平面向量的加減法

關(guān)于平面向量的加減法第1頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三平面向量的線性運(yùn)算——向量的加法運(yùn)算第2頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入王濤同學(xué)從家中（A處）出發(fā)，向正南方向行走500m到達(dá)超市（B處），買了文具后，又沿著北偏東60°角方向行走200m到達(dá)學(xué)校（C處）（如總效果是從家（A處）到達(dá)了學(xué)AC500m200m位移叫做位移與位移的和，記作圖）．王濤同學(xué)這兩次位移的校（C處）．第3頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三向量加法運(yùn)算及其幾何意義F1F2FEOOE探究:橡皮條在力F1與F2的作用下,從E點(diǎn)伸長到了O點(diǎn).同時(shí)橡皮條在力F的作用下也從E點(diǎn)伸長到了O點(diǎn).F1+F2=F力F對橡皮條產(chǎn)生的效果，與力F1和F2共同作用產(chǎn)生的效果相同，物理學(xué)中把力F叫做F1和F2的合力.第4頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三F1F2FEOOEF1+F2=F從力的合成看向量運(yùn)算橡皮條在力F1與F2的作用下，從E點(diǎn)伸長到了O點(diǎn)；同時(shí)橡皮條在力F的作用下也從E點(diǎn)伸長到了O點(diǎn).問:合力F與力F1、F2有怎樣的關(guān)系？F1F2FF是以F1與F2為鄰邊所形成的平行四邊形的對角線第5頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三向量加法運(yùn)算及其幾何意義向量加法的定義：我們把求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法,叫做的和.兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.第6頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三ABC向量的加法運(yùn)算運(yùn)動的合成力的合成F1F2FF1+F2=F

數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運(yùn)算的角度看，AC可以認(rèn)為是AB與BC的和，F(xiàn)可以認(rèn)為是F1與F2的和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法向量的加法法則：三角形法則、平行四邊形法則第7頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三o·ABC起點(diǎn)相同，連對角CA·B向量加法法則首尾相接，首尾連第8頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三動腦思考探索新知ADCB如圖所示，ABCD為平行四邊形，由于根據(jù)三角形法則得這說明，在平行四邊形ABCD中，

所表示的向量就是與的和．這種求和方法叫做向量加法的平行四邊形法則．

平行四邊形法則不適用于共線向量，可以驗(yàn)證，向量的加法具有以下的性質(zhì)：(1)a＋0=0＋a=a；a＋（?a）=0；

(2)a＋b=b＋a；(3)（a＋b）＋c=a＋（b＋c）．第9頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三向量加法法則總結(jié)與拓展向量加法的三角形法則:1.將向量平移使得它們首尾相連2.和向量即是第一個(gè)向量的首指向第二個(gè)向量的尾向量加法的平行四邊形法則:1.將向量平移到同一起點(diǎn)2.和向量即以它們作為鄰邊平行四邊形的共起點(diǎn)的對角線三角形法則推廣為多邊形法則：第10頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三動腦思考探索新知ADCB如圖所示，ABCD為平行四邊形，由于根據(jù)三角形法則得這說明，在平行四邊形ABCD中，

所表示的向量就是與的和．這種求和方法叫做向量加法的平行四邊形法則．

平行四邊形法則不適用于共線向量，可以驗(yàn)證，向量的加法具有以下的性質(zhì)：(1)a＋0=0＋a=a；a＋（?a）=0；

(2)a＋b=b＋a；(3)（a＋b）＋c=a＋（b＋c）．第11頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三探究一：當(dāng)向量共線時(shí)，如何相加？ABC(1)同向(2)反向ABC第12頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三探究二：向量的加法是否具備交換律和結(jié)合律？數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律，即對任意a，b∈R，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)向量的加法具備嗎？你能否畫圖解釋？向量加法滿足交換律和結(jié)合律：以上兩個(gè)運(yùn)算律可以推廣到任意多個(gè)向量.第13頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三鞏固知識典型例題

例3一艘船以12km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度為5km/h，求該船的實(shí)際航行速度．

