-新教材高中數(shù)學(xué)第15章概率2第1課時(shí)古典概型學(xué)案蘇教版必修第二冊(cè)

PAGEPAGE9第1課時(shí)古典概型1．古典概型(1)定義：①樣本空間Ω只含有有限個(gè)樣本點(diǎn)；②每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的．我們將滿足上述條件的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型稱為古典概型．(2)本質(zhì)：事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)有限；每個(gè)基本事件發(fā)生的概率相等．2．古典概型的概率計(jì)算公式在古典概型中，如果樣本空間Ω＝{w1，w2，…，wn}(其中，n為樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù))，那么每一個(gè)基本事件{wk}(k＝1，2，…，n)發(fā)生的概率都是eq\f(1,n)，如果事件A由其中m個(gè)等可能基本事件組合而成，即A中包含m個(gè)樣本點(diǎn)，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)＝__eq\f(m,n)__．1．下列關(guān)于古典概型的說法中正確的是()①試驗(yàn)中所有樣本點(diǎn)有有限個(gè)；②每個(gè)事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點(diǎn)的總數(shù)為n，隨機(jī)事件A若包含k個(gè)樣本點(diǎn)，則P(A)＝eq\f(k,n).A．②④B．①③④C．①④D．③④【解析】選B.根據(jù)古典概型的特征與公式進(jìn)行判斷，①③④正確，②不正確．2．(2020·全國Ⅰ卷)設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為()A．eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,2)D．eq\f(4,5)【解析】選A.如圖，從O，A，B，C，D5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)有{O，A，B}，{O，A，C}，{O，A，D}，{O，B，C}，{O，B，D}，{O，C，D}，{A，B，C}，{A，B，D}，{A，C，D}，{B，C，D}共10種不同取法，3點(diǎn)共線只有{O，A，C}與{O，B，D}共2種情況，由古典概型的概率計(jì)算公式知，取到3點(diǎn)共線的概率為eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).3．若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為________．【解析】記事件A：甲或乙被錄用．從五人中錄用三人，樣本點(diǎn)有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10種可能，所以樣本點(diǎn)中含有甲或乙的有9種可能，故所求概率為eq\f(9,10).答案：eq\f(9,10)4．做A，B，C三件事的費(fèi)用各不相同．在一次游戲中，要求參加者寫出做這三件事所需費(fèi)用的順序(由多到少排列).如果某個(gè)參加者隨意寫出答案，他正好答對(duì)的概率是________．【解析】A，B，C三件事排序，有6種排法，記“參加者正好答對(duì)”為事件D，由古典概型的概率公式，得P(D)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)5．一個(gè)袋中已知有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，第一次摸出一個(gè)球，然后再放進(jìn)去，再摸第二次，求兩次都是摸到黑球的概率．【解析】把它們編號(hào)，白球?yàn)?，2，3，黑球?yàn)?，5，用(x，y)記錄摸球結(jié)果，x表示第一次摸到球號(hào)數(shù)，y表示第二次摸到球號(hào)數(shù)．樣本空間為：{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)}，一共25種，兩次摸球都是黑球的樣本點(diǎn)有：(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，共4個(gè)，所以P＝eq\f(4,25).一、單選題1．拋擲一枚骰子，下列不是一個(gè)樣本點(diǎn)的是()A．向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù) B．向上的點(diǎn)數(shù)是3C．向上的點(diǎn)數(shù)是4 D．向上的點(diǎn)數(shù)是6【解析】選A.向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)包含3個(gè)樣本點(diǎn)：向上的點(diǎn)數(shù)是1，向上的點(diǎn)數(shù)是3，向上的點(diǎn)數(shù)是5，所以A不是一個(gè)樣本點(diǎn)．2．若書架上放有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)書分別是5本、3本、2本，則隨機(jī)抽出一本是物理書的概率為()A．eq\f(1,5)B．eq\f(3,10)C．eq\f(3,5)D．eq\f(1,2)【解析】選B.樣本點(diǎn)總數(shù)為10，“抽出一本是物理書”包含3個(gè)樣本點(diǎn)，所以其概率為eq\f(3,10).3．有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,5)【解析】選C.從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，樣本空間為：{(紅，黃)，(紅，藍(lán))，(紅，綠)，(紅，紫)，(黃，藍(lán))，(黃，綠)，(黃，紫)，(藍(lán)，綠)，(藍(lán)，紫)，(綠，紫)}．