導數(shù)在研究報告函數(shù)中的應用與生活中的優(yōu)化問題舉例帶詳解

-.z.導數(shù)在研究函數(shù)中的應用與生活中的優(yōu)化問題舉例〔帶詳解〕題組一導數(shù)與函數(shù)的單調性1.(2009·廣東高考)函數(shù)f(*)＝(*－3)e*的單調遞增區(qū)間是說明()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)解析：f(*)＝(*－3)·e*，f′(*)＝e*(*－2)＞0，∴*＞2.∴f(*)的單調遞增區(qū)間為(2，＋∞)．答案：D2.假設函數(shù)h(*)＝2*－eq\f(k,*)＋eq\f(k,3)在(1，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是()A．[－2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]D．(－∞，2]解析：因為h′(*)＝2＋eq\f(k,*2)，所以h′(*)＝2＋eq\f(k,*2)＝eq\f(2*2＋k,*2)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2*2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞)．答案：A3．函數(shù)y＝a*與y＝－eq\f(b,*)在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，則函數(shù)y＝a*3＋b*2＋5的單調減區(qū)間為________．解析：根據(jù)題意a＜0，b＜0.由y＝a*3＋b*2＋5，得y′＝3a*2＋2b*，令y′＜0，可得*＞0或*＜－eq\f(2b,3a)，故所求減區(qū)間為(－∞，－eq\f(2b,3a))和(0，＋∞)．答案：(－∞，－eq\f(2b,3a))和(0，＋∞)4．設函數(shù)f(*)＝*3＋a*2－9*－1(a<0)．假設曲線y＝f(*)的斜率最小的切線與直線12*＋y＝6平行，求：(1)a的值；(2)函數(shù)f(*)的單調區(qū)間．解：(1)因f(*)＝*3＋a*2－9*－1，所以f′(*)＝3*2＋2a*－9＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(*＋\f(a,3)))2－9－eq\f(a2,3).即當*＝－eq\f(a,3)時，f′(*)取得最小值－9－eq\f(a2,3).因斜率最小的切線與12*＋y＝6平行，即該切線的斜率為－12，所以－9－eq\f(a2,3)＝－12，即a2＝9.解得a＝±3，由題設a<0，所以a＝－3.(2)由(1)知a＝－3，因此f(*)＝*3－3*2－9*－1，f′(*)＝3*2－6*－9＝3(*－3)(*＋1)，令f′(*)＝0，解得*1＝－1，*2＝3.當*∈(－∞，－1)時，f′(*)>0，故f(*)在(－∞，－1)上為增函數(shù)；當*∈(－1,3)時，f′(*)<0，故f(*)在(－1,3)上為減函數(shù)；當*∈(3，＋∞)時，f′(*)>0，故f(*)在(3，＋∞)上為增函數(shù)．由此可見，函數(shù)f(*)的單調遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(3，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(－1,3)．題組二導數(shù)與函數(shù)的極值和最值5.(文)函數(shù)f(*)＝*3＋a*2＋3*－9，f(*)在*＝－3時取得極值，則a＝()A．2B．3C解析：因為f(*)＝*3＋a*2＋3*－9，所以f′(*)＝3*2＋2a*＋3，由題意有f′(－3)＝0，所以3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，由此解得a答案：D(理)設a∈R，假設函數(shù)y＝e*＋a*，*∈R有大于零的極值點，則()A．a(chǎn)＜－1B．a(chǎn)＞－1C．a(chǎn)＞－eq\f(1,e)D．a(chǎn)＜－eq\f(1,e)解析：由y′＝(e*＋a*)′＝e*＋a＝0得e*＝－a，即*＝ln(－a)＞0?－a＞1?a＜－1.答案：A6.假設函數(shù)f(*)＝*3－3*＋a有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－2,2)B．[－2,2]C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)解析：由f′(*)＝3*2－3＝3(*－1)(*＋1)，且當*＜－1時，f′(*)＞0；當－1＜*＜1時，f′(*)＜0；當*＞1時，f′(*)＞0.所以當*＝－1時函數(shù)f(*)有極大值，當*＝1時函數(shù)f(*)有極小值．要使函數(shù)f(*)有3個不同的零點，只需滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(－1)＞0，,f(1)＜0.))解之得－2＜a＜2.答案：A7．函數(shù)y＝sin2*－*，*∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]的最大值是________，最小值是________．解析：∵y′＝2cos2*－1＝0，∴*＝±eq\f(π,6).而f(－eq\f(π,6))＝－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,6)，f(eq\f(π,6))＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,6)，端點f(－eq\f(π,2))＝eq\f(π,2)，f(eq\f(π,2))＝－eq\f(π,2)，所以y的最大值是eq\f(π,2)，最小值是－eq\f(π,2).答案：eq\f(π,2)－eq\f(π,2)8．(文)函數(shù)f(*)＝*3＋a*2＋b*＋c，曲線y＝f(*)在點*＝1處的切線l不過第四象限且斜率為3，又坐標原點到切線l的距離為eq\f(\r(10),10)，假設*＝eq\f(2,3)時，y＝f(*)有極值，(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(*)在[－3,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f(*)＝*3＋a*2＋b*＋c，得f′(*)＝3*2＋2a*＋b.