分類思想在圖形的認識教學(xué)中的滲透

分類思想在“圖形的認識”教學(xué)中的滲透——以滬教版《數(shù)學(xué)》第五冊“三角形的分類（2）——按邊分”為例求知小學(xué)方麗【摘要】分類思想是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想方法之一，是指按一定標準將研究對象分為不同種類。小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”的課程內(nèi)容中，圖形的分類是認識圖形的核心。本文將以“三角形的分類（2）——按邊分”為課例，從教師的教學(xué)方法與策略和學(xué)生的認知能力與已有經(jīng)驗這兩個角度出發(fā)，研究分類思想如何在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形的認識”課堂教學(xué)實踐中的滲透，并且用具象的方法表達抽象的分類結(jié)果?！娟P(guān)鍵詞】圖形的認識分類思想集合思想小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”的課程內(nèi)容主要包括：空間和平面基本圖形的認識，圖形的性質(zhì)、分類和度量。[1]其中“圖形的認識”主要包括兩個方面：一是對圖形自身特征的認識；二是對圖形各元素之間、圖形與圖形之間關(guān)系的認識。[1]但小學(xué)生對于幾何圖形的認識多來源于直觀實物，喜歡用經(jīng)驗來判斷和思考問題，也就是說所見即所得。對于抽象圖形性質(zhì)的認識不夠完善，也較難發(fā)現(xiàn)性質(zhì)之間的聯(lián)系。分類思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，圖形的分類是認識圖形的核心。在義務(wù)教育第一學(xué)段中“能對簡單幾何體和圖形進行分類”的要求，實際上就是借助對圖形的認識使學(xué)生體會和感悟分類的思想。[1]在分類的過程中，發(fā)現(xiàn)圖形之間的相同點和不同點，在比較后進行分類得出結(jié)論，并且要用具體可操作性的方法表達抽象的分類結(jié)果，這對于三年級的學(xué)生而言是很有難度的。為了突破以上兩個難點，本文將以滬教版數(shù)學(xué)第五冊《三角形的分類（2）——按邊分》為課例，從教師的教學(xué)方法與策略和學(xué)生的認知能力與已有經(jīng)驗這兩個角度出發(fā)，研究分類思想如何在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形的認識”課堂教學(xué)實踐中的滲透。本節(jié)課是學(xué)生已經(jīng)認識了三角形的基本特征，并掌握了三角形可以按角分成銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的基礎(chǔ)上進行的。整個教學(xué)設(shè)計分為兩大活動板塊：1、三角形按邊分類2、知識歸納整合（按角分類和按邊分類合并）兩個活動板塊分別對應(yīng)“圖形自身特征的認識”和“圖形之間關(guān)系的認識”，使學(xué)生充分經(jīng)歷認識圖形的過程和方法，以下為具體教學(xué)策略與方法。課前我給學(xué)生提供了四種不同長度的小棒（6cm、8cm、10cm、12cm）,每一種顏色代表一種長度，請學(xué)生搭出各種不同類型的三角形，最多19種（圖1）。學(xué)生在制作過程中復(fù)習(xí)了三角形的基本特征，增加了活動體驗，豐富了空間想象。繼而引出第一個數(shù)學(xué)活動“三角形按邊分類”。在多種數(shù)學(xué)活動中，完善圖形基本特征的認識“實物——圖像——表象——抽象”是學(xué)生對數(shù)學(xué)概念形成正確認識的一般性運行軌跡。[2]在形成幾何概念和發(fā)現(xiàn)圖形基本特征的過程中，需要大量的動手操作活動，幫助學(xué)生積累足夠的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。因此我采用了實驗法、講解法和演示法。實驗法是通過學(xué)生的實踐操作來概括出典型本質(zhì)特征的一種教學(xué)方法。[3]課堂中學(xué)生四人一組探索性實驗，對所搭建的三角形按邊進行分類，經(jīng)過對學(xué)具的直觀觀察、比較、分類等數(shù)學(xué)活動，將三角形分出三種情況即：三條邊都不相等、有兩條邊相等和三條邊都相等。學(xué)生將三角形掛在黑板上，全班一起研究。（圖2）實驗法教學(xué)的意義就在于引導(dǎo)學(xué)生自己觀察思考并操作，發(fā)揮主觀能動性。對實驗過程予以重視，在課堂中體現(xiàn)知識的形成過程，對于結(jié)果我們可以慢慢討論。