而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有(紅，黃)，(紅，藍(lán))，(紅，綠)，(紅，紫)，共4個(gè)樣本點(diǎn)，故所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).4．集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,6)【解析】選C.從A，B中各任取一個(gè)數(shù)有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6種情況，其中兩個(gè)數(shù)之和為4的有(2，2)，(3，1)，故所求概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).5．某校高二年級(jí)4個(gè)文科班要舉行一輪單循環(huán)(每個(gè)班均與另外3個(gè)班比賽一場(chǎng))籃球賽，則所有場(chǎng)次中甲、乙兩班至少有一個(gè)班參加的概率是()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(5,6)【解析】選D.記4個(gè)班分別為甲、乙、丙、丁，則他們的比賽對(duì)陣場(chǎng)次為甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁共6種，其中甲、乙兩班至少有一個(gè)班參加的有5種，則所求概率P＝eq\f(5,6).6．設(shè)a是拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，則方程x2＋ax＋2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根的概率為()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(5,12)【解析】選A.基本事件總數(shù)為6，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則a2－8>0，滿足上述條件的a為3，4，5，6，故概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).二、多選題7．下列概率模型是古典概型的為()A．從6名同學(xué)中選出4人參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性大小B．同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)和為6的概率C．近三天中有一天降雨的概率D．10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率【解析】選ABD.古典概型的特點(diǎn)：①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．顯然A，B，D符合古典概型的特征，所以A，B，D是古典概型；C選項(xiàng)，每天是否降雨受多方面因素影響，不具有等可能性，不是古典概型．三、填空題8．口袋內(nèi)裝有100個(gè)大小相同的紅球、白球和黑球，其中有45個(gè)紅球；從中摸出1個(gè)球，若摸出白球的概率為0.23，則摸出黑球的概率為________．【解析】因?yàn)槊霭浊虻母怕适?.23，所以由古典概型概率公式，知白球的個(gè)數(shù)為100×0.23＝23(個(gè))，所以黑球的個(gè)數(shù)為100－23－45＝32(個(gè))，所以摸出黑球的概率為eq\f(32,100)＝0.32.答案：0.329．從編號(hào)為1，2，3，4的4張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上的數(shù)字整除的概率為________．【解析】從編號(hào)為1，2，3，4的4張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，基本事件總數(shù)n＝4×4＝16，第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上的數(shù)字整除的基本事件有8個(gè)，分別為：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，4))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，4))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，4)).所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上的數(shù)字整除的概率為P＝eq\f(8,16)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)四、解答題10．某地發(fā)生大地震，全國人民紛紛伸出援助之手，白衣天使更是無私奉獻(xiàn)．現(xiàn)隨意安排甲、乙、丙3個(gè)醫(yī)生在某醫(yī)療救助點(diǎn)值班3天，每人值班1天，(1)這3人值班的順序共有多少種不同的排法？(2)其中甲在乙之前的排法有多少種？(3)甲排在乙之前的概率是多少？【解析】(1)3人值班的順序所有可能的情況如圖所示：由圖知，3人值班的順序共有6種不同的排法．(2)由圖知，甲在乙之前的排法有3種．(3)記“甲排在乙之前”為事件A，則事件A的概率是P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).11．(1)從A，B，C三個(gè)人中選兩個(gè)人分別擔(dān)任正副班長，求A當(dāng)選的概率；(2)從A，B，C三個(gè)人中選兩個(gè)人去擔(dān)任學(xué)生代表，求A當(dāng)選的概率．【解析】(1)由題意可知，樣本空間為{AB，AC，BA，CA，BC，CB}，共有六個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)事件M＝“A當(dāng)選”，則M中包含4個(gè)樣本點(diǎn)，由古典概型公式得，P(M)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).