例談數(shù)列中常見(jiàn)易錯(cuò)易混易忘知識(shí)點(diǎn) 數(shù)列易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)

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“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”一向以來(lái)成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)勞績(jī)提高的重要因素，如何解決這個(gè)問(wèn)題對(duì)抉擇學(xué)生的高考成敗起著至關(guān)重要的作用。本文結(jié)合幾個(gè)概括例子談一下數(shù)列中常見(jiàn)易錯(cuò)、易混、易忘的學(xué)識(shí)點(diǎn)，這些學(xué)識(shí)點(diǎn)也是高考中的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，通過(guò)對(duì)幾個(gè)例題舉行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓我們明確這樣的問(wèn)題在高考中切實(shí)存在，另一方面通過(guò)作針對(duì)性練習(xí)扶助我們識(shí)破命題者用心設(shè)計(jì)的陷阱，以達(dá)成授人以漁的目的.

利用求通項(xiàng)時(shí)忽略條件致誤

例1若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，那么是等差數(shù)列嗎？假設(shè)是，求出通項(xiàng)公式；假設(shè)不是，說(shuō)明理由．

此題在應(yīng)用與的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為對(duì)于任意值都成立，疏忽了對(duì)的處境的驗(yàn)證。易得出數(shù)列為等差數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論。

此題應(yīng)明確的成立條件是，而數(shù)列的通項(xiàng)公式中的應(yīng)當(dāng)包含第一項(xiàng)，所以時(shí)是否得志所求通項(xiàng)應(yīng)舉行驗(yàn)證．

故由等差數(shù)列的概念知，數(shù)列不是等差數(shù)列．

（全國(guó)理）已知數(shù)列得志：那么數(shù)列的通項(xiàng)為.

答案：（將條件右端視為數(shù)列的前項(xiàng)和利用公式法解答即可）

利用函數(shù)學(xué)識(shí)求數(shù)列的最大項(xiàng)及前項(xiàng)和最大值時(shí)易疏忽其定義域是正整數(shù)集或其子集（從1開(kāi)頭）

求數(shù)列中的最大項(xiàng)．

該數(shù)列的第項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于的二次函數(shù)的最大值，但易忘卻此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件。

此題應(yīng)明確數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)應(yīng)為正整數(shù)的條件．

解析：由已知，得．

由于，故當(dāng)取距離最近的正整數(shù)7時(shí)，取得最大值105．

數(shù)列中的最大項(xiàng)為．

數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式都可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集（從1開(kāi)頭）上的函數(shù)，因此在解題過(guò)程中要樹(shù)立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)學(xué)識(shí)解決問(wèn)題。更加的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是關(guān)于的二次函數(shù)且沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，反之得志形如所對(duì)應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前項(xiàng)和。

（全國(guó)高考題）設(shè)是等差數(shù)列，是前項(xiàng)和，且，，那么以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A、B、C、D、和均為的最大值。

答案：C（提示利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答）

解答數(shù)列問(wèn)題時(shí)沒(méi)有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過(guò)程繁瑣.

例3、已知關(guān)于的方程和的四個(gè)根組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求的值。

留神到兩方程的兩根之和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項(xiàng)是如何排列的。

解析：不妨設(shè)是方程的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程的另一根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng)，而方程的兩根是等差數(shù)列的中間兩項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列學(xué)識(shí)易知此等差數(shù)列為故，從而.

等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列學(xué)識(shí)的一個(gè)重要方面，求解這類問(wèn)題時(shí)充分運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果.

方程的四個(gè)實(shí)數(shù)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等比數(shù)列，那么=

答案：.（提示應(yīng)用兩根之積相等這一條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)明確等比數(shù)列中項(xiàng)的排列依次。）

.不能根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)探索相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方法時(shí)對(duì)裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)。

例4、求…．

此題解答時(shí)一方面若不從通項(xiàng)入手分析各項(xiàng)的特點(diǎn)就很難找到解題突破口，其次在裂項(xiàng)抵消中間項(xiàng)的過(guò)程中，對(duì)消去哪些項(xiàng)剩余哪些項(xiàng)規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤。

解析：由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得，

“裂項(xiàng)法”有兩個(gè)特點(diǎn)，一是每個(gè)分式的分子一致；二是每項(xiàng)的分母都是兩個(gè)數(shù)（也可三個(gè)或更多）相乘，且這兩個(gè)數(shù)的第一個(gè)數(shù)是前一項(xiàng)的其次個(gè)數(shù)，假設(shè)具備這些特點(diǎn)，就運(yùn)