勾股定理典型例題歸類總結(jié)

勾股定理典型例題歸類總結(jié)作者:

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.已知Rt^ABC的周長為2十&,其中斜邊AS=一座建筑物發(fā)生了火災，消防車到達現(xiàn)場后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端 5一座建筑物發(fā)生了火災，消防車到達現(xiàn)場后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端 5米，消防車的云梯笈大升長為13米，則云梯可以達該建筑物的最大高度是（） B1一'CA、12米B、13米 C、14米D、15米 圖33.如圖，有兩顆樹，一顆高1。米，另一顆高4米，兩樹相距8米.一只鳥從一顆樹的樹梢飛到另一顆樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）.如果把勾股定理的邊的平方理解為正方形的面積，那么從面積的角度來說 ，勾股定理可以推廣.（1）如圖，以Rt△ABC的三邊長為邊作三個等邊三角形， 則這三個等邊三角形的面積&、S2、S3之間有何關系？并說明理由。（2）如圖，以Rt^ABC的三邊長為直徑作三個半圓，則這三個半圓的面積 Si、S2、S3之間有何關系？（3）如果將上圖中的斜邊上的半圓沿斜邊翻折1 80。，請?zhí)接憙蓚€陰影部分的面積之和與直角三角形的面積之間的關系，并說明理由。（此陰影部分在數(shù)學史上稱為“希波克拉底月牙”）題型二：利用勾股定理測量長度例題型二：利用勾股定理測量長度例1.如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長的梯子可以到達建筑物的高度是多少米E3□.弓1E3□.弓1C日勺長是成5米，把冉葦拉跟蹤練習：1.如圖（8）,水池中離岸邊D點1.5米的C處，直亦到岸邊，它的頂端B恰好落到D點，并求水池的深度AC.