(2)由題意可知，樣本空間為{AB，AC，BC}，共有三個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)事件N＝“A當(dāng)選”，則N中包含2個(gè)樣本點(diǎn)，由古典概型公式得，P(N)＝eq\f(2,3).一、選擇題1．《中國詩詞大會(huì)》節(jié)目以“賞中華詩詞、尋文化基因、品生活之美”為宗旨，邀請(qǐng)全國各個(gè)年齡段、各個(gè)領(lǐng)域的詩詞愛好者共同參與詩詞知識(shí)競賽，現(xiàn)組委會(huì)要從甲、乙等五位候選參賽者中隨機(jī)選取2人進(jìn)行比拼，記“甲被選上且乙不被選上”為事件A，則事件A的概率為()A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6【解析】選A.從5人中隨機(jī)選取2人，共有10種選法，而甲被選上且乙不被選上，共有3種選法，所以對(duì)應(yīng)事件A的概率為eq\f(3,10)＝0.3.2．《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事：“田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬”．若雙方各自擁有上、中、下等馬各1匹，從中隨機(jī)選1匹進(jìn)行1場(chǎng)比賽，則齊王的馬獲勝的概率為()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,6)【解析】選A.依題意，記田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為a，b，c，齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為A，B，C.由題意可知，可能的比賽為aA，bA，cA，aB，bB，cB，aC，bC，cC，共9種，其中田忌可以獲勝的事件為aB，aC，bC，共3種，則齊王的馬獲勝的概率P＝1－eq\f(3,9)＝eq\f(2,3).3．從1，2，3，…，30中任取一個(gè)數(shù)，它是偶數(shù)或能被3整除的數(shù)的概率為()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)【解析】選D.從1，2，3，…，30中任取一個(gè)數(shù)共有30種情況，其中能被3整除的數(shù)共有10個(gè)，偶數(shù)共15個(gè)，其中既能被3整除又是偶數(shù)的數(shù)有5個(gè)，故是偶數(shù)或能被3整除的數(shù)共有15＋10－5＝20個(gè)，故所求概率P＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3).4．(多選)袋中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從里面任意摸2個(gè)球，則是基本事件的為()A．(正好2個(gè)紅球)B．(1個(gè)紅球，1個(gè)黑球)C．(至少1個(gè)白球)D．(正好2個(gè)黑球)【解析】選ABD.從里面摸2個(gè)球，樣本空間為：Ω＝{(2個(gè)紅球)，(2個(gè)白球)，(2個(gè)黑球)，(1紅1白)，(1紅1黑)，(1白1黑)}．“至少1個(gè)白球”包括“(1白1紅)，(1白1黑)，(2個(gè)白球)”，包含3個(gè)樣本點(diǎn)．二、填空題5．從5件正品，1件次品中隨機(jī)取出2件，則取出的2件產(chǎn)品中恰好是1件正品，1件次品的樣本點(diǎn)有______個(gè)．【解析】設(shè)5件正品分別為A，B，C，D，E，次品為1，則取出2件產(chǎn)品的所有可能為AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，A1，B1，C1，D1，E1共15種，符合要求的樣本點(diǎn)為：A1，B1，C1，D1，E1共5種．答案：56．用紅、黃、藍(lán)三種不同的顏色給圖中的3個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種顏色，則3個(gè)矩形顏色都相同的概率是________，3個(gè)矩形顏色都不同的概率是________．【解析】以“紅黃藍(lán)”表示從左到右三個(gè)矩形所涂的顏色，則所有的基本事件有：紅紅紅、紅紅黃、紅紅藍(lán)、紅黃紅、紅黃黃、紅黃藍(lán)、紅藍(lán)紅、紅藍(lán)黃、紅藍(lán)藍(lán)、黃紅紅、黃紅黃、黃紅藍(lán)、黃黃紅、黃黃黃、黃黃藍(lán)、黃藍(lán)紅、黃藍(lán)黃、黃藍(lán)藍(lán)、藍(lán)紅紅、藍(lán)紅黃、藍(lán)紅藍(lán)、藍(lán)黃紅、藍(lán)黃黃、藍(lán)黃藍(lán)、藍(lán)藍(lán)紅、藍(lán)藍(lán)黃、藍(lán)藍(lán)藍(lán)，共27個(gè)基本事件，事件“3個(gè)矩形顏色都相同”所包含的基本事件有：紅紅紅、黃黃黃、藍(lán)藍(lán)藍(lán)，共3個(gè)基本事件，所以3個(gè)矩形顏色都相同的概率是eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).事件“3個(gè)矩形顏色都不同”所包含的基本事件有：紅黃藍(lán)、紅藍(lán)黃、黃紅藍(lán)、黃藍(lán)紅、藍(lán)黃紅、藍(lán)紅黃，共6個(gè)基本事件，所以3個(gè)矩形顏色都不同的概率是eq\f(6,27)＝eq\f(2,9).答案：eq\f(1,9)eq\f(2,9)7．甲、乙、丙三組學(xué)生人數(shù)分別為3，2，2，現(xiàn)從中抽2人，則這兩人來自同一組的概率為________．