版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第七章不等式7.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題教師用書理新人教版

PAGEPAGE22第七章不等式7.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題教師用書理新人教版1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域．我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線．當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，那么把邊界直線畫成實(shí)線．(2)由于對直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，把它的坐標(biāo)(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符號都相同，所以只需在此直線的同一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)作為測試點(diǎn)，由Ax0＋By0＋C的符號即可判斷Ax＋By＋C>0表示的直線是Ax＋By＋C＝0哪一側(cè)的平面區(qū)域．2．線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題3.重要結(jié)論畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點(diǎn)定域：(1)直線定界：不等式中無等號時(shí)直線畫成虛線，有等號時(shí)直線畫成實(shí)線；(2)特殊點(diǎn)定域：假設(shè)直線不過原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選原點(diǎn)；假設(shè)直線過原點(diǎn)，那么特殊點(diǎn)常選取(0,1)或(1,0)來驗(yàn)證．【知識拓展】1．利用“同號上，異號下〞判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域：對于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，那么有(1)當(dāng)B(Ax＋By＋C)>0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€Ax＋By＋C＝0的上方；(2)當(dāng)B(Ax＋By＋C)<0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€Ax＋By＋C＝0的下方．2．最優(yōu)解和可行解的關(guān)系：最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解．最優(yōu)解不一定唯一，有時(shí)唯一，有時(shí)有多個(gè)．【思考辨析】判斷以下結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊台暬颉啊哩?(1)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的交集．(√)(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．(×)(3)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)在直線Ax＋By＋C＝0同側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，異側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(√)(4)第二、四象限表示的平面區(qū)域可以用不等式xy<0表示．(√)(5)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是唯一的．(×)(6)最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．(√)(7)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距．(×)1．以下各點(diǎn)中，不在x＋y－1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是()A．(0,0) B．(－1,1)C．(－1,3) D．(2，－3)答案C解析把各點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得(－1,3)不適合，應(yīng)選C.2．(教材改編)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6<0，,x－y＋2≥0))表示的平面區(qū)域是()答案C解析用特殊點(diǎn)代入，比方(0,0)，容易判斷為C.3．(2022·北京)假設(shè)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x＋y≤3，,x≥0，))那么2x＋y的最大值為()A．0B．3C．4D．5答案C解析不等式組表示的可行域如圖中陰影局部所示．令z＝2x＋y，那么y＝－2x＋z，作直線2x＋y＝0并平移，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，截距最大，即z取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,x＋y＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，可得2x＋y的最大值為2×1＋2＝4.4．(教材改編)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y－2≥0，,x＋y－4≤0，,x－3y＋3≤0，))那么z＝－3x＋y的最小值為________．答案0解析畫出可行域?yàn)殛幱熬植浚畓＝－3x＋y，即y＝3x＋z過交點(diǎn)A時(shí)，z最小．解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y－2＝0，,x＋y－4＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))∴zmin＝－3×1＋3＝0.5．