第16章 二次根式試卷(滬科版八年級下冊數(shù)學(xué))

()()()()第16章二次根式()()()()┃知識歸納┃1．二次根式的概念我們把形式如________(≥0)的式子叫做二次根式．(1)對于二次根式的理解：①帶有根號；②被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)；a是非負(fù)數(shù)，即a≥0.[易錯點](1)次根式中，被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)，否則就沒有意義(2)9是二次根式，雖然9＝3，但3不是二次根式．因此二次根式指的是某種式子的“外在形態(tài)2．二次根式的性質(zhì)()

2

＝()；

a＝

|a|＝

a>0a＝a<0.3．最簡二次根式：滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式。分母無根號根號無分，不能再方4．同類二次根式的概念幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果，這個二次根式叫做同類二次根式．

如：、與

是同類二次根式5．二次根式的運算aa·＝(≥0，≥0)；＝b

(a≥，>0)．二次根式加時先把各二次根式成再把┃考點攻略┃?考點一二次根式有（無）意義的條件

合并．例1

函數(shù)y＝2－x＋

1x－

中自變量x取值范圍是()A．x≤B＝3C．＜2且≠3D．≤2且x≠?考點二二次根式的性質(zhì)例2如圖17－所示是實數(shù)b數(shù)軸上的位置化簡：2－b2－

a－

2

.易混辨析a2

與2

的區(qū)別：

圖17－1(1)表示的意義不同.a2

表示非負(fù)實數(shù)的算術(shù)平方的平方；a2

表示實數(shù)a的平方的算術(shù)平方根．(2)運算的順序不同.a2

是先求非負(fù)實數(shù)a的算術(shù)平方根后再進(jìn)行平方運算a

則是先求實數(shù)a平方，再求2

的算術(shù)平方根．

()a與()·babddd()a與()·babddd(3)取值范圍不同．在a2

中，a只能取非負(fù)實數(shù)，a≥0；而在a

中，a可以取一切實數(shù)．()

a

的聯(lián)系：僅當(dāng)≥0時，有a2

＝

a.?考點三二次根式的非負(fù)性例3若實數(shù)、y滿足x＋＋(－3)2＝0，則xy值是_．方法技巧：初中段主要涉及三種非負(fù)數(shù)：a≥，

||≥0，a

≥0.果若干個非負(fù)數(shù)的和為0，那么這若干個非負(fù)數(shù)都必為0.即由a≥，≥0，≥0且＋b＋＝0，一定得到＝b＝＝0，這是求一個方程中含有多個未知數(shù)的有效方法之一．?考點四二次根式的運算例4計算下列各題：(1)

310

5ab5c3

2ac·

－2

15(2)(1－3＋2)(1＋3－2)．a(chǎn)易錯警示1．在二次根式的運算中，一定要把最后結(jié)果化為最簡二次根式2．在二次根式的1ab1運算中要靈活運用乘法公式3(＋b)＝(＋)·＝＋但d÷(＋)≠d＋?考點五二次根式的化簡例5

設(shè)2＝，3＝b，含a、式子表示0.54，則下列表示正確的是()A．0.3ab

B．3ab

C．0.13

D．0.13b方法技巧化簡二次根式時注意思想的應(yīng)用．

aa＝(≥0b>0)的綜合運用2整體代換或轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)bb

2n222第18章元二次方程2n222┃知識歸納┃1．一元二次方程的概念只含有未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程．[注意]一元二次方程判定的條件是(1)須是整式方程(2)二次項系數(shù)不為零a0(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是，且只含有一個未知數(shù)．2．一元二次方程的解法一元二次方程有四種解法：法、法、法和法．其基本思想是.[注意]公式法其實質(zhì)是配方法，只不過省去了配方的過程，但用公式時應(yīng)注意：(1)將一元二次方程化為一般形式，即先確定、b、c的值；(2)牢記使用公式的前提是b

2

－4ac≥0.3．一元二次方程根的判別式＝b

2

－4ac(1)Δ>0ax

2

＋bx＋c＝0(a≠0)有

的實數(shù)根；(2)Δ＝0ax2＋bx＋＝0(a≠0)有

的實數(shù)根；(3)Δ<0ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

實數(shù)根．[注意](1)根的判別式是在一元二次方程的一般形式得出的，因此使用根的判別式之前，必須把一元二次方程化成一般形式(2)果說一元二次方程有實根，應(yīng)該包括有兩個相等的實數(shù)根與兩個不相等的實數(shù)根兩種情況，此時－4ac≥0，不能丟掉等號；在利用根的判別式確定方程中字母系數(shù)的取值范圍時，如果二次項系數(shù)含有字母，要加上二次項系數(shù)不為零這個限制條件．4．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程＋＋＝0(a0)的兩根為兩根方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：1x＋＝，x·＝121

.[注意]它成立的條件：①二次項系數(shù)不能為0；②方程根的判別式大于或等于0.5．一元二次方程解決實際問題用一元二次方程解決實際問題的幾個公式：均增長率b＝a(1＋x，其中b是增后的量a基礎(chǔ)量平均增長率n是增長次數(shù)公式也適用于平均降低率的問題(2)利潤問題：利潤＝售價－進(jìn)價，總利潤＝單位利潤數(shù)量，利潤率＝