當*＝1時，切線l的斜率為3，可得2a＋b當*＝eq\f(2,3)時，y＝f(*)有極值，則f′(eq\f(2,3))＝0，可得4a＋3b由①②解得a＝2，b＝－4.設切線l的方程為y＝3*＋m.由原點到切線l的距離為eq\f(\r(10),10)，則eq\f(|m|,\r(32＋1))＝eq\f(\r(10),10)，解得m＝±1.∵切線l不過第四象限，∴m＝1.由于切點的橫坐標為*＝1，∴f(1)＝4.∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5；(2)由(1)可得f(*)＝*3＋2*2－4*＋5，∴f′(*)＝3*2＋4*－4.令f′(*)＝0，得*＝－2，*＝eq\f(2,3).f(*)和f′(*)的變化情況如下表：*[－3，－2)－2(－2，eq\f(2,3))eq\f(2,3)(eq\f(2,3)，1]f′(*)＋0－0＋f(*)極大值極小值∴f(*)在*＝－2處取得極大值f(－2)＝13，在*＝eq\f(2,3)處取得極小值f(eq\f(2,3))＝eq\f(95,27).又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(*)在[－3,1]上的最大值為13，最小值為eq\f(95,27).(理)函數(shù)f(*)＝*3＋2b*2＋c*－2的圖象在與*軸交點處的切線方程是y＝5*－10.(1)求函數(shù)f(*)的解析式；(2)設函數(shù)g(*)＝f(*)＋eq\f(1,3)m*，假設g(*)的極值存在，求實數(shù)m的取值范圍以及函數(shù)g(*)取得極值時對應的自變量*的值．解：(1)由，切點為(2,0)，故有f(2)＝0，即4b＋c＋3＝0.①f′(*)＝3*2＋4b*＋c，由，f′(2)＝12＋8b＋c＝5.得8b＋c＋7＝0.②聯(lián)立①、②，解得c＝1，b＝－1，于是函數(shù)解析式為f(*)＝*3－2*2＋*－2.(2)g(*)＝*3－2*2＋*－2＋eq\f(1,3)m*，g′(*)＝3*2－4*＋1＋eq\f(m,3)，令g′(*)＝0.當函數(shù)有極值時，Δ≥0，方程3*2－4*＋1＋eq\f(m,3)＝0有實根，由Δ＝4(1－m)≥0，得m≤1.①當m＝1時，g′(*)＝0有實根*＝eq\f(2,3)，在*＝eq\f(2,3)左右兩側均有g′(*)＞0，故函數(shù)g(*)無極值．②當m＜1時，g′(*)＝0有兩個實根，*1＝eq\f(1,3)(2－eq\r(1－m))，*2＝eq\f(1,3)(2＋eq\r(1－m))，當*變化時，g′(*)、g(*)的變化情況如下表：*(－∞，*1)*1(*1，*2)*2(*2，＋∞)g′(*)＋0－0＋g(*)極大值極小值故在m∈(－∞，1)時，函數(shù)g(*)有極值；當*＝eq\f(1,3)(2－eq\r(1－m))時g(*)有極大值；當*＝eq\f(1,3)(2＋eq\r(1－m))時g(*)有極小值．題組三導數(shù)的綜合應用9.對任意實數(shù)*，都有f(－*)＝－f(*)，g(－*)＝g(*)，且*>0時，f′(*)>0，g′(*)>0，則*<0時()A．f′(*)>0，g′(*)>0B．f′(*)>0，g′(*)<0C．f′(*)<0，g′(*)>0D．f′(*)<0，g′(*)<0解析：由題意知f(*)是奇函數(shù)，g(*)是偶函數(shù)．當*＞0時，f(*)，g(*)都單調遞增，則當*＜0時，f(*)單調遞增，g(*)單調遞減，即f′(*)＞0，g′(*)＜0.答案：B10．*公司生產(chǎn)*種產(chǎn)品，固定本錢為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，本錢增加100元，總營業(yè)收入R與年產(chǎn)量*的關系是R＝R(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400*－\f(1,2)*2(0≤*≤400),80000(*＞400)))，則總利潤最大時，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是()A．100B．150C．200D．300解析：由題意得，總本錢函數(shù)為C＝C(*)＝20000＋100*，所以總利潤函數(shù)為P＝P(*)＝R(*)－C(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300*－\f(*2,2)－20000(0≤*≤400)，,60000－100*(*＞400)，))而P′(*)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－*(0≤*≤400)，,－100(*＞400)，))令P′(*)＝0，得*＝300，易知*＝300時，P最大．答案：D11．設f′(*)是函數(shù)f(*)的導函數(shù)，將y＝f(*)和y＝f′(*)的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的選項是()解析：對于圖A來說，拋物線為函數(shù)f(*)，直線為f′(*)；對于圖B來說，上凸的曲線為函數(shù)f(*)，下凹的曲線為f′(*)；對于圖C來說，下面的曲線為函數(shù)f(*)，上面的曲線f′(*)．只有圖D不符合題設條件．答案：D12．(2010·南通模擬)函數(shù)f(*)＝*3＋a*2＋b*＋c在*＝－eq\f(2,3)與*＝1時都取得極值，(1)求a，b的值與函數(shù)f(*)的單調區(qū)間；(2)假設對*∈[－1,2]，不等式f(*)＜c2恒成立，求c的取值范圍．解：(1)f(*)＝*3＋a*2＋b*＋c，f′(*)＝3*2＋2a*＋b，由f′(－eq\f(2,3))＝eq\f(12,9)－eq\f(4,3)a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0得a＝－eq\f(1,2)，b＝－2，f′(*)＝3*2－*－2＝(3*＋2)(*－1)，函數(shù)f(*)的單調區(qū)間如下表：*(－∞，－eq\f(2,3))－eq\f(2,3)(－eq\f(2,3)，1)1(1，