(教材改編)投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元，需場地200平方米；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100噸需要資金300萬元，需場地100平方米．現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場地900平方米，那么上述要求可用不等式組表示為__________________(用x，y分別表示生產(chǎn)A，B產(chǎn)品的噸數(shù)，x和y的單位是百噸)．答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(200x＋300y≤1400，,200x＋100y≤900，,x≥0，,y≥0))解析用表格列出各數(shù)據(jù)AB總數(shù)產(chǎn)品噸數(shù)xy資金200x300y1400場地200x100y900所以不難看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1400,200x＋100y≤900.題型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域命題點(diǎn)1不含參數(shù)的平面區(qū)域問題例1(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影局部表示)，應(yīng)是以下圖形中的()(2)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面區(qū)域的面積等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)答案(1)C(2)C解析(1)(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x＋y－3≤0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≤0，,x＋y－3≥0.))畫出平面區(qū)域后，只有C符合題意．(2)由題意得不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影局部，A(0，eq\f(4,3))，B(1,1)，C(0,4)，那么△ABC的面積為eq\f(1,2)×1×eq\f(8,3)＝eq\f(4,3).應(yīng)選C.命題點(diǎn)2含參數(shù)的平面區(qū)域問題例2(1)(2022·重慶)假設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x＋2y－2≥0，,x－y＋2m≥0))表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，且其面積等于eq\f(4,3)，那么m的值為()A．－3B．1C.eq\f(4,3)D．3(2)假設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋3y≥4，,3x＋y≤4))所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋eq\f(4,3)分為面積相等的兩局部，那么k的值是______________________________．答案(1)B(2)eq\f(7,3)解析(1)不等式組表示的平面區(qū)域如圖，那么圖中A點(diǎn)縱坐標(biāo)yA＝1＋m，B點(diǎn)縱坐標(biāo)yB＝eq\f(2m＋2,3)，C點(diǎn)橫坐標(biāo)xC＝－2m，∴S△ABD＝S△ACD－S△BCD＝eq\f(1,2)×(2＋2m)×(1＋m)－eq\f(1,2)×(2＋2m)×eq\f(2m＋2,3)＝eq\f(m＋12,3)＝eq\f(4,3)，∴m＝1或m＝－3，又∵當(dāng)m＝－3時(shí)，不滿足題意，應(yīng)舍去，∴m＝1.(2)不等式組表示的平面區(qū)域如下圖．由于直線y＝kx＋eq\f(4,3)過定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(4,3))).因此只有直線過AB中點(diǎn)時(shí)，直線y＝kx＋eq\f(4,3)能平分平面區(qū)域．因?yàn)锳(1,1)，B(0,4)，所以AB中點(diǎn)Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2))).當(dāng)y＝kx＋eq\f(4,3)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2)))時(shí)，eq\f(5,2)＝eq\f(k,2)＋eq\f(4,3)，所以k＝eq\f(7,3).思維升華(1)求平面區(qū)域的面積：①首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，假設(shè)不能直接畫出，應(yīng)利用題目的條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題，從而再作出平面區(qū)域；②對平面區(qū)域進(jìn)行分析，假設(shè)為三角形應(yīng)確定底與高，假設(shè)為規(guī)那么的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，假設(shè)為不規(guī)那么四邊形，可分割成幾個(gè)三角形分別求解再求和即可．(2)利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題，也應(yīng)作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解．(1)假設(shè)函數(shù)y＝2x圖象上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))那么實(shí)數(shù)m的最大值為()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2(2)約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y－4≤0，,kx－y≤0))表示面積為1的直角三角形區(qū)域，那么實(shí)數(shù)k的值為()A．1B．－1C．0D．－2答案(1)B(2)A解析(1)在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝2x的圖象及eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0))所表示的平面區(qū)域，如圖陰影局部所示．