圖1圖2講解法多用于概念教學(xué)，當然這里的“講”是需要不斷地循循善誘，而不是一味地灌輸式教學(xué)。當學(xué)生找到兩條邊相當?shù)娜切魏螅艺垖W(xué)生給它們起個名字，“等邊三角形！”“等腰三角形！”“兩邊三角形！”從孩子的話語中不難發(fā)現(xiàn)，對于幾何圖形的認識還只是停留于表象。因此這里需要系統(tǒng)清晰地將數(shù)學(xué)知識傳遞給學(xué)生:“像這樣有兩條邊相等的三角形我們把它叫做等腰三角形！這兩條相等的邊就像我們?nèi)说膬蓚€腰（教師動作演示叉腰動作），第三條邊我們把它叫做底邊”。整個過程語言精準簡練，符合小學(xué)生的認知水平，[3]幫助學(xué)生從已有的經(jīng)驗出發(fā)對抽象圖形進行概括。其實基本圖形的定義都可以采用類似的方法進行介紹。演示法是指借助實物或模型進行演示，學(xué)生在觀察中發(fā)現(xiàn)對象的本質(zhì)特征.[3]為了幫助學(xué)生更好地掌握基本圖形的特征，培養(yǎng)空間觀念，一系列的操作演示和互動體驗必不可少?！窘虒W(xué)片段一】師：（舉一個等腰三角形教具）像這樣兩條相等的邊就是腰，第三條邊叫底邊。（雙手順摸三角形教具的兩條相等的邊）師：（拿出一個大的等腰三角形教具）這是一個等腰三角形嗎？說說理由。生：是，有兩條邊相等！師：（旋轉(zhuǎn)這個大的等腰三角形教具）它還是一個等腰三角形嗎？生：當然是！師：你能上臺摸一摸它的兩條邊嗎？生：（上臺示范，邊摸邊講解）這是它的兩條腰，這是底邊。師：你有什么發(fā)現(xiàn)？生：這個三角形并沒有變，只是被旋轉(zhuǎn)了一下。師：看來改變?nèi)切蔚奈恢貌⒉粫淖內(nèi)切蔚谋举|(zhì)特點，只要有兩邊相等的三角形，它就是等腰三角形。學(xué)生在經(jīng)歷觀察、旋轉(zhuǎn)、重疊等一系列活動后，知道圖形的基本特征并不會因為其位置、大小、方向等因素發(fā)生改變，并能根據(jù)特征進行圖形模式的辨別。在數(shù)學(xué)活動中培養(yǎng)空間觀念，構(gòu)建空間表象，發(fā)現(xiàn)圖形特征，直觀性強。這樣的方法對于“圖形的認識”課堂教學(xué)都是適用的，能幫助學(xué)生認識圖形的的基本特征，完善對抽象圖形性質(zhì)的認識，突破第一個難點。二、在探究“特殊與一般”的關(guān)系中，體驗多種分類思想方法三年級學(xué)生認知水平屬于“抽象——關(guān)聯(lián)”階段，他們已經(jīng)能夠形成抽象定義，能夠在操作實物的基礎(chǔ)上進行空間思維活動。[3]因此我們不能僅停留于對已有圖形的觀察比較，而應(yīng)該讓學(xué)生在動手操作中發(fā)現(xiàn)知識的內(nèi)在聯(lián)系?！窘虒W(xué)片段二】師：仔細觀察，你發(fā)現(xiàn)等腰三角形和等邊三角形之間有什么關(guān)系？（獨立思考，同桌討論，集體交流）生：我發(fā)現(xiàn)等腰三角形是“高高的”，等邊三角形是“矮矮的”。生：我發(fā)現(xiàn)等腰三角形有兩條邊相等，等邊三角形有三條邊相等，比等腰三角形多了一條邊相等。生：你們看，我把這個“高高的”等腰三角形慢慢“壓扁”，當它的底邊和腰相等時，它就是等邊三角形了。生：我不同意你的說法，如果我用這個“扁扁”的等腰三角形，只要把它拉高也能變成等邊三角形！師：可以借助學(xué)具找一找它們的關(guān)系。（學(xué)生動手操作）生：我發(fā)現(xiàn)只要把等腰三角形不相等的小棒（底邊）拿走，換成相等的小棒（和“腰”同等長度），就能變成等邊三角形了。學(xué)生通過改變一根小棒的長度的操作活動，實現(xiàn)了等腰三角形和等邊三角形之間的轉(zhuǎn)換，從而更好地發(fā)現(xiàn)了兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系。推導(dǎo)出等邊三角形是一種很特殊的等腰三角形，體驗“特殊與一般”的關(guān)系，找到了知識的內(nèi)在聯(lián)系。對于善于知識遷移的學(xué)生，會遷移二年級所學(xué)知識“正方形是特殊的長方形”。同樣的操作活動也可用于將一個平行四邊形轉(zhuǎn)化為一個長方形，或?qū)⒁粋€長方體轉(zhuǎn)化為一個正方體等。學(xué)生在探究過程中能感受到數(shù)學(xué)思考的邏輯性，符合認知發(fā)展水平，也體現(xiàn)了對于“圖形的認識”是一個循序漸進的過程。通過豐富的操作活動學(xué)生理解了等腰三角形和等邊三角形的關(guān)系后，并用“畫圈”的方法在黑板上進行歸納，這時我們可以再次回到開篇“三角形按邊分究竟可以怎么分呢？”的話題。從黑板上所呈現(xiàn)出來的圖示，由原來等腰三角形和等邊三角形的并列關(guān)系變成了包含關(guān)系（圖3），達成教學(xué)目標。