-新教材高中數(shù)學(xué)第13章立體幾何初步2.3第3課時(shí)直線與平面垂直的判定學(xué)案蘇教版必修第二冊(cè)

PAGEPAGE14第3課時(shí)直線與平面垂直的判定【概念認(rèn)知】1．直線與平面垂直(1)定義：如果直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面α垂直，記作a⊥α．直線a叫作平面α的垂線，平面α叫作直線a的垂面．垂線和平面的交點(diǎn)稱為垂足．(2)畫法：通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖：2．直線與平面垂直的判定定理【自我小測(cè)】1．直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能()A．平行B．相交C．異面D．垂直【解析】選A.由直線與平面垂直的定義可知，l⊥m，l與m可能相交或異面，但不可能平行．2．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于()A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABC【解析】選C.因?yàn)镺A⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC，所以O(shè)A⊥平面OBC.3．如圖，BC是Rt△BAC的斜邊，PA⊥平面ABC，PD⊥BC于點(diǎn)D，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是()A.3B．5C．6D．8【解析】選D.由PA⊥平面ABC，知△PAC，△PAD，△PAB均為直角三角形，又PD⊥BC，PA⊥BC，PA∩PD＝P，所以BC⊥平面PAD.所以AD⊥BC，易知△ADC，△ADB，△PDC，△PDB均為直角三角形．又△BAC為直角三角形，所以共有8個(gè)直角三角形．4．空間中直線l和三角形的兩邊AC，BC同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊AB的位置關(guān)系是________．【解析】因?yàn)閘⊥AC，l⊥BC，且AC∩BC＝C，所以l⊥平面ABC，又因?yàn)锳B?平面ABC，所以l⊥AB.答案：垂直5．在四面體P-ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直．設(shè)PA＝PB＝PC＝3，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為________．【解析】因?yàn)镻A，PB，PC兩兩垂直，而PA∩PB＝P，故PC⊥平面PAB，又S△PAB＝eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2)，VC-PAB＝eq\f(1,3)×3×eq\f(9,2)＝eq\f(9,2).又Rt△PAB中，PA＝PB＝3，故AB＝3eq\r(2)，同理AC＝BC＝3eq\r(2)，故△ABC為等邊三角形，故S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×(3eq\r(2))2＝eq\f(9\r(3),2)，故VP-CAB＝eq\f(1,3)×eq\f(9\r(3),2)×d，其中d為點(diǎn)P到平面ABC的距離，因?yàn)閂P-CAB＝VC-PAB，故eq\f(1,3)×eq\f(9\r(3),2)×d＝eq\f(9,2)，故d＝eq\r(3).答案：eq\r(3)6．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝eq\f(1,2)，則下列結(jié)論中正確的序號(hào)是________．①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③三棱錐A-BEF的體積為定值；④△AEF的面積與△BEF的面積相等．【解析】對(duì)于①，由題意及圖形知，AC⊥平面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，故①正確；對(duì)于②，由于正方體ABCD-A1B1C1D1對(duì)于③，由幾何體的性質(zhì)及圖形知，三角形BEF的面積是定值，A點(diǎn)到平面DD1B1B的距離等于AC的一半，故可得三棱錐A-BEF的體積為定值，故③正確；對(duì)于④，由圖形可以看出，B到線段EF的距離與A到EF的距離不相等，故△AEF的面積與△BEF的面積不相等，故④錯(cuò)誤．答案：①②③7．如圖，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.(1)求證：PC⊥平面AEF；(2)設(shè)平面AEF交PD于G，求證：AG⊥PD.【證明】(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，因?yàn)锳E?平面PAB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，因?yàn)镻C?平面PBC，所以AE⊥PC.又因?yàn)镻C⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，所以PC⊥AG，因?yàn)镃D⊥平面PAD，AG?平面PAD，所以CD⊥AG，PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD?平面PCD，所以AG⊥PD.