由圖可知，當(dāng)m≤1時(shí)，函數(shù)y＝2x的圖象上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件，故m的最大值為1.(2)由于x＝1與x＋y－4＝0不可能垂直，所以只可能x＋y－4＝0與kx－y＝0垂直或x＝1與kx－y＝0垂直．①當(dāng)x＋y－4＝0與kx－y＝0垂直時(shí)，k＝1，檢驗(yàn)知三角形區(qū)域面積為1，即符合要求．②當(dāng)x＝1與kx－y＝0垂直時(shí)，k＝0，檢驗(yàn)不符合要求．題型二求目標(biāo)函數(shù)的最值問題命題點(diǎn)1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值例3(2022·全國丙卷)假設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0，))那么z＝x＋y的最大值為________．答案eq\f(3,2)解析滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x－2y≤0，,x＋2y－2≤0))的可行域?yàn)橐訟(－2，－1)，B(0,1)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部及邊界，那么y＝－x＋z過點(diǎn)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))時(shí)z取得最大值eq\f(3,2).命題點(diǎn)2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值例4實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x≥0，,y≤2.))(1)假設(shè)z＝eq\f(y,x)，求z的最大值和最小值，并求z的取值范圍；(2)假設(shè)z＝x2＋y2，求z的最大值與最小值，并求z的取值范圍．解由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x≥0，,y≤2，))作出可行域，如圖中陰影局部所示．(1)z＝eq\f(y,x)表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，因此eq\f(y,x)的范圍為直線OB的斜率到直線OA的斜率(直線OA的斜率不存在，即zmax不存在)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,y＝2，))得B(1,2)，∴kOB＝eq\f(2,1)＝2，即zmin＝2，∴z的取值范圍是[2，＋∞)．(2)z＝x2＋y2表示可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間距離的平方．因此x2＋y2的最小值為OA2，最大值為OB2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,x＝0，))得A(0,1)，∴OA2＝(eq\r(02＋12))2＝1，OB2＝(eq\r(12＋22))2＝5，∴z的取值范圍是[1,5]．引申探究1．假設(shè)z＝eq\f(y－1,x－1)，求z的取值范圍．解z＝eq\f(y－1,x－1)可以看作過點(diǎn)P(1,1)及(x，y)兩點(diǎn)的直線的斜率．∴z的取值范圍是(－∞，0]．2．假設(shè)z＝x2＋y2－2x－2y＋3.求z的最大值、最小值．解z＝x2＋y2－2x－2y＋3＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，而(x－1)2＋(y－1)2表示點(diǎn)P(1,1)與Q(x，y)的距離的平方PQ2，PQeq\o\al(2,max)＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQeq\o\al(2,min)＝(eq\f(|1－1＋1|,\r(12＋－12)))2＝eq\f(1,2)，∴zmax＝2＋1＝3，zmin＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).命題點(diǎn)3求參數(shù)值或取值范圍例5(1)實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥1，,y≤2x－1，,x＋y≤m，))如果目標(biāo)函數(shù)z＝x－y的最小值為－1，那么實(shí)數(shù)m＝________.(2)a>0，x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤3，,y≥ax－3，))假設(shè)z＝2x＋y的最小值為1，那么a＝________.答案(1)5(2)eq\f(1,2)解析(1)顯然，當(dāng)m<2時(shí)，不等式組表示的平面區(qū)域是空集；當(dāng)m＝2時(shí)，不等式組表示的平面區(qū)域只包含一個(gè)點(diǎn)A(1,1)．此時(shí)zmin＝1－1＝0≠－1.顯然都不符合題意．故必有m>2，此時(shí)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥1，,y≤2x－1，,x＋y≤m))所表示的平面區(qū)域如下圖，平面區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)三角形區(qū)域，其頂點(diǎn)為A(1,1)，B(m－1,1)，C(eq\f(m＋1,3)，eq\f(2m－1,3))．由圖可知，當(dāng)直線y＝x－z經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，z取得最小值，最小值為eq\f(m＋1,3)－eq\f(2m－1,3)＝eq\f(2－m,3).由題意，得eq\f(2－m,3)＝－1，解得m＝5.(2)作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影局部)．易知直線z＝2x＋y過交點(diǎn)A時(shí)，z取最小值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝ax－3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2a，))∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝eq\f(1,2).思維升華(1)先準(zhǔn)確作出可行域，再借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值．