利潤進(jìn)價

×100%.┃考點攻略?考點一一元二次方程的概念例若關(guān)于x的一元二次方程(m－2)x＋3m－＋60的常數(shù)項為0，則的值等于()A2B323D．0易錯警示一元二次方程的二次項系數(shù)含參數(shù)時，切記二次項系數(shù)不能為0.而且知數(shù)的最高次數(shù)是2”指的是將方程化簡后未知數(shù)的最高數(shù)是，不能從表面形式上判斷．?考點二一元二次方程的解法例2

分別使用配方法、公式法、因式分解法解方程：3(x－3)＝(x－3)．

2222221222x(x1＋22x12xxxx方法技巧解方程時，若方程缺少常數(shù)項或方程的右邊為0，優(yōu)先慮因式分解法x－m＝或a＝結(jié)構(gòu)時優(yōu)先考慮直接開平方法；當(dāng)方程的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)是偶數(shù)時，優(yōu)先考慮配方法；2222221222x(x1＋22x12xxxx?考點三一元二次方程根的情況例3已知關(guān)于的一元二次方程(m－＋1＝有實數(shù)根，則的取值范圍是________．方法技巧根的判別式主要應(yīng)用(1)不解方程判別一元二次方程根的情況(2)已知一元二次方程根的情況，確定方程中某些字母的取(圍)．解題時一定要注意不能忽略二次項系數(shù)不為0.?考點四一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系例4已知關(guān)于x的一元二次方程＋xm1＝請你為m選取一合適的整數(shù)，使得到的方程有兩個不相等的實數(shù)根；設(shè)α、β是(你所得到的方程的兩個實數(shù)根，求α

＋β

2

＋αβ的值．方法技巧利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值時，關(guān)鍵是把所給的代數(shù)式通過恒等變形，化為含xxx的形式，然后把＋x和xx的值代入所求代數(shù)式中即12122111x＋可求出其值．常見的代數(shù)式恒等變形有：(1)＋x＝(＋x)－2xx；＋＝；12xx12(3)＋＝12?考點五一元二次方程的應(yīng)用例52009年某市實現(xiàn)國民生產(chǎn)總值為億元，計劃全市國民生產(chǎn)總值在以后三年都以相同的增長率來實現(xiàn)，到全市國民生產(chǎn)總值達(dá)到元．求全市國民生產(chǎn)總值的年平均增長率精確到1%)；求2010至年全市三年可實現(xiàn)國民生產(chǎn)總值多少億元？精確到億元)

2222222第192222222┃知識歸納1勾股定理(1)勾股定理的語言敘述：直角三角形兩條直角邊的_______，等于斜邊的(2)勾股定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式：如果直角三角形的兩直角邊用a、b表示，斜邊用表示，那么_勾股定理a＋＝有如下幾種變形：變形①a＝________形②＝________形③＝________形④a＝變形⑤＝[易錯點](1)勾定理適用范圍，局限于直角三角形，銳角和鈍角三角形不能用；(2)注意分清直角邊和斜邊，避免盲目代值而導(dǎo)致錯誤．2．勾股定理的逆定理如果三角形______________等_________________，那么個三角形是直角三角形.勾股定理和勾股定理的逆定理是一對___________.溫馨提示注意勾股定理及其逆定理的聯(lián)系與區(qū)別．聯(lián)系是二者都與三邊關(guān)系＋b＝c有關(guān)；區(qū)別是前者是以一個三角形是直角三角形為條件，進(jìn)而得到三邊的平方關(guān)系，后者是以一個三角形三邊的平方關(guān)系為條件，進(jìn)而得到這個三角形是直角三角形．3．勾股數(shù)能夠成為直角三角形三邊長度的三個________，稱為勾股數(shù).溫馨提示(1)常見的勾股數(shù)有、4、5,5、、13,8、15、17,724、25,9、40、41.學(xué)們應(yīng)熟記這些勾股數(shù)，因為它們不僅在勾股定理及其逆定理中廣泛應(yīng)用，而且還能幫助同學(xué)們分析思路，找到解決問題的途徑和方法；(2)每組勾股數(shù)的相同整數(shù)倍也是勾股數(shù)．考點一勾股定理的驗證例1如圖19－1是邊長為c的正方形，由四個兩直角邊為、的直角三角形和邊長b－)的方形組成，因為大正方形的面積表示________大正方形的面積也可表示為，所________＝________，由此可得a、b

2

、

三者之間的關(guān)系：例2如圖192三個直角三角形拼成直角梯形eq\o\ac(△,()CED是直角三角形)梯形面積不變，所以，

梯

＝________＝，化簡可驗證

2方法技巧勾股定理的驗證方法很多，利用拼圖的方法驗證勾股定理是將形的問題與數(shù)的問題聯(lián)系起來，其主導(dǎo)思想是通過面積之間的關(guān)系，驗證勾股定理，即用整體計算和分割計算面2積的方法列出等式，然后化簡，即可證得勾股定理．?考點二勾股定理及其逆定理在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用例3如圖193△和△都是等腰直角三角形，∠ACB＝ECD＝D為邊上一點，求證：△ACE≌△；AD＋DB＝方法技巧由三邊的平方關(guān)系可聯(lián)想到勾股定理，若三邊不在同一個三角形中，則設(shè)法轉(zhuǎn)化到同一個三角形中去，再證明該三角形是直角三角形