A、8米B、10米C、12米D、14米題型三：勾股定理和逆定理并用 一一1例3.如圖3，正萬形ABCD中，E是BC邊上的中點，F(xiàn)是AB上一點，且FB_AB那么△DEF是直角三4角形嗎？為什么？注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習題。跟蹤練習：1.如圖，正方形ABCD中，E為BC邊的中點，F(xiàn)點CD邊上一點，且DF=3CF,求證：/AEF=9E；三？題型四：利用觸定理求線段長度一一例1.如圖4,已知長方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點E,將^ADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F,求CE的長.跟蹤練習：.如圖，將一個有45度角的三角板頂點C放在一弓^寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個頂點 B在紙帶的另邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成 30。角，求三角板的最大邊AB的長.AC.如圖布△ABC中，AB=BC,ZABC=90°,D為AC的中點，DE^DF,交AB于E,交BC于F,(1)求證:BE=CF;(2)若AE=3,CF=1,求EF的長..如圖，CA=CB,CD=CE,/ACB=/ECD=90°,D為AB邊上的一點.若AD=1,BD=3,求CD的題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直 ——例1.有一個傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動打開，一個身高1.5米的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好打開 ？跟蹤練習1.如圖，每個小正方形的邊長都是1,1.如圖，每個小正方形的邊長都是1,AABC的三個頂點分別在正方形網(wǎng)格的格點上，試判斷^ABC的形狀,并說明理由.(1)求證：/ABD=90°；(2)求四川江)的值2.下列各組數(shù)中，以它們邊的三角形不是直角三角形的是(A、2.下列各組數(shù)中，以它們邊的三角形不是直角三角形的是(A、9,12,15B、7,24,25)111d、，彳,M3.在△ABC中，下列說法①/B=ZC-ZA;②>=伯+勸他一?：；③/A:/B:/C=3:4:5;④a:b:c=5:4:3;⑤6由工C2=1:2:3,其中能判斷△ABC為直角三角形的條件有（A、2個A、2個B、3個C、4個D、5個.在AABC中，.在AABC中，/A、/B、/C的對邊分別是a、 b、哪一個是直角？c.判斷下列三角形是否為直角三角形 ？并判斷(1)a=26,b=10,c=24;(2)a=5,b=7,c=9;(3)a=2〃=V3(?=\"A、2個B、3個 C、4個D、5個.已知△ABC的三邊長為a、b、c,且滿足■一5產(chǎn)+一+/二F-。,則此時三角形定是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、銳角三角形.在△ABC中，若2a=n1,b=2n,A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、銳角三角形.在△ABC中，若2a=n1,b=2n,2c=n1,^AABC>()A、銳角三角形B、鈍角三角形D、直角三角形.如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC是（A、直角三角形B、銳角三角形C、等腰三角形C、鈍角三角形D、銳角三角形或鈍角三角形.已知在^ABC中,/A、/B、/C的對邊分別是a、b、c,下列說法中，錯誤的是（ ）B、如果/C=90°,那么A、B、如果/C=90°,那么D、如果/A=30°,那么AC=2BCC、如果D、如果/A=30°,那么AC=2BC.已知△ABC的三邊分別為a,b,c,且a+b=3,ab=1j'=V7,求/十#的值，試判斷^ABC的形狀，并說明理由.觀察下列各式：譽4乎=5?卡+6*=1沖！/+曾=1千？乎$10"=?樣……，根據(jù)其中規(guī)律，寫出下一個式子為 —三角形..已知，m>n,m、n為正整數(shù)，以—；M,2mn,^^十兄^三角形.12.一個直角三角形的三邊分別為n+ 1,n-1,8,其中n+1是最大邊，當n為多少時，三角形為直角三角形?題型六：旋轉(zhuǎn)問題：例題6.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，PA=2,PB=2j3,PC=4,求^ABC的邊長.MEME跟蹤練習1.如圖,AABC為等腰直角三角形，/BAC=90°,E、F是BC上的點，且/EAF=45。，試探究題型七：關于翻折問題例題7.如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm,BC=6cm,E為BC上一點，將矩形紙片沿 AE折疊，點B恰好落在CD邊上的點G處，求BE的長.跟蹤練習.如圖，AD是^ABC的中線，/ADC=45°,把△ADC沿直線AD翻折，點C落在點C'的位置，BC=4,求BC'的長.（一）折疊直角三角形1.如圖，在^ABC中，/A=90°,點D為AB上一點，沿CD折疊△ABC，點A恰好落在BC邊上的A處,AB=4,AC=3，求BD的長。.如圖，Rt^ABC中，/B=90°,AB=3,AC=5.將^ABC折疊使C與A重合，折痕為DE,求BE的長.

（二）折疊長方形.如圖，長方形ABCD中,AB=4,BC=5,F為CD上一點，將長方形沿折痕AF折疊，點D恰好落在BC上的點E處，求CF的長。.如圖，長方形ABCD中，AD=8cm,AB=4cm,沿EF折疊，使點D與點B重合，點C與C，重合.（1）求DE的長；（2）求折痕EF的長..（2013福德）如圖,將長方形紙片ABCD折疊，使邊CD落在對角線AC上,折痕為CE,且D點落在對角線D'處.若AB=3,AD=4,則ED的長為（ ）.如圖，長方形ABCD中,AB=6,AD=8,沿BD折疊使A到A'處DA交BC于F點.（1）求證：FB=FE（2）求證:CA'//BD⑶求△DBF的面積7.如圖，正方形ABCD中，點E在邊CD上，將^ADE沿AE對折至△AFE,延長EF交邊BC于點G,DEG為BC的中點，連結(jié)AG、CF.(1)求證：AG//CF;(2)求的值.題型八：關于勾股定理在實際中的應用題型八：關于勾股定理在實際中的應用例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點處交匯，點A處有一所中學，AP=160米，點A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機行駛時，周圍 100米以內(nèi)會受到噪音影響，那么拖拉機在公路 MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機的速度是18千米/小時，那么學校受到影響的時間為多少？例2.一輛裝滿貨物高為1.8米，寬1.5米的卡車要通過一個直徑為 5米的半圓形雙向行駛隧道，它能順利通過嗎？跟蹤練習：.某市氣象臺測得一熱帶風暴中心從 A城正西方向300km處，以每小時26km的速度向北偏東60°方向移動，距風暴中心200km的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域。試問A城是否受這次風暴的影響？如果受影響 ，請求出

