專題09二次函數(shù)中動點引起的最短路徑及圖形存在性問題(解析版)

P是/AOB內(nèi)一點,P是/AOB內(nèi)一點,2.垂線段最短;專題09二次函數(shù)中動點引起的最短路徑及圖形存在性問題最短路徑思路點撥:1.兩點之間，線段最短;(1)單動點模型作圖方法：作已知點關(guān)于動點所在直線的對稱點，連接成線段與動點所在直線的交點即為所求點的位置.如下圖所示，P是x軸上一動點，求PA+PB的最小值的作圖.M、N分別是邊OA、OB上動點，求作△PMN周長最小值.作圖方法：作已知點P關(guān)于動點所在直線OA、OB的對稱點P'、P','連接P'P'與動點所在直線的交作圖方法：作已知點點M、N即為所求.PAPBPAPB3.若A、B是平面直角坐標系內(nèi)兩定點， P是某直線上一動點，當P、A、B在一條直線上時,最大，最大值為線段AB的長(如下圖所示)；

P'P'「 I ■O x?面積存在性問題利用三角形面積計算方法(鉛垂高水平寬法或底乘高法或割補法等)列出方程求解?平行四邊形存在性問題圖形條件結(jié)論匕iDXABCD為平行四邊形A(xa,yA)、B(xb,yB)、C(xc,yc)、D(xd,yD)xa+xc=xb+xdyA+yc=yB+yDifC題型一、單動點周長最短及面積存在性問題(2019?四川涼山州中考)如圖，拋物線 y=ax2+bx+c的圖象過點A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3).(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點 P,使得APAC的周長最小，若存在，請求出點P的坐標及APAC的周長；若不存在，請說明理由；(3)在(2)的條件下，在x軸上方的拋物線上是否存在點 M(不與C點重合)，使得Szpam=S/ipac?若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】見解析.TOC\o"1-5"\h\z【解析】解：(1)二.拋物線y=ax，bx+c的圖象過點A(-1, 0)、B (3, 0)、C (0, 3),abc0 a1c3 ,解得：b29a3bc0 c3?.拋物線解析式為y=-x2+2x+3.(2)如圖，連接PB、BC???點P在拋物線對稱軸直線x=1上，點A、B關(guān)于對稱軸對稱，PA=PB,CzPAc=AC+PC+FA=AC+PC+PB???當C、P、B在同一直線上時，PC+PB=CB最小，由勾股定理得：AC=M,BC=372,Czpac的最小值為：1AC+3右,設(shè)直線BC解析式為y=kx+3把點B代入得：3k+3=0,解得：k=-1直線BC的解析式為：y=-x+3,-yp=-1+3=2??點P(1,2)使APAC的周長最小，最小值為祈0+372.(3)存在滿足條件的點M,使得S>ap\m=Sapac.,Sap\m=Safac??點C和點M到直線PA距離相等CM//FA,,.A(-1,0),P(1,2),可得直線AP的解析式為：y=x+1,

，可得過點M與直線AP平行的直線解析式為：y=x+3或y=x—1,（即點x1C),（即點x1C),聯(lián)立 2yx2x點M坐標為（1,4),y或聯(lián)立yx1x22x1 17點M坐標為（1,4),y或聯(lián)立yx1x22x1 1721 172（在x軸下方，舍去），1 17F,1712綜上所述，點M的坐標為：（1,4)或1 1722.（2019四川達州中考）如圖,拋物線y=-x2+2x+m+1（m為常數(shù)）交y軸于點A,與x軸的一個交點在2和3之間，頂點為B.①拋物線y=-x2+2x+m+1與直線y=m+2有且只有一個交點;②若點M(-2,yi)、「 1 、」點N一,y2、點p2（2,y3）在該函數(shù)圖象上，則yi<y2Vy3；③將該拋物線向左平移2個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線解析式為 y=-（x+1）2+m；④點A關(guān)于直線x=1的對稱點為C,點D、E分別在x軸和y軸上，當m=1時，四邊形BCDE周長其中正確判斷的序號是【答案】①③④.【解析】解：①把y=m+2代入y=-x2+2x+m+1中，得x2-2x+1=0,=△=4—4=0,此方程兩個相等的實數(shù)根，則拋物線y=-x2+2x+m+1與直線y=m+2有且只有一個交點，所以①正確;②;拋物線的對稱軸為x=1,