(2)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是非線性的函數(shù)時(shí)，常利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義來解題，常見代數(shù)式的幾何意義：①eq\r(x2＋y2)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的距離，eq\r(x－a2＋y－b2)表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)的距離；②eq\f(y,x)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率，eq\f(y－b,x－a)表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率．(3)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足的條件．(1)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥0，,x－2y＋2≥0，,mx－y≤0.))假設(shè)z＝2x－y的最大值為2，那么實(shí)數(shù)m等于()A．－2B．－1C．1D．2(2)當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4≤0，,x－y－1≤0，,x≥1))時(shí)，1≤ax＋y≤4恒成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案(1)C(2)[1，eq\f(3,2)]解析(1)對于選項(xiàng)A，當(dāng)m＝－2時(shí)，可行域如圖①，直線y＝2x－z的截距可以無限小，z不存在最大值，不符合題意，故A不正確；對于選項(xiàng)B，當(dāng)m＝－1時(shí)，mx－y≤0等同于x＋y≥0，可行域如圖②，直線y＝2x－z的截距可以無限小，z不存在最大值，不符合題意，故B不正確；對于選項(xiàng)C，當(dāng)m＝1時(shí)，可行域如圖③，當(dāng)直線y＝2x－z過點(diǎn)A(2,2)時(shí)截距最小，z最大為2，滿足題意，故C正確；對于選項(xiàng)D，當(dāng)m＝2時(shí)，可行域如圖④，直線y＝2x－z與直線OB平行，截距最小值為0，z最大為0，不符合題意，故D不正確．(2)畫可行域如下圖，設(shè)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，那么a>0，數(shù)形結(jié)合知，滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤2a＋1≤4，,1≤a≤4))即可，解得1≤a≤eq\f(3,2).所以a的取值范圍是[1，eq\f(3,2)]．題型三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題例6某玩具生產(chǎn)公司每天方案生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個(gè)，生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個(gè)騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個(gè)傘兵需4分鐘，總生產(chǎn)時(shí)間不超過10小時(shí)．假設(shè)生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產(chǎn)一個(gè)騎兵可獲利潤6元，生產(chǎn)一個(gè)傘兵可獲利潤3元．(1)試用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個(gè)數(shù)x與騎兵個(gè)數(shù)y表示每天的利潤ω(元)；(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？解(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個(gè)數(shù)為100－x－y，所以利潤ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋7y＋4100－x－y≤600，,100－x－y≥0，,x≥0，y≥0，x、y∈N.))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y≤200，,x＋y≤100，,x≥0，y≥0，x、y∈N.))目標(biāo)函數(shù)為ω＝2x＋3y＋300，作出可行域，如下圖，作初始直線l0：2x＋3y＝0，平移l0，當(dāng)l0經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，ω有最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝200，,x＋y＝100，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝50.))∴最優(yōu)解為A(50,50)，此時(shí)ωmax＝550元．故每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個(gè)，騎兵50個(gè)，傘兵0個(gè)時(shí)利潤最大，且最大利潤為550元．思維升華解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟(1)審題：仔細(xì)閱讀材料，抓住關(guān)鍵，準(zhǔn)確理解題意，明確有哪些限制條件，借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系．(2)設(shè)元：設(shè)問題中起關(guān)鍵作用(或關(guān)聯(lián)較多)的量為未知量x，y，并列出相應(yīng)的不等式組和目標(biāo)函數(shù)．(3)作圖：準(zhǔn)確作出可行域，平移找點(diǎn)(最優(yōu)解)．(4)求解：代入目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值)．(5)檢驗(yàn)：根據(jù)結(jié)果，檢驗(yàn)反應(yīng)．某電視機(jī)廠方案在下一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)兩種型號電視機(jī)，每臺A型或B型電視機(jī)所得利潤分別為6和4個(gè)單位，而生產(chǎn)一臺A型和B型電視機(jī)所耗原料分別為2和3個(gè)單位，所需工時(shí)分別為4和2個(gè)單位，如果允許使用的原料為100個(gè)單位，工時(shí)為120個(gè)單位，且A型和B型電視機(jī)產(chǎn)量分別不低于5臺和10臺，應(yīng)當(dāng)生產(chǎn)每種類型電視機(jī)多少臺，才能使利潤最大？