遭受風暴影響的時間；如果沒有受影響 ，請說明理由。北%ora.一輛裝滿貨物的卡車，其外形高 2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如下圖的某工廠 ，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門？.有一個邊長為50dm的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住這個洞口，圓的直徑至少多長 ？（結(jié)果保留整數(shù)）.如圖，鐵路上A,B兩點相距25km,C,D為兩村莊，DA，AB于A,CBLAB于B,已知DA=15km,CB=10km,現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E,使得C,D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A立^多少km處？題型九：關于最短性問題例1、如右圖1-19,壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線， 而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進行突然襲擊.結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐.請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲 ？（兀取3.14,結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計算器計算）

例2.跟蹤練習：1.如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為 9個小正方形，其邊長都是1cm,假設一只螞蟻每秒爬行2cm,則它從下地面A點沿表面爬行至右側(cè)面的 B點，最少要花幾秒鐘？/ A.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm,3cm和1cm,A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.請你想一想，這只螞蟻從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？.一個長方體盒子的長、寬、高分別為 8cm,6cm,12cm,一只螞蟻想從盒底的A點爬到盒頂?shù)腂點，你能幫螞蟻設計一條最短的線路嗎 ？螞蟻要爬行的最短路程是多少？.如圖將一根13.5厘米長的細木棒放入長、 寬、高分別為4厘米、3厘米和12厘米的長方體無蓋盒子中,能全部放進去嗎？題型十：勾股定理與特殊角

（一）直接運用30°或45°的直角三角形.如圖，在AABC中，ZC=90°,ZB=30°,AD是△ABC的角平分線，若AC=2^3,求AD的長。.如圖，在△ABC中，/ACB=90°,AD是△ABC的角平分線，CDLAB于D,/A=30；CD=2,求AB的長。A DB.如圖，在△ABC中，AD，BC于D,ZB=60：,Z,C= 45,AC=2,求BD的長。（二）作垂線構(gòu)造30：或45’的直角三角形（1）將105°轉(zhuǎn)化為45°和60°.如圖，在△ABC中，ZB=45°,ZA=105°,AC=2,求BC的長。.如圖，在四邊形ABCD中,/A=/C=45\/ADB=/ABC=105°,⑴若AD=2,求AB的長；⑵若AB+CD=2百+2,求AB的長。AB（2）將75°轉(zhuǎn)化為30°和AB（2）將75°轉(zhuǎn)化為30°和453.如圖,在AABC中，/B=45"BAC=75°,AB=V6，求BC的長。CAB交CB于D,CD=3,BD=5,求AD的長。（一）直接用勾股定理列方程1.如圖布△ABC中，/C=90°,AD平分/2.如圖，在（一）直接用勾股定理列方程1.如圖布△ABC中，/C=90°,AD平分/2.如圖，在AABC中，AD±BC于D,且/C（二）巧用“連環(huán)勾”列方程1.如圖，在^ABC中，AB=5,BC=7,AC=4v2，求SABC