【解析】設(shè)甲組的3名學(xué)生記為A1，A2，A3，乙組的2名學(xué)生記為B1，B2，丙組的2名學(xué)生記為C1，C2，所有的基本事件有：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1，A2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1，A3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1，B1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1，B2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1，C1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1，C2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A2，A3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A2，B1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A2，B2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A2，C1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A2，C2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A3，B1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A3，B2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A3，C1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A3，C2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B1，B2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B1，C1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B1，C2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B2，C1))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B2，C2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C1，C2))，共21種，其中，事件“所抽取的2人來自同一組”所包含的基本事件有：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1，A2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A1，A3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A2，A3))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B1，B2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C1，C2))，因此所求事件的概率為eq\f(5,21).答案：eq\f(5,21)8．如圖所示是某市某年2月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇2月1日至2月12日中的某一天到達(dá)該市，并停留3天．則此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為______；此人停留期間至多有1天空氣重度污染的概率為______．【解析】在2月1日至2月12日這12天中，只有5日，8日共2天的空氣質(zhì)量優(yōu)良，所以此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).事件“此人在該市停留期間至多有1天空氣重度污染”，即“此人到達(dá)該市停留期間0天空氣重度污染或僅有1天空氣重度污染”．“此人在該市停留期間0天空氣重度污染”等價(jià)于“此人到達(dá)該市的日期是4日或8日或9日”，其概率為eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).“此人在該市停留期間僅有1天空氣重度污染”等價(jià)于“此人到達(dá)該市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”，其概率為eq\f(5,12).所以此人停留期間至多有1天空氣重度污染的概率為P＝eq\f(1,4)＋eq\f(5,12)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(1,6)eq\f(2,3)三、解答題9．用簡單隨機(jī)抽樣從含有6個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為2的樣本．問：(1)總體中的某一個(gè)體a在第一次抽取時(shí)被抽到的概率是多少？(2)個(gè)體a在第1次未被抽到，而第二次被抽到的概率是多少？(3)在整個(gè)抽樣過程中，個(gè)體a被抽到的概率是多少？【解析】將6個(gè)個(gè)體編號(hào)為1，2，3，4，5，a，則從中抽出的2個(gè)個(gè)體的編號(hào)可能為(前一個(gè)編號(hào)表示第一次抽到，后一個(gè)編號(hào)表示第二次抽到)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，a)；(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，a)；(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，a)；(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，a)；(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，a)；(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，4)，(a，5).(1)總體中的某一個(gè)體a在第一次抽取時(shí)被抽到的概率是P＝eq\f(5,30)＝eq\f(1,6)；(2)個(gè)體a在第1次未被抽到，而第2次被抽到的概率是P＝eq\f(5,30)＝eq\f(1,6)；(3)在整個(gè)抽樣過程中，個(gè)體a被抽到的概率是P＝e