2020-2021人教版數(shù)學(xué)第二冊(cè)教師用書：第10章 10.110.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年新教材人教A版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)教師用書：第10章10.110.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算含解析10。學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義．（重點(diǎn)）2．能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.通過對(duì)隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。在擲骰子試驗(yàn)中，定義如下事件：C1＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}；C2＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}；C3＝｛出現(xiàn)3點(diǎn)｝；C4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}；C5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}；C6＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}；D1＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}；D2＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于3｝；D3＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于5｝;E＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5｝,F＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于4｝,G＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)），H＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}．問題：在上述事件中，（1）事件C1與事件C2的并事件是什么?(2）事件D2與事件G及事件C2間有什么關(guān)系？（3)事件C1與事件C2間有什么關(guān)系？(4)事件E與事件F間有什么關(guān)系？1．包含關(guān)系定義一般地,若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，我們就稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）含義A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生符號(hào)表示B?A(或A?B)圖形表示特殊情形如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B，即B?A且A?B,則稱事件A與事件B相等，記作A＝B2。并事件(和事件）定義一般地，事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中,我們稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件（或和事件)含義A與B至少一個(gè)發(fā)生符號(hào)表示A∪B（或A＋B）圖形表示3。交事件(積事件)定義一般地，事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中，也在事件B中，我們稱這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件(或積事件）含義A與B同時(shí)發(fā)生符號(hào)表示A∩B（或AB)圖形表示4.互斥(互不相容)定義一般地，如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說A∩B是一個(gè)不可能事件，即A∩B＝?，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)含義A與B不能同時(shí)發(fā)生符號(hào)表示A∩B＝?圖形表示5.互為對(duì)立定義一般地，如果事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生,即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立．事件A的對(duì)立事件記為eq\o(A，\s\up7(－)）含義A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生符號(hào)表示A∩B＝?，A∪B＝Ω圖形表示思考1：一粒骰子擲一次,記事件A＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2}，事件C＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)｝,事件D＝｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3｝，則事件A，C，D有什么關(guān)系？［提示］A＝C∩D．思考2:命題“事件A與B為互斥事件”與命題“事件A與B為對(duì)立事件”什么關(guān)系?（指充分性與必要性)[提示]根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念可知，“事件A與B為互斥事件”是“事件A與B為對(duì)立事件”的必要不充分條件．1．思考辨析（正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×"）（1）若兩個(gè)事件是互斥事件,則這兩個(gè)事件是對(duì)立事件． (）（2）若事件A和B是互斥事件，則A∩B是不可能事件． (）(3)事件A∪B是必然事件,則事件A和B是對(duì)立事件． （)［提示](1）錯(cuò)誤．對(duì)立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件．（2)正確．因?yàn)槭录嗀和B是互斥事件,所以A∩B為空集，所以A∩B是不可能事件．(3）錯(cuò)誤．反例:拋擲一枚骰子，事件A為：向上的點(diǎn)數(shù)小于5，事件B為：向上的點(diǎn)數(shù)大于2,則事件A∪B是必然事件，但事件A和B不是對(duì)立事件．［答案］(1）×(2)√(3)×2．許洋說:“本周我至少做完3套練習(xí)題．”設(shè)許洋所說的事件為A,則A的對(duì)立事件為（）A．至多做完3套練習(xí)題B．至多做完2套練習(xí)題C．至多做完4套練習(xí)題D．至少做完3套練習(xí)題B[至少做完3套練習(xí)題包含做完3,4，5,6…套練習(xí)題，故它的對(duì)立事件為做完0,1,2套練習(xí)題，即至多做完2套練習(xí)題．］3．從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球,那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．“至少有一個(gè)黑球"與“都是黑球”B．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”C．“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球"D．“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”C[A中的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，故不互斥；同樣,B中兩個(gè)事件也可同時(shí)發(fā)生，故不互斥；D中兩個(gè)事件是對(duì)立的，故選C．］4．拋擲一枚骰子,“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件A，“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件B，則（)A．A?BB．A＝BC．A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3D．A∩B表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3C[設(shè)A＝｛1，2｝，B＝｛2，3}，A∩B＝{2},A∪B＝｛1,2,3}，∴A∪B表示向上的點(diǎn)數(shù)為1或2或3.］事件關(guān)系的判斷【例1】從一堆產(chǎn)品（其中正品與次品都多于2件）中任取2件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件，如果是,再判斷它們是不是對(duì)立事件．①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；②“至少有1件次品”和“全是次品”;③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．[解]依據(jù)互斥事件的定義,即事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生可知：①中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同時(shí)發(fā)生，因此它們是互斥事件，又因?yàn)樗鼈兊暮褪录皇潜厝皇录?