解設(shè)生產(chǎn)A型電視機(jī)x臺，B型電視機(jī)y臺，那么根據(jù)條件知線性約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y≤100，,4x＋2y≤120，,x≥5，,y≥10，,x，y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y≤100，,2x＋y≤60，,x≥5，,y≥10，,x，y∈N.))線性目標(biāo)函數(shù)為z＝6x＋4y.根據(jù)約束條件作出可行域如圖中陰影局部整點(diǎn)所示，作直線l0：3x＋2y＝0，當(dāng)直線l0平移至點(diǎn)A時(shí)，z取最大值，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝100，,2x＋y＝60，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝20.))所以生產(chǎn)兩種類型電視機(jī)各20臺時(shí)，所獲利潤最大．8．含參數(shù)的線性規(guī)劃問題典例(1)在直角坐標(biāo)系xOy中，假設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥0，,y≤2x，,y≤kx－1－1))表示一個(gè)三角形區(qū)域，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．(2)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0，))假設(shè)z＝ax＋y的最大值為4，那么a＝________.錯(cuò)解展示解析(1)如圖，直線y＝k(x－1)－1過點(diǎn)(1，－1)，作出直線y＝2x，當(dāng)k<－1或0<k<2或k>2時(shí)，不等式組表示一個(gè)三角形區(qū)域．(2)由不等式組表示的可行域，可知z＝ax＋y在點(diǎn)A(1,1)處取到最大值4，∴a＋1＝4，∴a＝3.答案(1)(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)(2)3現(xiàn)場糾錯(cuò)解析(1)直線y＝k(x－1)－1過定點(diǎn)(1，－1)，當(dāng)這條直線的斜率為負(fù)值時(shí)，該直線與y軸的交點(diǎn)必須在坐標(biāo)原點(diǎn)上方，即直線的斜率為(－∞，－1)，只有此時(shí)可構(gòu)成三角形區(qū)域．(2)作出不等式組表示的可行域如圖中陰影局部所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y＝2，))得A(1,1)．z＝ax＋y等價(jià)于y＝－ax＋z，因?yàn)閦的最大值為4，即直線y＝－ax＋z的縱截距最大為4.假設(shè)z＝ax＋y在A(1,1)處取得最大值，那么縱截距必小于2，故只有直線y＝－ax＋z過點(diǎn)(2,0)且－a<0時(shí)符合題意，∴4＝a×2＋0，即a＝2.答案(1)(－∞，－1)(2)2糾錯(cuò)心得(1)含參數(shù)的平面區(qū)域問題，要結(jié)合直線的各種情況進(jìn)行分析，不能憑直覺解答．(2)目標(biāo)函數(shù)含參的線性規(guī)劃問題，要根據(jù)z的幾何意義確定最優(yōu)解，切忌搞錯(cuò)符號．1．假設(shè)點(diǎn)(m,1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，那么m的取值范圍是()A．m≥1B．m≤1C．m<1D．m>1答案D解析由2m＋3－5>0，得m>1.2．假設(shè)函數(shù)y＝log2x的圖象上存在點(diǎn)(x，y)，滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,2x－y＋2≥0，,y≥m，))那么實(shí)數(shù)m的最大值為()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2答案B解析如圖，作出不等式組表示的可行域，當(dāng)函數(shù)y＝log2x的圖象過點(diǎn)(2,1)時(shí)，實(shí)數(shù)m有最大值1.3．直線2x＋y－10＝0與不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x－y≥－2，,4x＋3y≤20))表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．無數(shù)個(gè)答案B解析由不等式組畫出可行域的平面區(qū)域如圖(陰影局部)．直線2x＋y－10＝0恰過點(diǎn)A(5,0)，且其斜率k＝－2<kAB＝－eq\f(4,3)，即直線2x＋y－10＝0與平面區(qū)域僅有一個(gè)公共點(diǎn)A(5,0)．4．假設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，那么a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) B．(0,1]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3))) D．(0,1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))答案D解析不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0))表示的平面區(qū)域如圖(陰影局部)，求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))和(1,0)，假設(shè)原不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，那么a的取值范圍是0＜a≤1或a≥eq\f(4,3).5．(2022·天津)設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,2x＋3y－6≥0，,3x＋2y－9≤0，))那么目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋5y的最小值為()A．－4B．6C．10D．