-新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)練習(xí)12變化率問(wèn)題導(dǎo)數(shù)的概念含解析新人教A版選擇性必修

PAGEPAGE6變化率問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)的概念(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共30分，多選題全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)1．函數(shù)y＝f(x)＝2x2－1在區(qū)間[1，1＋Δx]上的平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝()A．4 B．4＋2ΔxC．4＋2(Δx)2 D．4Δx【解析】選B.因?yàn)棣＝[2(1＋Δx)2－1]－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝4＋2Δx.2．若質(zhì)點(diǎn)A按照規(guī)律s＝3t2運(yùn)動(dòng)，則在t＝3時(shí)的瞬時(shí)速度為()A．6B．18C．54D．81【解析】選B.因?yàn)閑q\f(Δs,Δt)＝eq\f(3（3＋Δt）2－3×32,Δt)＝eq\f(18Δt＋3（Δt）2,Δt)＝18＋3Δt，所以＝18.3．函數(shù)f(x)＝x2－1在區(qū)間[1，m]上的平均變化率為3，則實(shí)數(shù)m的值為()A．3B．2C．1D．4【解析】選B.由已知得eq\f(m2－1－（12－1）,m－1)＝3，所以m＋1＝3，所以m＝2.4．若y＝f(x)＝x3，f′(x0)＝3，則x0的值是()A．1 B．－1C．±1 D．3eq\r(3)【解析】選C.因?yàn)棣＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，所以eq\f(Δy,Δx)＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋3x0Δx＋(Δx)2，所以f′(x0)＝[3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))，由f′(x0)＝3，得3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝3，所以x0＝±1.5．若曲線f(x)＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則()A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1【解析】選A.由題意，知k＝f′(0)＝eq\o(lim,\s\up6(,Δx→0))eq\f(（Δx＋0）2＋a（0＋Δx）＋b－b,Δx)＝1，所以a＝1.又(0，b)在切線上，所以b＝1.6．(多選題)若f(x)在x＝x0處存在導(dǎo)數(shù)，則eq\f(f（x0＋h）－f（x0）,h)()A．與x0，h都有關(guān)B．僅與x0有關(guān)C．與h無(wú)關(guān)D．僅與h有關(guān)，而與x0無(wú)關(guān)【解析】選BC.由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)只與x0有關(guān)．二、填空題(每小題5分，共10分)7．一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝7t2＋8，則其在t＝________時(shí)的瞬時(shí)速度為1.【解析】eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(7（t0＋Δt）2＋8－（7teq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋8）,Δt)＝7Δt＋14t0，當(dāng)(7Δt＋14t0)＝1時(shí)，t0＝eq\f(1,14).答案：eq\f(1,14)8．如圖是函數(shù)y＝f(x)的圖象，則(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，1]上的平均變化率為_(kāi)___；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上的平均變化率為_(kāi)___．【解析】(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，1]上的平均變化率為eq\f(f（1）－f（－1）,1－（－1）)＝eq\f(2－1,2)＝eq\f(1,2).(2)由函數(shù)f(x)的圖象知，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)，－1≤x≤1，,x＋1，1<x≤3.))所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上的平均變化率為eq\f(f（2）－f（0）,2－0)＝eq\f(3－\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).答案：(1)eq\f(1,2)(2)eq\f(3,4)三、解答題(每小題10分，共20分)9．求y＝x2＋eq\f(1,x)＋5在x＝2處的導(dǎo)數(shù)．【解析】因?yàn)棣＝(2＋Δx)2＋eq\f(1,2＋Δx)＋5－(22＋eq\f(1,2)＋5)＝4Δx＋(Δx)2＋eq\f(－Δx,2（2＋Δx）)，所以eq\f(Δy,Δx)＝4＋Δx－eq\f(1,4＋2Δx)，所以y′|x＝2＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋Δx－\f(1,4＋2Δx)))＝4＋0－eq\f(1,4＋2×0)＝eq\f(15,4).10．若函數(shù)y＝f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx>0)上的平均變化率不大于－1，求Δx的取值范圍．【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[2，2＋Δx]上的平均變化率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝eq\f(－（2＋Δx）2＋（2＋Δx）－（－4＋2）,Δx)＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1得Δx≥－2，又因?yàn)棣>0，所以Δx的取值范圍是(0，＋∞).