2.如圖，在AABC中，/ACB=90°,CD)±AB于D,AC=3,BC=4,求AD的長。.如圖，△ABC中，/ACB=90°,CD±AB于D,AD=1,BD=4，求AC的長.如圖，△ABC中，/ACB=90°,CD，AB于D,CD=3,BD=4,求AD的長題型十二：勾股定理與分類討論（一）銳角與鈍角不明時需分類討論 『.在^ABC中，AB=AC=5,$△工E「三，刀，求BC的長.在^ABC中，AB=15,AC=13,AD為△ABC的高，且AD=12,求^ABC的面積。（二）腰和底不明時需分類討論.如圖1,4ABC中,/ACB=90°,AC=6,BC=8,點D為射線AC上一點，且^ABD是等腰三角形，求△ABD的周長.（三）直角邊和斜邊不明時需分類討論.已知直角三角形兩邊分別為 2和3,則第三邊的長為.在△ABC中,/ACB=90°,AC=4,BC=2,以AB為邊向外作等腰直角三角形 ABD，求CD的長.如圖，D（2,1）,以OD為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在 x軸上，這樣的等腰三角形能畫多少個寫出落在x軸上的頂點坐標.題型十三：n =依，.或通心問題的證明

1.如圖1,^ABC中,CA=CB,/ACB=90°,D為AB的中點，M、N分別為AC、BC上一點，且DM±DN.(1)求證：CM+CN=\-2bDCM、CN、BD之間的數(shù)量關系式。(2)如圖2,若M、NCM、CN、BD之間的數(shù)量關系式。2.已知/2.已知/BCD=aZBAD=3,CB=CD.(1)如圖1,若a=390°,求證：AB+AD=/2AC;(2)如圖2,若a=3=90若a=3=90；求證：AB-AD=J2AC;(3)如圖3,若a=120°,3(=6,求證：AB=AD=d：；AC;(4)如圖3,若a=3=120求證：AB-AD=^，：JfAC;題型十四停=寸勺b問題的證明1.如圖，OA=OB,OC=OD,/AOB=/COD=90°,M、N分別為AC、BD的中點，連MN、ON.求證：MN=.ON.2.已知^ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D為BC的中點，AE=CF,連DE、EF.(1)如圖1,若E、F分別在AB、AC上，求證：EF=l2DE;(2)如圖2,若E、F分別在BA、AC的延長線上，則(1)中的結(jié)論是否仍成立？請說明理由.國1 F523.如圖，△ABD中，。為AB的中點，C為DO延長線上一點，/ACO=135,/ODB=45探究OD、OC、AC之間相等的數(shù)量關系.4.如圖4ABD是等腰直角△，/BAD=90,BC//AD,BC=2AB,CE平分/BCD,交AB于巳交BD于H.求(1)DC=\'?DA;(2)BE=V^DH題型十五：勾股定理（逆定理）與網(wǎng)格畫圖.如圖，每個小正方形的邊長為1, A、B、C是小正方形的頂點，則/ABC的度數(shù)為

.如圖，每個小正方形的邊長都是 1,在圖中畫一個三角形，使它的三邊長分別是 3,2/2,而,且三角形的三個頂點都在格點上.如圖，每個小正方形的邊長都是1 ，在圖中畫一個邊長為的正方形，且正方形的四個頂點在格點上.在圖中以格點為頂點畫一個等腰三角形 ，使其內(nèi)部已標注的格點只有 3個..如圖，在4個均勻由16個小正方形組成的網(wǎng)格正方形中，各有一個格點三角形 ，那么這4個三角形中，與眾不同白是中的三角形，圖4中最長邊上的高為.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都為 1,每個小正方形的頂點叫格點，以格點為頂點分別按下列要(1)畫一條線段MN,使MN=/13；(2)畫△ABC,三邊長分別為3,\/17,癡。.如圖，在5X5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,線段AB的端點在格點

國2(1)圖1中以AB為腰的等腰三角形有——個，畫出其中的一個，并直接寫出其底邊長 .(2)圖2中，以AB為底邊的等腰三角形有_個，畫出其中的一個，并直接寫出其底邊上的高.題型十六：利用勾股定理逆定理證垂直.如圖，在4ABC中，點D為BC邊上一點，且AB=10,BD=6,AD=8,AC=7,其求CD的長..如圖，在四邊形ABCD中,/B=90°,AB=2,BC=V,cD=5,AD=4,求.如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，AB=5,AC=13,