橢圓型偏微分方程

橢圓型偏微分方程1第一頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日§1調(diào)和函數(shù)

【知識(shí)點(diǎn)提示】Green公式，基本解，調(diào)和函數(shù)，調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)?！局?、難點(diǎn)提示】利用Green公式導(dǎo)出基本積分公式，進(jìn)而研究調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)?！窘虒W(xué)目的】掌握調(diào)和函數(shù)的定義和性質(zhì)。2第二頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日1.1.Green公式散度定理：

設(shè)是維空間中以足夠光滑的曲面所圍成的有界連通區(qū)域,是曲面的外單位法向.若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù),在內(nèi)有一階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則(1.1)其中表示曲面的外單位法向

與軸的方向余弦,是上的面積元素.3第三頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日Green公式的推導(dǎo)：

設(shè)函數(shù)和在內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù).在公式(1.1)中令得到(1.2)(1.2)可改寫成為(1.3)4第四頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日若將(1.3)中的和互相對(duì)換,又得(1.4)我們把(1.3)與(1.4)都稱作第一Green公式.

若將(1.3)與(1.4)相減,則得(1.5)我們把(1.5)稱為第二Green公式.

1.2.調(diào)和函數(shù)與基本解

定義6.1對(duì)于函數(shù),如果它在維空間的有界區(qū)域內(nèi)有直到二階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且在內(nèi)滿足Laplace方程：5第五頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日(1.6)則稱在區(qū)域內(nèi)是調(diào)和函數(shù).

如果,則稱在區(qū)域內(nèi)是下調(diào)和(上調(diào)和)函數(shù).

如果是無(wú)界區(qū)域,則除上面的要求外,還應(yīng)要求當(dāng)點(diǎn)趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí),函數(shù)一致趨于零.即對(duì)于任意小的正數(shù),存在正數(shù),使當(dāng)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離時(shí),總有按照這個(gè)定義,有時(shí)我們把Laplace方程(1.6)也稱作調(diào)和方程.

調(diào)和方程的基本解

我們僅考慮三維空間和二維空間的情形.6第六頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日首先我們考慮三維的情形.用表示三維空間中的點(diǎn)改寫三維空間的調(diào)和方程為球坐標(biāo)形式.設(shè)球坐標(biāo)變換為則(1.6)(取)可化為(1.7)由(1.7)可以看出,方程(1.6)的球?qū)ΨQ解是滿足以為自變量的常微分方程7第七頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日其通解可寫為這里是任意常數(shù).所以函數(shù),是一個(gè)球?qū)ΨQ特解,從而推得在任一不包含點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)是調(diào)和的,它在點(diǎn)處有奇性.稱函數(shù)為三維Laplace方程(1.6)的基本解

8第八頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日

注

基本解在時(shí)關(guān)于或都是調(diào)和且無(wú)窮次可微.函數(shù)其次,考慮二維Laplace方程在極坐標(biāo)變換下它可化為(1.8)二維Laplace方程的基本解

定理6.1設(shè)函數(shù)在有界區(qū)域內(nèi)二階連續(xù)可微,在上連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則當(dāng)點(diǎn)時(shí),有9第九頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日(1.9)其中是邊界曲面的外單位法向,是曲面上的面積單元,是體積單元.證以為中心為半徑作球使表示該球的球面,于是在區(qū)域上,函數(shù)和都滿足第二Green公式的條件,代入公式(1.5)得(1.10)因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)是調(diào)和函數(shù),所以有.另外邊界上任一點(diǎn)的外法線方向?qū)嶋H上是從該點(diǎn)沿著半徑指向球心的方向,所以在上有10第十頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日從而得到在上的積分為其中和分別是函數(shù)和

在球面上的平均值.于是(1.10)可寫成因?yàn)榧霸谏线B續(xù)，所以關(guān)于一致有界,且當(dāng)時(shí),有,11第十一頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日于是由上式即得定理證畢.今后,我們將公式(1.9)稱為三維空間中的基本積分公式.