【基礎(chǔ)全面練】一、單選題1．已知直線a，b和平面α，下列推理中錯(cuò)誤的是()A．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α，,b?α))?a⊥bB．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b，,a⊥α))?b⊥αC．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥b，,b⊥α))?a∥α或a?αD．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α，,b∥α))?a∥b【解析】選D.當(dāng)a∥α，b∥α?xí)r，a與b可能平行，也可能相交或異面，即D推理錯(cuò)誤．2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1A．AE⊥CC1B．AE⊥B1D1C．AE⊥BCD．AE⊥CD【解析】選B.如圖所示．連接AC，BD，因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1所以四邊形ABCD是正方形，AC⊥BD，CE⊥平面ABCD，所以BD⊥CE，而AC∩CE＝C，故BD⊥平面ACE，因?yàn)锽D∥B1D1，故B1D1⊥平面ACE，故B1D1⊥AE.3．垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關(guān)系是()A．垂直B．相交但不垂直C．平行D．不確定【解析】選A.因?yàn)樘菪蝺裳谥本€為兩條相交直線，所以由線面垂直的判定定理知，直線與平面垂直．4．直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α的關(guān)系是()A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α內(nèi)D．不能確定【解析】選D.如圖所示，直線l和平面α相互平行，直線l和平面α相互垂直或直線l在平面α內(nèi)都有可能．故選D.5．(2021·南京高一檢測(cè))如圖所示，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，EF∥PA，且CE與AB不垂直，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)是()A.3B．4C．5D．6【解析】選D.因?yàn)椤螦CB＝90°，所以△ACB是直角三角形．由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，所以△PAB，△PAC是直角三角形．又BC⊥AC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB是直角三角形．因?yàn)镋F∥PA，PA⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC，所以EF⊥BE，EF⊥EC，所以△BEF，△FEC是直角三角形，所以△PAB，△PAC，△ACB，△PCB，△FEC，△BEF均為直角三角形，共6個(gè)．二、多選題6．ABCD-A1B1C1D1A.BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1【解析】選ABC.在正方體中BD∥B1D1，可知選項(xiàng)A正確；由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，從而BD⊥AC1，即選項(xiàng)B正確；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C因此AC1⊥平面CB1D1，即選項(xiàng)C正確；由于四邊形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正確．7．(2021·永州高一檢測(cè))如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是()A.PB與CD所成的角為60°B．BD⊥平面PACC．PC∥平面BDED．VBCDE∶VPABCD＝1∶4【解析】選BCD.對(duì)A，因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以AB∥CD，則∠PBA即為PB與CD所成的角，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，因?yàn)镻A＝AB，所以∠PBA＝45°，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，連接AC，因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以BD⊥AC，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD，因?yàn)镻A∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，故B正確；對(duì)C，設(shè)BD∩AC＝O，連接OE，則O是AC中點(diǎn)，又點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，所以PC∥OE，因?yàn)镺E?平面BDE，PC?