17答案B解析由約束條件作出可行域如下圖，目標(biāo)函數(shù)可化為y＝－eq\f(2,5)x＋eq\f(1,5)z，在圖中畫出直線y＝－eq\f(2,5)x，平移該直線，易知經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)z最小．又知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)，∴zmin＝2×3＋5×0＝6.應(yīng)選B.6．設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－3y＋1≤0，,3x－y－5≥0，))那么z＝2x－y的最大值為()A．10B．8C．3D．2答案B解析畫出可行域如下圖．由z＝2x－y，得y＝2x－z，欲求z的最大值，可將直線y＝2x向下平移，當(dāng)經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，且滿足在y軸上的截距－z最小時(shí)，即得z的最大值，如圖，可知當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)z最大，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－7＝0，,x－3y＋1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝2，))即A(5,2)，那么zmax＝2×5－2＝8.7．某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的方案中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克．通過合理安排生產(chǎn)方案，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是()A．1800元 B．2400元C．2800元 D．3100元答案C解析設(shè)每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶，乙種產(chǎn)品y桶，那么根據(jù)題意得x、y滿足的約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N，,x＋2y≤12，,2x＋y≤12.))設(shè)獲利z元，那么z＝300x＋400y.畫出可行域如圖．畫出直線l：300x＋400y＝0，即3x＋4y＝0.平移直線l，從圖中可知，當(dāng)直線過點(diǎn)M時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝12，,2x＋y＝12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))即M的坐標(biāo)為(4,4)，∴zmax＝300×4＋400×4＝2800(元)．應(yīng)選C.8．(2022·棗莊月考)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,4x＋3y≤4，,y≥0，))那么ω＝eq\f(y＋1,x)的最小值是()A．－2 B．2C．－1 D．1答案D解析作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，ω＝eq\f(y＋1,x)的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P(x，y)與定點(diǎn)A(0，－1)所在直線的斜率，由圖象可知當(dāng)P位于點(diǎn)D(1,0)時(shí)，直線AP的斜率最小，此時(shí)ω＝eq\f(y＋1,x)的最小值為eq\f(－1－0,0－1)＝1.應(yīng)選D.*9.變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥1，,x－y≤1，,y－1≤0，))假設(shè)z＝x－2y的最大值與最小值分別為a，b，且方程x2－kx＋1＝0在區(qū)間(b，a)上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．(－6，－2) B．(－3,2)C．(－eq\f(10,3)，－2) D．(－eq\f(10,3)，－3)答案C解析作出可行域，如下圖，那么目標(biāo)函數(shù)z＝x－2y在點(diǎn)(1,0)處取得最大值1，在點(diǎn)(－1,1)處取得最小值－3，∴a＝1，b＝－3，從而可知方程x2－kx＋1＝0在區(qū)間(－3，1)上有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解．令f(x)＝x2－kx＋1，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－3>0，,f1>0，,－3<\f(k,2)<1，,Δ＝k2－4>0))?－eq\f(10,3)<k<－2，應(yīng)選C.10．假設(shè)關(guān)于x，y的不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x＋y≥0，,kx－y＋1≥0))表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形，那么其表示的區(qū)域面積為________．答案eq\f(1,2)或eq\f(1,4)解析直線kx－y＋1＝0過點(diǎn)(0,1)，要使不等式組表示的區(qū)域?yàn)橹苯侨切?，只有直線kx－y＋1＝0垂直于y軸(如圖(1))或與直線x＋y＝0垂直(如圖(2))時(shí)才符合題意．所以S＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)或S＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,4).11．變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x＋3y－3≥0，,y－1≤0，))假設(shè)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y(其中a>0)僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，那么a的取值范圍是__________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析畫出x、y滿足約束條件的可行域如下圖，要使目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y僅在點(diǎn)(3,0)處取得最大值，那么直線y＝－ax＋z的斜率應(yīng)小于直線x＋2y－3＝0的斜率，即－