導數(shù)的幾何意義 教案

導數(shù)的幾意義【材析在學生學習了平均變化率，瞬時變化率基礎(chǔ)上，進一步從幾何意義的基礎(chǔ)上理解導數(shù)的含義與價值是可以充分應(yīng)用信息技術(shù)進行概念教學與問題探究的內(nèi)容導數(shù)的幾何意義的學習為常見函數(shù)導數(shù)的計算、研究函數(shù)中的應(yīng)用及研究函數(shù)曲線與直線的位置關(guān)系的基礎(chǔ)。因此，導數(shù)的幾何意義有承前啟后的重要作用本節(jié)課不僅能幫助學生更好地理解導數(shù)的概念并且能讓學生認識到導數(shù)是刻畫函數(shù)的單調(diào)性變化快慢和極值等性質(zhì)最有效的工具是本章的關(guān)鍵內(nèi)容?！厩槲鰪闹R上看，學生通過學習平均變化率，特別是函數(shù)的瞬時變化率及導數(shù)的概念，對導數(shù)概念有一定的理解和認識也在思考導數(shù)的另一種體現(xiàn)形式——形學生對曲線的切線有一定的認識特別是對拋物線的切線的概念在學習圓錐曲線與直線關(guān)系時有很深的了解與認識從學習能力上看，通過一年多的學習實踐，學生掌握了一定的探究問題的經(jīng)驗，具有一定的想象能力和研究問題的能力從學習心理上看，學生已經(jīng)在生活中掌握了圓錐的切線，只是它的含義是公共點個數(shù)方面了解的，當然在思維方面，也形成了定勢：直線與曲線相切，直線與內(nèi)線只有一個公共點?；谝陨蠈W情分析，我確定下列教法。1．教法從圓的切線的定義引入本課，再引導學生討論一般曲線的切線的定義，通過幾何畫板的動畫演示，得出曲線的切線的“逼近”法的定義。同樣通過幾何畫板的實驗觀察和具體函數(shù)導數(shù)的計算得到導數(shù)的幾何意義和直觀感知“以直代曲”的數(shù)學思想。因此，我采用實驗觀察法、研討教學法和信息技術(shù)輔助教學法相結(jié)合。2．學法根據(jù)本課特點的教學設(shè)計，我注重引導下列學法：——實驗觀察，利用幾何畫板的幾何直觀與數(shù)值計算功能，學生感知曲線的切線的定義以及導數(shù)的幾何意義；——反思探究，理解曲線的切線的逼近定義的科學性；——學以致用，引導學生利用導數(shù)的幾何意義，用切線的近似值來估算導數(shù)值；——分組討論，激活學生的思維，經(jīng)歷用導數(shù)幾何意義進行定性分析；——思想滲透，借助幾何畫板局部放大的直觀性，學生直觀體會“以直代曲”的思想。

【學標1．知識與技能：（1）使學生理解導數(shù)的幾何意義。（2）體會“數(shù)形結(jié)合、以直代曲”數(shù)學思想方法。2．過程與方法：滲透“逼近”思想，激發(fā)學生學習興趣，培養(yǎng)學生不斷發(fā)現(xiàn)、探索新知識的精神。3．情態(tài)與價值：通過揭示割線與切線之間的內(nèi)在聯(lián)系對學生進行辯證唯物主義的教育，引導學生從有限中認識無限，體會量變和質(zhì)變的辯證關(guān)系，感受數(shù)學思想方法的魅力。【學難】一、重點導數(shù)的幾何意義，導數(shù)的實際應(yīng)用直代曲”數(shù)學思想方法。二、難點1．發(fā)現(xiàn)和理解導數(shù)的幾何意義；2．運用導數(shù)的幾何意義解釋函數(shù)變化的情況和解決實際問題。關(guān)鍵：由割線

PP

趨向切線動態(tài)變化效果，由割線“逼近”成切線的理解。教學手段：采用幻燈片，實物投影等多媒體手段，增大教學容量與直觀性，有效提高教學效率和教學質(zhì)量?！拘吞骄空n【學程一、溫故知新，誘發(fā)思考師：在前面的學習中，我們知道了導數(shù)的本質(zhì)，下面請同學們在動手實踐中寫出導數(shù)的本質(zhì)及其表達式。生：在“學生動手實踐”中，學生寫出：導f/(x)

的本質(zhì)是函數(shù)

f(x

在

xx

處的瞬時變化率，即：f

/

00

f)0（設(shè)計意圖：教師不能代替學生的思維活動，學生將大腦中已有的經(jīng)驗、認識轉(zhuǎn)換成數(shù)學符號，有利于學生思維能力的有效提高，為學生“發(fā)現(xiàn)知導數(shù)的幾何意義奠定基礎(chǔ)）師：導數(shù)的本質(zhì)僅是從代數(shù)（數(shù)）的角度來詮釋導數(shù)，有了“數(shù)

