對(duì)一能量類(lèi)連接體問(wèn)題的深入探討李中玉

對(duì)一能量類(lèi)連接體問(wèn)題的深入探討中山一中李中玉生活中“能量”一詞有著非常廣泛的運(yùn)用.在物理學(xué)中，能量的知識(shí)和解決問(wèn)題的方法都有著舉足輕重的地位.可以說(shuō)，能量不僅影響著我們的日常生活，其知識(shí)點(diǎn)和求解思路也是歷年高考必查內(nèi)容.教師和各類(lèi)參考資料在這方面都非常重視，但有些題目在使用時(shí)卻需要謹(jǐn)慎.因?yàn)槲锢韺W(xué)是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的提煉和再現(xiàn)，必須符合客觀(guān)現(xiàn)實(shí)，并在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維能力.如違背這一點(diǎn)，會(huì)將學(xué)生思維發(fā)展方向引上歧途，不利于其健康發(fā)展.筆者在教學(xué)中就遇到這樣一道題目，該類(lèi)題型也見(jiàn)諸于其它參考資料中.該題目似是而非的解答，對(duì)教師和學(xué)生都有著相當(dāng)?shù)牟涣加绊?。筆者將其整理如下，請(qǐng)各位讀者雅正。【原題】如圖1所示，質(zhì)量為2m和m的可看作質(zhì)點(diǎn)的小球A、B，用不計(jì)質(zhì)量、不可伸長(zhǎng)的細(xì)線(xiàn)相連，跨在固定光滑圓柱兩側(cè)，圓柱截面圓半徑為R.開(kāi)始時(shí)，A球和B球與圓柱軸心同高，然后釋放A球，求：B球在圓柱上最高點(diǎn)時(shí)的速率.圖1B圖1BA【原解析】A、B兩球組成系統(tǒng)機(jī)械能守恒，所以所以B球在圓柱上最高點(diǎn)時(shí)速率.該解析是諸多教師、學(xué)生和參考資料的解答過(guò)程。從該解析用、求解，可看出該解析默認(rèn)B球在圓柱上最高點(diǎn)為圓截面頂點(diǎn).筆者以為，這是不合理的.因?yàn)橛锌赡蹷球沒(méi)有上升到圓截面頂點(diǎn)時(shí)，已脫離圓柱.為此，應(yīng)先分析B球脫離圓柱的位置，然后求解B球在圓柱上最高點(diǎn)時(shí)的速率.圖2圖2BAG1G2TθG設(shè)B球和圓柱截面圓心連線(xiàn)與水平方向夾角為θ時(shí)，B球與圓柱間彈力為零.此時(shí)對(duì)B球受力分析，如圖2.由向心力公式得(1)從釋放A球到B球剛要脫離圓柱時(shí),A、B球組成系統(tǒng)機(jī)械能守恒,故(2)由(1)、(2)聯(lián)立得(3)這是一個(gè)超越方程，要中學(xué)生求解，存在非常大的難度。但對(duì)于一個(gè)出題者來(lái)說(shuō)卻是不可或缺的。筆者在這里先用作圖法，再用半分插值法求解.1粗略分析用Excel，θ從零開(kāi)始每增加200描一個(gè)點(diǎn)，在同一坐標(biāo)圖中，分別作方程y=4θ和方程y=5sinθ的圖象，它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程(3)的解，如圖3.yyθ05圖3y=4θy=5sinθ從圖3可看出方程(3)有兩個(gè)解.一個(gè)是θ＝0，另一個(gè)在～之間.這兩個(gè)解都小于，故原解析不正確.可是，僅這樣分析并不能解出最終結(jié)果.應(yīng)怎樣才能解出B球在圓柱上最高點(diǎn)時(shí)速率呢？2用半分插值法精確求解為求出最終結(jié)果，筆者采用了半分插值法.該操作，依然在Execl中進(jìn)行，其思路如下：(1)確定插值前兩端數(shù)值.首次是和，并求出各自對(duì)應(yīng)的4θ-5sinθ值.(2)半分插值.求得θ在～之間的中間值，以及該中間值對(duì)應(yīng)的4θ-5sinθ值.(3)確定新的兩端數(shù)值.比較θ為中間值時(shí)4θ-5sinθ值，與和時(shí)哪一個(gè)4θ-5sinθ值正負(fù)號(hào)相反，將該θ值與中間值作為下次插值端點(diǎn)數(shù)值.因與的4θ-5sinθ值正負(fù)號(hào)相反，故和為下次插值兩端數(shù)值.(4)以新兩端數(shù)值進(jìn)行半分插值，至所需精度內(nèi)4θ-5sinθ值等于零為止.筆者將該值精確到了小數(shù)點(diǎn)后兩位，如表1.表1插值次序θ(度)θ(弧度)4θ5sinθ4θ-5sinθ60π/3325π/72451π/1445103π/2886207π/57626513π/361707π/18804π/9從表1，可看出在所需精度內(nèi)θ=即時(shí)，B球已脫離圓柱表面.將θ=帶入方程(1)解得B球到達(dá)圓柱上最高點(diǎn)時(shí)的速率v==.至此，我們已較為精確地解出了最終結(jié)果.對(duì)類(lèi)似問(wèn)題的求解，也當(dāng)如此.半分插值法盡管對(duì)所有該類(lèi)問(wèn)題都能求解，但B球能到達(dá)圓柱圓截面頂點(diǎn)時(shí)，依然用該辦法求解，就顯得繁瑣了.因此，進(jìn)一步探討B(tài)球上升至圓截面頂點(diǎn)的條件，將為我們解答此類(lèi)問(wèn)題帶來(lái)便捷.3B球能達(dá)到圓截面頂點(diǎn)的條件B球能上升是由A、B兩球質(zhì)量不同引起的.對(duì)于A(yíng)、B兩球質(zhì)量之比為何值時(shí)，B球才能到達(dá)圓柱圓截面頂點(diǎn)呢？為此，我們不妨設(shè)A球質(zhì)量是B球質(zhì)量m的X倍，即Xm，令，帶入方程(1)、(2)中去求解，此時(shí)可解得X=；即A球質(zhì)量為B球的倍時(shí)，B球可到達(dá)圓柱圓截面頂點(diǎn)，且恰好對(duì)圓柱無(wú)擠壓.根據(jù)能量轉(zhuǎn)化的關(guān)系可知，若X>，則B球在到達(dá)圓柱圓截面頂點(diǎn)前已脫離；若X<，則B球上升至圓柱圓截面頂點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓柱有擠壓.要讓B球上升，A球的質(zhì)量不能小于B球的.故B球能上升至頂點(diǎn)，A、B兩球質(zhì)量之比X的范圍為：≥X>1.而原題中的X=2，顯然不在此范圍.這樣，在今后遇到該類(lèi)問(wèn)題時(shí)，我們便能確定其求解方法.若A、B兩球質(zhì)量之比X范圍為：≥X>1，B球能到達(dá)圓截面頂點(diǎn)，采用原解析思路.若X取值范圍大于，B球不能上升至圓截面頂點(diǎn)，采用半分插值法.若X取值范圍小于1，則A球上升，其思路與B球上升時(shí)完全相同.這便為我們出