圖3在分類的過程中，學(xué)生體悟到任何的分類活動必須有一個標準。如三角形按“角”分可以分成：“直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形”，三角形按“邊”分可以分成：“三條邊都不相等的三角形和等腰三角形，而等腰三角形中又包含了等邊三角形”。前者是“并列關(guān)系”的分類，后者是“包含套裝型”的分類。分類標準的不同會導(dǎo)致分類結(jié)果的不同，而分類的結(jié)果是抽象的，如何將抽象的結(jié)果具體體現(xiàn)呢？這里我向?qū)W生介紹了集合圈的繪制方法，用集合圈體現(xiàn)分類的抽象結(jié)果，初步滲透集合思想。雖然我們不在這里引出“總體”、“元素”等定義，也不介紹“子集”、“交集”、“并集”等概念，但繪制集合圈的過程是幫助學(xué)生將有共同性的事物放在一起，將有差異性的事物進行區(qū)分，是對事物的一種高度概括，反映了事物之間的關(guān)系。三、在繪制集合圈的過程中，構(gòu)建“圖形的關(guān)系”知識體系學(xué)生在掌握三角形按角分和按邊分的兩種分類方法后，進入第二個活動版塊：知識歸納整合（按角分類和按邊分類合并）。在區(qū)教研員黃琰老師的指導(dǎo)與幫助下，我采取“小步走”的策略分解難點，給與學(xué)生細節(jié)的指導(dǎo)：拿出一個具體的三角形引導(dǎo)學(xué)生觀察按角分它是直角三角形，按邊分它是等腰三角形，因此它是一個等腰直角三角形，再讓學(xué)生找一找其他三角形有沒有這樣的特點。使學(xué)生有效關(guān)注到這些三角形角與邊之間的小秘密。再大膽放手讓學(xué)生自主探究，無論是畫一畫、圈一圈還是放一放，匯集學(xué)生智慧繪制圖形?！窘虒W(xué)片段三】師：我們已經(jīng)知道了三角形按角分（媒體出示圖片）和按邊分（媒體出示圖片）兩種分類結(jié)果，你能將兩幅圖合并起來，繪制一幅新的三角形的關(guān)系圖？(小組合作繪制，集體交流)生1：我們小組討論的結(jié)果是這樣的。（圖4）這個大圓表示所有的三角形，我們把兩種分類結(jié)果畫在了一起。生2：我不同意你的觀點，因為等腰三角形也有可能是直角三角形，也可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形，應(yīng)該把它們放在一起！生3：我們小組討論的結(jié)果是這樣的。（圖5）我們把三角形按角分和按邊分合在了一起，并且把等邊三角形也畫進去了，因為所有的等邊三角形都是等腰銳角三角形。（很多學(xué)生贊同了這種畫法）生4：我覺得應(yīng)該把所有的等腰三角形再畫一個圈。生5：我們小組討論的結(jié)果是這樣的。（圖6）我們把兩個圖重疊在了一起，等腰三角形這個圓里即有銳角三角形，也有鈍角三角形和直角三角形。然后把等邊三角形也畫進去了。師：那也就是說等邊三角形可能是銳角三角形、可能是鈍角三角形、也可能是直角三角形？(全班思考)生：我覺得應(yīng)該把中間那個圓換個地方。圖4圖5圖6學(xué)生在不斷的探索中發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。新的三角形關(guān)系圖不再是按照單一的標準進行分類，而是上升到綜合高度。學(xué)生在不斷試錯中接近正確答案，為了明顯表示它們之間的關(guān)系，選擇用不同顏色的透明薄膜紙代表等腰三角形和等邊三角形兩個集合圈，請學(xué)生上臺貼入相應(yīng)位置，即體現(xiàn)了包含關(guān)系又有分類思想，突破第二個難點。（圖7）圖7圖8分類思想在“圖形的認識”課堂教學(xué)中運用十分廣泛，而借助集合圈的方法將抽象的分類結(jié)果具象化，幫助學(xué)生梳理知識點，建構(gòu)知識體系效果顯著。如在“四邊形”的圖形認識中，學(xué)生可以結(jié)合二年級和五年級所學(xué)知識，借助集合圈形成知識網(wǎng)絡(luò)。（圖8）又如“角”可以分成銳角、直角、鈍角、平角、周角。立體圖形長方體與正方體之間的關(guān)系等等。分類思想不僅是幾何教學(xué)的核心，在整個小學(xué)階段都有很重要的地位，如“物體的分類”、“數(shù)的分類”、“統(tǒng)計的分類”等，學(xué)生在循序漸進中養(yǎng)成分類思想，培養(yǎng)分類意識。對于分類的結(jié)果，本文介紹了用集合圈來表示抽象的分類結(jié)果。但在實際操作中，很多人喜歡用樹狀圖或表格。我覺得這需要根據(jù)分類對象的特點進行選擇，例如樹狀圖有利于表述“并列”關(guān)系的知識，表格有利于“性質(zhì)”的對比，而集合圈有利于“包含”關(guān)系的知識。無論是哪種形式的表達，都是學(xué)生分類意識的體現(xiàn)。到小學(xué)中高年級，很多新舊知識交替出現(xiàn)