我們就想研究它的“形這節(jié)課我們就從圖形（形）的角度來探究導數(shù)的幾何意義。先請同學們回顧一下初中平面幾何中我們是如何定義圓的切線和割線的生：根據(jù)直線和圓的交點個數(shù)，有一個交點時，直線是圓的切線；有兩個交點時，直線是圓的割線。師：對了，我們是根據(jù)直線和圓的公共點個數(shù)，有惟一公共點時，直線是圓的切線；有兩個公共點時線是圓的割線同學們看大屏幕這里直l

與曲線相切嗎？l呢？2生l

不是、

l2

是師：圓是一種特殊的曲線，以上圓的切線定義并不適用于一般的曲線。那么我們?nèi)绾蝸韺ふ乙话闱€的切線呢？我們先來看一下圓的割線與切線有何關(guān)系？教具演示。生：當點趨近于點A時，圓的割線趨近于圓的切線。當點與點A合時，割線變成了切線。一般曲線的切線，割線是否也有這種關(guān)系？（設(shè)計意圖：由學生思考后回答，誘發(fā)學生對圓的切線定義的局限的反思；借助幻燈片演示感知曲線切線定義的各種情形，為尋找切線的逼近定義提供“親身”經(jīng)歷。強調(diào)：圓是一種特殊的曲線，這種定義并不適用于一般曲線的切線二、實驗觀察，思維辨析的點A線AB，xfxf())000

點

A,f(x0

沿著曲線趨近于

B(x00

時，割線AB有什么變化？請畫出來。生：動手實踐師：展示學生作品，引導學生觀察：類比數(shù)的變化：Bxf(x))Afx0000當，割線有一個無限趨近的確定位置，這個確定位置上的直線叫做曲線在xx

0

處的切線，請把它畫出來。師：等學生化出切線AT后，教師用Flash展示動態(tài)過程，引導學生回顧過程。引導學生發(fā)現(xiàn)生：說出形），割線AB切線AT則割線AB斜率

切線AT的斜率由數(shù)形結(jié)合，得

f

/

0

f)0

＝切線AT的斜率師：函數(shù)

f(x

在

xx

0

處的導數(shù)f

/

義就是函數(shù)

f(x

的圖像在

xx

0

處的切線AT的斜率。下面同學們談一談你對導數(shù)幾何意義的理解？

生：提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法；切線斜率的本質(zhì)——函數(shù)在

xx

處的導數(shù)。師：好，我們現(xiàn)在清楚導數(shù)的幾何意義就是在該點處切線的斜率。其中切線很關(guān)鍵，通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線（交點可能不唯一于各種曲線，例如上圖中，直l雖然與曲線有惟一的公共點，但我們不能認為它與曲線相切；而另一條直l

雖然與曲線有不只一個公共點，我們還是認為它是曲線的切線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。（設(shè)計意圖：讓學生參與曲線的切的逼近發(fā)現(xiàn)過程，初步體會曲線的切線的逼近定義；初步感知數(shù)學定義的嚴謹性和幾何意義的直觀性讓學生利用已學的導數(shù)的定義推出導數(shù)的幾何意義，讓學生分享發(fā)現(xiàn)的快樂三、觀察發(fā)現(xiàn)思維升華數(shù)學思想方法以直代曲”思想方法。即曲線上某點的切線近似代替這一點附近的曲線（通過幾何畫板演示（設(shè)計意圖：讓學生直觀感知：在點P的附近，PP比PP更接近曲線f（x比PP更2132接近曲線f（x…。過點P的切線PT最貼近P近的曲線f（x體會“以直代曲四、學而習之小試牛刀例1：求拋物線y在點(1,1)處的切線方程。變式訓練：過拋物線y

2

的點

0

處的切線平行直線

y2x

，求點

0

的坐標。（設(shè)計意圖：初步體會導數(shù)的幾何意義；回顧用導數(shù)的定義求某處的導數(shù)；設(shè)切點，由求知數(shù)來表示導數(shù)；規(guī)范解題格式例2：如圖，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)

h

t圖像。根

據(jù)圖像，請描述比較曲線

hsts12

附近的變化情況（設(shè)計意圖：利用幾何畫板，直觀和數(shù)量顯示高度，速度隨時間的關(guān)系；由導數(shù)的幾何意義分析曲線的走向；滲透“以直代曲五、抽象概括，歸納小結(jié)1．抽象概括：由練習2抽象概括出導函數(shù)（簡稱導數(shù)）的概念：f

/

（靜態(tài)/數(shù)（動態(tài)）由f

/

0

0

f)0

（特殊——一般）f

/

f

（靜態(tài)——動態(tài)）（說明：體驗從靜態(tài)到動態(tài)的變化過程，領(lǐng)會從特殊到一般的辯證思想2．歸納小結(jié)：由學生進行開放式小結(jié)：（1）函數(shù)

f(x

在

xx

0

處的導數(shù)f

/

義就是函數(shù)

f(x

的圖像在

xx

0

處的切線AT的斜率形結(jié)合：f

/

00

f)0

＝切線AT的斜率（2）利用導數(shù)的幾何意義解釋實際生活問題，體會“數(shù)形結(jié)合直代曲”的思想方法。（3）導函