??點P(2,y3)關(guān)于x=1的對稱點為P'(0,y3),a=—1<0,??當x<1時，y隨x增大而減小，2<0<1,點M(-2,yi)、點N(-,y2)、點P'(0,V3)在該函數(shù)圖象上,2 2y2<y3<yi,所以②錯誤；③將該拋物線向左平移2個單位，再向下平移2個單位，拋物線的解析式為:y=-(x+2)2+2(x+2)x+m+1—2,即y=—(x+1)2+m,所以③正確;④當m=1時，拋物線的解析式為：y=-x2+2x+2,??.A(0,2),C(2,2),B(1,3),作點B關(guān)于y軸的對稱點B'(-1,3),作C點關(guān)于x軸的對稱D、E點，如圖,點C'(2,-2),連接B'C',與xD、E點，如圖,CJCJ則BE+ED+CD+BC=B'E+ED+C'D+BC=BCBC,根據(jù)兩點之間線段最短，知 BC最短，而BC的長度一定,，此時，四邊形BCDE周長=B'C'BC最小，為：JB'M2—C'M2JbM2—CM2^34所以④正確；故答案為：①③④.(2019山東濰坊中考)如圖，直線y=x+1與拋物線y=x2-4x+5交于A,B兩點，點P是y軸上的一個動點，當年B的周長最小時，S/1PAB=.

【解析】解：聯(lián)立yx12yx4x5-x1,x4解得，或，y2y5【解析】解：聯(lián)立yx12yx4x5-x1,x4解得，或，y2y5.??點A的坐標為（1,2）,點B的坐標為（4,5）,?.AB=3s/2,作點A關(guān)于y軸的對稱點A',連接AB與y軸的交于P,則此時APAB的周長最小,點A的坐標為（-1,2）,點B的坐標為（4,5）,設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b,4kb35135直線AB的函數(shù)解析式為y=35135一，13當x=0時，y=一,513即點P的坐標為（0,—）

將x=0代入直線y=x+1中，得y=1,??.直線y=x+1與y軸的夾角是45°,點P到直線AB的距離是：(13-1)Xsin45°=4^2,

5 5??.△PAB的面積是：-372空2=12,2 5 5故答案為：12.5題型二、利用特殊角將線段轉(zhuǎn)化求解最短路徑4.(2019天津中考)已知拋物線4.(2019天津中考)已知拋物線yx2bxc(b、c為常數(shù)，b>0)經(jīng)過點A(—1,0),點M(m,0)是x軸正半軸上的動點.(1)當b=2時，求拋物線的頂點坐標；(2)點D(b,yD)在拋物線上，當AM=AD,m=5時，求b的值;(3)點- 1 Q(b—,yQ)在拋物線上,2(3)點- 1 Q(b—,yQ)在拋物線上,24【答案】見解析.【解析】解：2(1)「yxbxc經(jīng)過點A(-1,0),1+b+c=0,即yx2bxb1b=2,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2 .\o"CurrentDocument"yx2x3=x1 4即拋物線頂點坐標為(1,—4).⑵???點D(b,yD)在拋物線yx2bxb1上,??yD=-b—1,由b>0,知一b-1<0, b???點D在第四象限，且在對稱軸x=-的右側(cè)，2過D作DE^x軸于E,E(b,0),，AE=b+1,BE=b+1,即AE=BE,ADE=/DAE=45°,?.AD二衣AE,由AM=AD,m=5,得：5-(-1)=72(b+1),解得：b=3\2—1.(3)二.點Qb(3)二.點QbyQ 2r- 1即Qb,2(b—,yQ)在拋物線yxbxc上,234，b3一一，24???b>0, Q點在第四象限,2AM2QM2 2AMQM2所以只要構(gòu)造出—AMQM即可得到J2AM2QM的最小值2取N(1,0),連接AN,過M作MG±AN于G,連接QM,如圖所示，AAGM為等腰直角三角形,GMm/aM,即當G、M、Q三點共線時，GM+MQ取最小值，即J2AM2QM取最小值,此時4MQH為等腰直角三角形, bQM=2QH=、2-3,GM=^AM=^m bQM=2QH=、2-3,GM=^AM=^m???2AM2QM2 2AMQM=2 222???QH=MH,??聯(lián)立①②得:b27m=—43,1 …b—=b—m,解得：m=—4 2 2,b=4.即當..2AM2QM的最小值為絲二時，b=4.4題型三、最短路徑與平行四邊形存在性問題5.(2019湖北荊州中考)如圖，在平面直角坐標系中,5.(2019湖北荊州中考)如圖，在平面直角坐標系中,平行四邊形OABC的頂點A,C的坐標分別為(6,0),(4,3),經(jīng)過B,C兩點的拋物線與 x軸的一個交點D的坐標為(1,0).(1)求該拋物線的解析式;(2)若/AOC的平分線交BC于點E,交拋物線的對稱軸于點F,點P是x軸上一動點，當PE+PF的值最小時，求點P的坐標;⑶在(2)的條件下，過點A作OE的垂線交BC于點H,點M,N分別為拋物線及其對稱軸上的動點,是否存在這樣的點M,N,使得以點M,N,H,E為頂點的四邊形為平行邊形？若存在，直接寫出點坐標，若不存在，說明理由875a875a【答案】見解析.【解析】解：(1)二.平行四邊形OABC中，A(6,0),C(4,3)bc=oa=6,BC//x軸