所以它們不是對(duì)立事件；同理可以判斷:②中的2個(gè)事件不是互斥事件，從而也不是對(duì)立事件;③中的2個(gè)事件不是互斥事件，從而也不是對(duì)立事件．判斷事件間關(guān)系的方法1要考慮試驗(yàn)的前提條件,無論是包含、相等,還是互斥、對(duì)立，其發(fā)生的條件都是一樣的。2考慮事件間的結(jié)果是否有交事件，可考慮利用Venn圖分析，對(duì)較難判斷關(guān)系的，也可列出全部結(jié)果，再進(jìn)行分析。eq\o（［跟進(jìn)訓(xùn)練])從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球（球除顏色外其他均相同)的口袋中任取2個(gè)球，用集合的形式分別寫出下列事件,并判斷每對(duì)事件的關(guān)系:(1)至少有1個(gè)白球，都是白球;(2）至少有1個(gè)白球，至少有1個(gè)紅球；（3）至少有1個(gè)白球,都是紅球．［解]給兩個(gè)紅球編號(hào)為1，2，給兩個(gè)白球編號(hào)為3，4，從口袋中任取兩個(gè)球,用(x,y）表示取出的兩個(gè)球，則試驗(yàn)的樣本空間為Ω＝｛（1,2），(1,3),(1,4），（2,3),（2，4），（3，4)},設(shè)A＝“至少有1個(gè)白球”,則A＝{(1,3），（1,4)，(2,3),(2，4），(3，4)}．(1)設(shè)B＝“都是白球"，B＝{(3,4）}，所以B?A．即A和B不是互斥事件．（2）設(shè)C＝“至少有一個(gè)紅球”,則C＝{（1，2)，(1，3),（1,4)，(2，3)，（2,4）},因?yàn)锳∩C＝｛(1，3），(1，4），（2，3）,（2,4）｝，所以A和C不互斥．（3）設(shè)D＝“都是紅球”，則D＝｛(1，2)｝，因?yàn)锳∪D＝Ω，A∩D＝?,所以A和D為對(duì)立事件．事件的運(yùn)算[探究問題]1．事件A與事件B的并事件（或和事件）的樣本點(diǎn)是如何構(gòu)成的？［提示]事件A與事件B的并事件(或和事件）的樣本點(diǎn)是由在事件A中，或者在事件B中的樣本點(diǎn)構(gòu)成的．2．事件A與事件B的交事件(或積事件)的樣本點(diǎn)是如何構(gòu)成的？[提示]事件A與事件B的交事件(或積事件）的樣本點(diǎn)是由既在事件A中,也在事件B中的樣本點(diǎn)構(gòu)成的．3．“事件B包含事件A”“事件A與事件B的并事件”“事件A與事件B的交事件”分別對(duì)應(yīng)集合中的哪些關(guān)系或運(yùn)算？[提示］“事件B包含事件A”對(duì)應(yīng)于集合A是集合B的子集；“事件A與事件B的并事件”對(duì)應(yīng)集合A和集合B的并集，“事件A與事件B的交事件”對(duì)應(yīng)集合A與集合B的交集．【例2】在投擲骰子試驗(yàn)中，根據(jù)向上的點(diǎn)數(shù)可以定義許多事件,如：A＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，B＝｛出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)}，C＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}，D＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)}．(1）說明以上4個(gè)事件的關(guān)系；（2）求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C．[思路探究］(1)eq\x（分析事件所包含的樣本點(diǎn)）→eq\x(判斷事件間的關(guān)系)(2）eq\x（樣本點(diǎn)表示各事件）→eq\x（進(jìn)行事件的運(yùn)算)[解］在投擲骰子的試驗(yàn)中，根據(jù)向上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)有6種基本事件，記作Ai＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i｝（其中i＝1，2,…，6)．則A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6。(1）事件A與事件B互斥，但不對(duì)立，事件A包含于事件C;事件A與D互斥，但不對(duì)立;事件B與C不是互斥事件，事件B與D也不是互斥事件；事件C與D是互斥事件，也是對(duì)立事件．（2）A∩B＝?,A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,3或4｝，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,2，4或6｝．B∩D＝A4＝｛出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,3,4或5}．1．在例2的條件下，求A∩C，A∪C，B∩C．[解]A∩C＝A＝{出現(xiàn)1點(diǎn)},A∪C＝C＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1,3或5｝，B∩C＝A3＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)3}．2．用事件Ai＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為i}（其中i＝1，2，…,6)表示下列事件：①B∪D;②C∪D．[解]B∪D＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)2，3，4或6｝＝A2∪A3∪A4∪A6.C∪D＝{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5,6｝＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6。事件間的運(yùn)算方法（1）利用事件間運(yùn)算的定義．列出同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果,分析并利用這些結(jié)果進(jìn)行事件間的運(yùn)算．(2)利用Venn圖．借助集合間運(yùn)算的思想,分析同一條件下的試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出,進(jìn)行運(yùn)算．一、知識(shí)必備互斥事件和對(duì)立事件都是針對(duì)兩個(gè)事件而言的,它們之間既有區(qū)別，又有聯(lián)系．在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能只有一個(gè)發(fā)生，但不可能兩個(gè)都發(fā)生;而對(duì)立事件必有一個(gè)發(fā)生,但是不可能兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生,也不可能都不發(fā)生．所以兩個(gè)事件互斥,它們未必對(duì)立；但兩個(gè)事件對(duì)立,它們一定互斥．二、方法必備進(jìn)行事件間關(guān)系的判斷或運(yùn)算，可借助于圖形．1．從1,2，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；②至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù);③至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù);④至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù)．在上述各對(duì)事件中，是對(duì)立事件的是（)A．① B．②④C．③ D．①③C［從1，2，…，9中任取兩數(shù)，包括一奇一偶、兩奇、兩偶，共三種互斥事件，所以只有③中的兩個(gè)事件才是對(duì)立事件．］2．把紅、藍(lán)、黑、白4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人分得1張,事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是()A．對(duì)立事件 B．互斥但不對(duì)立事件C．不可能事件 D．以上說法都不對(duì)B[因?yàn)橹挥?張紅牌，所以這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們是互斥事件;但這兩個(gè)事件加起來并不是總體事件，所以它們不是對(duì)立事件．]3．袋中裝有9個(gè)白球，2個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，則：①恰有1個(gè)紅球和全是白球;②至少有1個(gè)紅球和全是白球；③至少有1個(gè)紅球和至少有2個(gè)白球；④至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)紅球．在上述事件中,是對(duì)立事件的為________．②[①是互斥不對(duì)立的事件，②是對(duì)立事件，③④不是互斥事件．］4．盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A＝{3個(gè)球中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球}，事件B＝{3個(gè)球中有2個(gè)紅球，1個(gè)白球｝，事件C＝{3個(gè)球中至少有1