平面BDE，所以PC∥平面BDE，故C正確；對(duì)D，因?yàn)閂BCDE＝VEBCD＝eq\f(1,3)S△BCD·EA，VPABCD＝eq\f(1,3)SABCD·PA＝eq\f(1,3)×2S△BCD×2EA＝4VB-CDE，所以VBCDE∶VPABCD＝1∶4，故D正確．三、填空題8．下列語(yǔ)句中正確的是________.(填序號(hào))①l⊥α?l與α相交；②m?α，n?α，l⊥m，l⊥n?l⊥α；③l∥m，m∥n，l⊥α?n⊥α.【解析】①正確，由線面垂直的定義可知；②不正確，沒(méi)有明確直線m，n的情況；③正確，因?yàn)閘∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α.答案：①③9．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的下列各種情況：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．能判定直線與此平面垂直的有________.【解析】由線面垂直的判定定理可知①③能判定，而②中線面可能平行、相交、還可能線在平面內(nèi)，④中由于正六邊形的兩邊可能平行，所以也無(wú)法判定線面垂直．答案：①③四、解答題10．如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D為BB1的中點(diǎn)．求證：AD⊥平面A【證明】因?yàn)锳A1⊥底面ABC，平面A1B1C1所以AA1⊥平面A1B1C1，顯然A1C1?平面A1B1C1，所以A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，所以A1C1⊥A1B1，而A1B1∩AA1＝A1，所以A1C1⊥平面AA1B1B，AD?平面AA1B1B，所以A1C1⊥AD.由已知計(jì)算得AD＝eq\r(2)，A1D＝eq\r(2)，AA1＝2.所以AD2＋A1D2＝AAeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))所以A1D⊥AD.因?yàn)锳1C1∩A1D＝A1所以AD⊥平面A1DC1.11．如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求證：SD⊥平面SAB.【證明】因?yàn)锳B∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，所以底面ABCD為直角梯形，AD＝eq\r(（2－1）2＋22)＝eq\r(5).因?yàn)閭?cè)面SAB為等邊三角形，所以SA＝SB＝AB＝2.又SD＝1，所以AD2＝SA2＋SD2，所以SD⊥SA.連接BD，則BD＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，所以BD2＝SD2＋SB2，所以SD⊥SB.又SA∩SB＝S，所以SD⊥平面SAB.【綜合突破練】一、選擇題1．空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對(duì)角線AC，BD的關(guān)系是()A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交【解析】選C.取BD中點(diǎn)O，連接AO，CO，則BD⊥AO，BD⊥CO，所以BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD，AC異面，所以選C.2．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么，在這個(gè)空間圖形中必有()A．AG⊥△EFH所在平面B．AH⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面【解析】選B.根據(jù)折疊前、后AH⊥HE，AH⊥HF不變，所以AH⊥平面EFH，B正確；因?yàn)檫^(guò)A只有一條直線與平面EFH垂直，所以A不正確；因?yàn)锳G⊥EF，EF⊥AH，所以EF⊥平面HAG，所以平面HAG⊥平面AEF，過(guò)H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)，所以C不正確；因?yàn)镠G不垂直于AG，所以HG⊥平面AEF不正確，D不正確．3．如圖所示是一個(gè)正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中①BM∥平面ADE；②DE⊥BM；③平面BDM∥平面AFN；④AM⊥平面BDE.以上四個(gè)命題中，真命題的序號(hào)是()A.①②③④B．①②③C．①②④D．②③④【解析】選A.把正方體的平面展開圖還原成正方體ABCDEFMN，如圖1所示；對(duì)于①，平面BCMF∥平面ADNE，BM?平面BCMF，所以BM∥平面ADNE，①正確；對(duì)于②，如圖2所示，連接AN，則AN∥BM，又ED⊥AN，所以DE⊥BM，②正確；對(duì)于③，如圖2所示，BD∥FN，BD?平面AFN，F(xiàn)N?平面AFN，所以BD∥平面AFN；同理BM∥平面AFN，且BD∩BM＝B，所以平面BDM∥平面AFN，③正確；對(duì)于④，如圖3所示，連接AC，則BD⊥AC，又MC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以MC⊥BD，又AC∩MC＝C，所以BD⊥平面ACM，所以BD⊥AM，同理得ED⊥AM，ED∩BD＝D，所以AM⊥平面BDE，所以④正確．4．(多選)在正方體中ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱A1D1，D1D，A1B1A．