定理6.2

設(shè)函數(shù)在有界區(qū)域內(nèi)二階連續(xù)可微，在上連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)點(diǎn)時(shí)有(1.11)其中表示上的線元素,是上的面積元素.1.3.調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)

性質(zhì)6.1設(shè)是有界區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù),且在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則12第十二頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日(1.12)

證利用第二Green公式,在(1.5)中取,取為所給的調(diào)和函數(shù),由此性質(zhì)可得出,Laplace方程的第二邊就可得到(1.12).值問(wèn)題有解的必要條件是函數(shù)滿足性質(zhì)6.2

設(shè)是有界區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù),且在閉區(qū)域上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則在內(nèi)的任一點(diǎn)處有13第十三頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日(1.13)

證

利用基本積分公式(1.9)即得.類似地,對(duì)于二維空間的情形,我們可以利用(1.11)得到(1.14)其中是平面上有界區(qū)域的邊界.性質(zhì)6.3(平均值定理)設(shè)是區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù),是內(nèi)的任一點(diǎn)以,為心為半徑作球只要球連同其邊界包含在內(nèi),則有公式(1.15)14第十四頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日

證將公式(1.13)應(yīng)用于球面上,得到這里,故由性質(zhì)6.1知上式右端第一項(xiàng)的積分值為零,在球面上的外法線方向與半徑的方向一致,于是又因?yàn)樗杂形覀儼颜{(diào)和函數(shù)的這一性質(zhì)稱為平均值定理,公式(1.15)15第十五頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日稱為平均值公式,即調(diào)和函數(shù)在球心處的值等于它在球面上的平均值.

注1對(duì)區(qū)域內(nèi)的下調(diào)和(上調(diào)和)函數(shù),我們有(1.17)性質(zhì)6.4(強(qiáng)極值原理)

假設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)在有界區(qū)域,內(nèi)調(diào)和且在上連續(xù),則它在上的最大值和最小值只能在的邊界上達(dá)到.

證

用反證法.假設(shè)調(diào)和函數(shù)在上的最大值不在上達(dá)到,那么它必在內(nèi)的某一點(diǎn)達(dá)到,記當(dāng)然也是在上的最大值.16第十六頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日以為心為半徑作球使完全包含于內(nèi),記的球面為,可以證明,在上有事實(shí)上,若函數(shù)在上某一點(diǎn)的值小于,則由連續(xù)性知,上必可找到此在球面點(diǎn)的一個(gè)充分小的鄰域,在此鄰域內(nèi)有,于是在上成立不等式但由平均值公式(1.15),有這就發(fā)生了矛盾.所以在球面上,必須有17第十七頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日同理可證,在任一以為心,為半徑的球面上,也有.因此,在整個(gè)球上,有下面證明對(duì)內(nèi)的所有點(diǎn),都有.為此在內(nèi)任取一點(diǎn),由于是區(qū)域,所以可用完全位于內(nèi)的折線將點(diǎn)和連結(jié)起來(lái),設(shè)與邊界的最短距離為,于是函數(shù)在以為心為半徑的球上,恒等于,若與球的球面

相交于點(diǎn),顯然,在以為心為半徑的球上,有照此作下去,可用有限個(gè)球.將折線完全覆蓋,而且18第十八頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日使,因?yàn)樵诿總€(gè)球上都有,所以由點(diǎn)的任意性,就可得到在整個(gè)區(qū)域上,有這和函數(shù)在上不恒等于常數(shù)的假設(shè)相矛盾.因此不能在的內(nèi)部取得它的最大值.對(duì)于最小值的情形,由的最小值就是的最大值,而也是調(diào)和函數(shù),從而推得函數(shù)也不能在的內(nèi)部取得它的最小值.定理證畢.推論6.1(調(diào)和函數(shù)的比較原理)

設(shè)和都是有界區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù),且在的邊界上連續(xù),如果在上有不等式19第十九頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日,