??.xb=xc+6=10,yB=yc=3,即B(10,3)設(shè)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點B、C、D(1,0)1491314913916a4bc3,解得:abc0.??拋物線解析式為y=1x2+14x13.9 9 9(2)如圖，作點E關(guān)于x軸的對稱點E',連接E'F交x軸于點P,(2)如圖，作點C(4,3)由勾股定理得：OC=5,???BC//OAOEC=ZAOEOE平分/AOCAOE=ZCOEOEC=ZCOE,-.CE=OC=5??Xe=xc+5=9,即E(9,3)「?直線OE解析式為y=-x3,?,直線OE交拋物線對稱軸于點F,對稱軸為直線：x=7,??F(7,7)3???點E與點E'關(guān)于x軸對稱，點P在x軸上E'(9,—3),PE=PE'

，當點F、P、E'在同一直線上時， PE+PF=PE'+PF=FE'最小設(shè)直線E'F解析式為y=mx+n,，直線E'F:8?y=-x+213832198當一x+21=3。時，解得:63x=8???當PE+PF的值最小時，點，直線E'F:8?y=-x+213832198當一x+21=3。時，解得:63x=8???當PE+PF的值最小時，點N,使得以點M,N,H,E為頂點的四邊形為平行四邊形.(3)存在滿足條件的點 M,AGO=90°AG2+OG2=OA2(6-t)2+(-t)2+t2+(-t)3 32=62，解得：tl=0(舍去),t2=27設(shè)直線AG解析式為y=dx+e可得：直線AG:y=-3x+18,當y=3時，-3x+18=3,解得:x=5H(5,3),E(9,3)設(shè)M(x,v),N(7,s),①當四邊形HEMN為平行四邊形時,

有：5+x=9+7,… 20解得：x=11,y=一；9②當四邊形HENM為平行四邊形時,有：5+7=9+x,20解得：x=3,y=——；9③當四邊形HNEM為平行四邊形時,有：5+9=x+7,解得：x=7,y=4,20 20綜上所述，點M的坐標為：(11,——)，(3,—)，(7,4).題型四、面積最值問題及周長最值問題6.(2019山東東營中考)已知拋物線 y=ax2+bx—4經(jīng)過點A(2,0),B(—4,0)與y軸交于點C,(1)求這條拋物線的解析式；(2)如圖1,點P是第三象限內(nèi)拋物線上的一個動點，當四邊形ABPC的面積最大時，求點P的坐標；(3)如圖2,線段AC的垂直平分線交x軸于點E,垂直為D,M為拋物線的頂點，在直線DE上是否存在一點G,△CMG的周長最?。咳舸嬖?，求出點G的坐標，若不存在，請說明理由 .圖1 圖2【答案】見解析【解析】解：(【解析】解：(1)將A、B兩點坐標代入y=ax2+bx-4得:4a2b416a4b412，拋物線的解析式為： y-x2x4.2(2)連接BC,過點P作PD，x軸交BC于點D,如圖,由題意知，AB=6,OC=4,設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m,得:m4 m44k得:m4 m4即直線BC的解析式為：y=—x—4,12設(shè)P(n,-nn4),則D(n,—n-4),S四邊形ABPC=SaABC+SaBCP=1XABXOC+1XPDXOBTOC\o"