ABDC速度，由向量加法的平行四邊形法則，是船的實(shí)際航行速度，顯然解如圖所示，表示船速，為水流=13．利用計(jì)算器求得即船的實(shí)際航行速度大小是13km/h，其方向與河岸線的夾角約第14頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三鞏固知識典型例題例4用兩條同樣的繩子掛一個(gè)物體,設(shè)物體的重力為k，兩條，求物體受到沿兩條繩子的方向的拉力與的大?。K子的方向與垂線的夾角為f1f2k解利用平行四邊形法則，可以得到所以第15頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三動腦思考探索新知想一想根據(jù)例題4的分析，判斷在單杠上懸掛身體時(shí)，兩臂成什么角度時(shí)，雙臂受力最?。康?6頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三運(yùn)用知識強(qiáng)化練習(xí)計(jì)算：第17頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三平面向量的線性運(yùn)算——向量的減法運(yùn)算第18頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三向量的減法

減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，向量的減法是否也有類似的法則？第19頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三相反向量

規(guī)定與a長度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量，記作-a，顯然-(-a)=a，規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量。第20頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三向量減法的定義

任一向量與其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0，所以，如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，定義：a-b=a+(-b)，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量。第21頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三動腦思考探索新知與數(shù)的運(yùn)算相類似，可以將向量a與向量b的負(fù)向量的和定義為向量a與向量b的差．即a?b=a＋(?b)．即

（7．2）觀察圖可以得到：起點(diǎn)相同的個(gè)向量，其起點(diǎn)是減向量b的終點(diǎn)，兩個(gè)向量a、b，其差a?b仍然是一終點(diǎn)是被減向量a的終點(diǎn)．

aAa－bBbO設(shè)a

，b

，則第22頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三運(yùn)算法則

已知a、b，

a-b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.

第23頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三a鞏固知識典型例題例5已知如圖所示向量a

、b

，請畫出向量a?b．BbOAba解

如圖所示，以平面上任一點(diǎn)O=b，連接BA，=a，為起點(diǎn)，作為所求，即則向量=a?b．

第24頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三探究三：當(dāng)向量共線時(shí)，如何相減？(1)同向(2)反向探究四：平行四邊形法則的兩條對角線ADCB第25頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三運(yùn)用知識強(qiáng)化練習(xí)計(jì)算：第26頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三創(chuàng)設(shè)情境興趣導(dǎo)入aaaaOABC3a是一個(gè)向量，其方向與a的方向相同,其模是a的模的3倍，即

|3a|=3|a|．

觀察下圖可以看出向量與向量a共線，并且a第27頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三動腦思考探索新知一般地，實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，它的模為

（7．3）（7．4）由上面定義可以得到，對于非零向量a、b，當(dāng)時(shí)，有若0，則當(dāng)時(shí),

a的方向與a的方向相同，當(dāng)

時(shí)，a的方向與a的方向相反．

第28頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三動腦思考探索新知一般地，有0a=0,λ0=0．

數(shù)與向量的乘法運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘運(yùn)算，容易驗(yàn)證，對于，向量數(shù)乘運(yùn)算滿足如下的法則：任意向量a,b及任意實(shí)數(shù)

向量加法及數(shù)乘運(yùn)算在形式上與實(shí)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算規(guī)律相類似，因此，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等變形，可直接應(yīng)用于向量的運(yùn)算中．但是，要注意向量的運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算的意義是不同的．

做一做請畫出圖形來，分別驗(yàn)證這些法則．第29頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三鞏固知識典型例題例6

在平行四邊形ABCD中，O為兩對角線交點(diǎn)如圖，＝a，＝b，試用a,b表示向量、解

＝a＋b，＝b?a，因?yàn)镺分別為AC，BD的中點(diǎn)，所以（a＋b）＝a＋b，

（b?a）＝a＋b，

a＋b和a＋b

都叫做向量a，b的線性組合，或者說，可以用向量a，b線性表示．

第30頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三鞏固知識典型例題一般地，a＋b叫做a,b的一個(gè)線性組合（其中均為實(shí)數(shù)），如果l＝a＋b，則稱l可以用a，b線性表示．向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算都叫做向量的線性運(yùn)算．

第31頁，共34頁，2023年，2月20日，星期三運(yùn)用知識強(qiáng)化練習(xí)計(jì)算：（1）3(a?2b)?2(2a＋b)；（2）3a?2(3a?4b)＋3(a?b)．（1）?a?8b；（2）5b