AC1⊥EGB．GC∥EDC．B1F⊥平面BGC1D．EF和BB1所成角為eq\f(π,4)【解析】選AD.如圖，對(duì)于A，連接B1D1，A1C1，則A1C1⊥EG，又AA1⊥平面A1B1C1D1，EG?平面A1B1C所以AA1⊥EG，又AA1∩A1C1＝A1，所以EG⊥平面AA1C1，又A1C?平面AA所以AC1⊥EG，故A正確；對(duì)于B，取B1C1所以CM∥ED，又GC∩CM＝C，因此GC∥ED不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，假設(shè)B1F⊥平面BGC1，則B1F⊥GC1，連結(jié)B1D因?yàn)镈1F⊥平面A1B1C1D1，GC1?平面A1B1C1所以D1F⊥GC1，又B1F∩D1F＝F，所以GC1⊥平面D1B1F，又D1B1?平面D所以GC1⊥D1B1，顯然不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)镈1D∥B1B，所以∠D1FE為異面直線EF和BB1所成的角，在等腰直角△D1EF中，∠D1FE＝eq\f(π,4)，所以異面直線EF和BB1所成的角為eq\f(π,4)，故D正確．二、填空題5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，則四個(gè)側(cè)面△PAB，△PBC，△PCD，△PAD中，有________個(gè)直角三角形．【解析】因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，所以△PAB，△PAD為直角三角形，因?yàn)锽C⊥PA，BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC為直角三角形，同理，△PDC為直角三角形，所以四個(gè)側(cè)面三角形均為直角三角形．答案：46．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，則點(diǎn)A1與面對(duì)角線BC1【解析】如圖所示：連接BC1，B1C交于點(diǎn)O，連接A1因?yàn)锽C1⊥B1C，BC1⊥A1B1，B1C∩A1B1所以BC1⊥平面A1B1O，所以BC1⊥A1O，所以A1O的長(zhǎng)度即為所求．因?yàn)锳1B1＝a，B1O＝eq\f(\r(2),2)a，所以A1O＝eq\r(A1Beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋B1O2)＝eq\f(\r(6),2)a.答案：eq\f(\r(6),2)a7．(2021·嘉興高一檢測(cè))如圖，在四棱錐SABCD中，底面ABCD為正方形，且SA＝SB＝SC＝SD，其中E，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列四個(gè)結(jié)論：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥面SBD；④EP⊥面SAC，其中恒成立的有________.【解析】因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，且SA＝SB＝SC＝SD，故四棱錐SABCD為正四棱錐，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為F，則SF⊥底面ABCD，又AC?平面ABCD，故SF⊥AC，又AC⊥BD，SF∩BD＝F，故AC⊥平面SBD，又E，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，故EN∥SB.EN?平面SBD，SB?平面SBD，故EN∥平面SBD，同理可證EM∥平面SBD，EM∩EN＝E，則平面EMN∥平面SBD，則AC⊥平面EMN，又EP?平面EMN，故AC⊥EP，①正確；當(dāng)P與M重合時(shí)，才滿足EP∥BD，故②錯(cuò)誤；由平面EMN∥平面SBD，EP?平面EMN，可得EP∥面SBD，故③正確；由BD⊥AC，BD⊥SF得BD⊥平面SAC，只有當(dāng)P與M重合時(shí)，滿足EP∥BD，EP⊥面SAC，故④錯(cuò)誤．答案：①③8．已知四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝6，E為棱PD上一點(diǎn)，且ED＝2PE，過(guò)EB作平面α分別與線段PA，PC交于點(diǎn)M，N，且AC∥α，則eq\f(PM,PA)＝________，四邊形EMBN的面積為________.【解析】如圖，延伸平面α，交平面ABCD于RS，因?yàn)锽∈平面α∩平面ABCD，所以B∈RS，即R，S，B三點(diǎn)共線，又AC∥α，由線面平行的性質(zhì)可得AC∥RS，則∠ARB＝∠ABR＝eq\f(π,4)，即AR＝AB，所以A是RD的中點(diǎn)，過(guò)M作MK⊥PD，垂足為K，則在△PDA中，eq\f(MK,DA)＝eq\f(PK,PD)，在△EDR中，eq\f(MK,DR)＝eq\f(EK,ED)，所以eq\f(PK,PD)·DA＝eq\f(EK,ED)·DR，即eq\f(PK,6)·4＝eq\f(PK－2,4)·8，解得PK＝3，所以K是PD中點(diǎn)，則M是PA中點(diǎn)，所以eq\f(PM,PA)＝eq\f(1,2)，則eq\f(PN,PC)＝eq\f(PM,PA)＝eq\f(1,2)，MN∥AC，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC，因?yàn)锽D⊥AC，BD∩PD＝D