(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1．甲、乙兩廠污水的排放量W與時(shí)間t的關(guān)系如圖所示，則治污效果較好的是()A．甲B．乙C．相同D．不確定【解析】選B.在t0處，W1(t0)＝W2(t0)，但W1(t0－Δt)<W2(t0－Δt)，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(W1（t0）－W1（t0－Δt）,Δt)))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(W2（t0）－W2（t0－Δt）,Δt)))，所以，在相同的時(shí)間Δt內(nèi)，甲廠比乙廠的平均治污率小，即乙廠的治污效果較好．2．函數(shù)y＝f(x)＝x2在x0到x0＋Δx(Δx＞0)之間的平均變化率為k1，在x0－Δx到x0之間的平均變化率為k2，則k1與k2的大小關(guān)系為()A．k1>k2B．k1<k2C．k1＝k2D．不確定【解析】選A.k1＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\f(（x0＋Δx）2－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),Δx)＝2x0＋Δx；k2＝eq\f(f（x0）－f（x0－Δx）,Δx)＝eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－（x0－Δx）2,Δx)＝2x0－Δx.所以k1＞k2.3．已知點(diǎn)P(x0，y0)是拋物線y＝3x2＋6x＋1上一點(diǎn)，且f′(x0)＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(1，10)B．(－1，－2)C．(1，－2)D．(－1，10)【解析】選B.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\f(3（x0＋Δx）2＋6（x0＋Δx）＋1－（3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋6x0＋1）,Δx)＝3Δx＋6x0＋6，所以f′(x0)＝eq\f(Δy,Δx)＝(3Δx＋6x0＋6)＝6x0＋6＝0，所以x0＝－1.把x0＝－1代入y＝3x2＋6x＋1，得y0＝－2.所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－2).二、填空題(每小題5分，共15分)4．已知函數(shù)y＝f(x)＝A(A為常數(shù))，則f′(2)＝________.【解析】因?yàn)棣＝f(2＋Δx)－f(2)＝A－A＝0，所以eq\f(Δy,Δx)＝0，f′(2)＝eq\f(Δy,Δx)＝0＝0.答案：05．已知函數(shù)y＝f(x)＝ax2＋c且f′(1)＝2，則a＝________.【解析】f′(1)＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(a（1＋Δx）2＋c－a－c,Δx)＝eq\f(2a·Δx＋a（Δx）2,Δx)＝(2a＋a·Δx)＝2a＝2.所以a＝1.答案：16．函數(shù)f(x)＝eq\r(x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)＝________．【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)＝eq\o(lim,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)，而eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)，又eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2)，所以f′(1)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答題(每小題10分，共30分)7．將半徑為R的球加熱，若半徑從R＝1到R＝m時(shí)球的體積膨脹率(體積的變化量與半徑的變化量之比)為eq\f(28π,3)，求m的值．【解析】因?yàn)棣＝eq\f(4π,3)m3－eq\f(4π,3)×13＝eq\f(4π,3)(m3－1)，所以eq\f(ΔV,ΔR)＝eq\f(\f(4π,3)（m3－1）,m－1)＝eq\f(28π,3)，即m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3(舍去).8．路燈距地面8m，一個(gè)身高1.6m的人以84m/min的速度在地面上從路燈在地面上的射影C沿某直線離開(kāi)路燈，(1)求身影的長(zhǎng)度y與人距路燈的距離x之間的關(guān)系式.(2)求人離開(kāi)路燈第10秒時(shí)身影的瞬時(shí)變化率．【解析】(1)如圖所示，設(shè)人從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B處的路程為xm，AB為身影長(zhǎng)度，AB的長(zhǎng)度為ym.由于CD∥BE，則eq\f(AB,AC)＝eq\f(BE,CD)，即eq\f(y,y＋x)＝eq\f(1.6,8)，所以y＝eq\f(1,4)x.(2)設(shè)人離開(kāi)路燈的時(shí)間為t，因?yàn)?4m/min＝1.4m/s，而x＝1.4t.所以y＝eq\f(1,4)x＝eq\f(1,4)×1.4t＝eq\f(7,20)t，t∈[0，＋∞).Δy＝eq\f(7,20)(10＋Δt)－eq\f(7,20)×10＝eq\f(7,20)Δt，所以eq\f(Δy,Δt)＝eq\f(7,20).即人離開(kāi)路燈第10秒時(shí)身影的瞬時(shí)變化率為eq\f(7,20).9．一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)t秒后的位移為s＝eq\f(1,3)t3－eq\f(3,2)t2＋2t＋1，求速度為零的時(shí)刻．【解析】因?yàn)棣＝s(t＋Δt)－s(t)＝eq\f(1,3)(t＋Δt)3－eq\f(3,2)(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋1－