重慶市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷及答案

重慶市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.若向量麗與而對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3+2i,-l+4i,則向量麗對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）

A.2+6iB.4-2iC.-4+2iD.4+6i

2.下列說(shuō)法正確的是（）

A.調(diào)查長(zhǎng)江的水質(zhì)適合用全面調(diào)查

B.兩個(gè)互斥事件一定是對(duì)立事件

C.標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了一組數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度

D.若某種獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率為0」，則抽獎(jiǎng)10次必有一次中獎(jiǎng)

3.為做好“新冠肺炎''疫情防控工作，我市各學(xué)校堅(jiān)持落實(shí)“雙測(cè)溫兩報(bào)告”制度，以下是某宿舍6

名同學(xué)某日上午的體溫記錄：36.3,36.1,36.4,36.7,36.5,36.6（單位：°C）,則該組數(shù)據(jù)的第

80百分位數(shù)為（）

A.36.7B.36.6C.36.5D.36.4

4.在正方體A8CD-A/B/C0中,E是CiDi的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC所成角的余弦值為（）

A.±B

2010

C一叵D.」

1020

5.在梯形A8CD中，48||8且48=2。再為48上煤近8點(diǎn)處的三等分點(diǎn)，則向量比=（）

A.--AB+ADB.-AB-AD

66

C.-AB+ADD.--AB-AD

66

6.袋中有紅、黃兩種顏色的球各一個(gè)，這兩個(gè)球除顏色外完全相同，從中任取一個(gè)，有放回地抽取

3次，記事件A表示“3次抽到的球全是紅球”，事件B表示“3次抽到的球顏色全相同”，事件C表

示“3次抽到的球顏色不全相同”，則下列結(jié)論正確的是（）

A.事件A與事件B互斥B.事件4與事件C互為對(duì)立事件

C.P（c）=-D.P（AuC）=-

7.小明同學(xué)學(xué)以致用，欲測(cè)量學(xué)校教學(xué)樓的高度，他采用了如圖所示的方式來(lái)進(jìn)行測(cè)量，小明同

學(xué)在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上選取相距25米的C,。兩觀測(cè)點(diǎn)，且C,。與教學(xué)樓底部3在同一水平面上，在C,

。兩觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得教學(xué)樓頂部A的仰角分別為45。，30。，并測(cè)得NBCQ=12（T,則教學(xué)樓48的高

度是（）

A

A.20米B.25米C.156米D.20日米

8.在三棱錐P-ABC中，側(cè)棱小，底面A3C,PA=5,如圖是其底面“BC用斜二測(cè)畫法所畫出的

水平放置的直觀圖VAFC,其中OB'=OC=07r=2,則該三棱錐外接球的表面積為（）

Cx

A.36萬(wàn)B.41萬(wàn)D.50乃

二、多選題

9.若2=二，則下列結(jié)論正確的是（

1-1

A.z的虛部為jZZ=1

C.|z—1|=21+Z+Z2+Z3+Z4=1

己知向量5=（1』）,日=（85&5m，）（0＜夕工）），則下列命題正確的是（

B.若￡〃5,則tan6=l

C.存在唯一的。使得|a+昨|萬(wàn)D.卜+目的最大值為石

11.在AABC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為4,b,c,下列四個(gè)合題中，正確的命題為（）

A.若〃：0:c=2:2:3,貝i]A=45。

B.若A:3:C=1:2:3,則〃：Z?:c=l:石：2

C.若A>4,則sinA>sinB

D.若4=30。,〃=32=4,則這個(gè)三角形有兩解

12.如圖，E是正方體ABCD-A4G。的棱。Q的中點(diǎn)，E是棱GM上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確

A.在平面A81GA內(nèi)總存在與平面3瓦'平行的直線

B.存在點(diǎn)尸使得直線C尸與直線8E垂直

C.四面體及步匕的體積為定值

D.平面班F截該正方體所得截面可能為三角形、四邊形、五邊形

三、填空題

13.方程V+4x+5=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為.

14.已知一圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2百的半圓，則該圓錐的體積是.

四、解答題

15.某班有45名學(xué)生，其中選考化學(xué)的學(xué)生有23人，選考地理的學(xué)生有15人，選考化學(xué)或地理

的學(xué)生有29人，從該班任選一名學(xué)生，則該生既選考化學(xué)又選考地理的概率為.

16.4月23日是世界讀書日，其設(shè)立的目的是推動(dòng)更多的人去閱讀和寫作，某市教育部門為了解

全市中學(xué)生課外閱讀的情況，從全市隨機(jī)抽取1000名中學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)他們每日課外閱讀的

時(shí)長(zhǎng)，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖.

（1）求頻率分布直方圖中。的值，并估計(jì)1000名學(xué)生每日的平均閱讀時(shí)間（同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)平均值)；

(2)若采用分層抽樣的方法，從樣本在［60,80)［80,100］內(nèi)的學(xué)生中共抽取5人來(lái)進(jìn)一步了解

閱讀情況，再?gòu)闹羞x取2人進(jìn)行跟蹤分析，求抽取的這2名學(xué)生來(lái)自不同組的概率.

17.在中，內(nèi)角4、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、dc,且滿足方程

sin2S+sin2C-sin2A=>/3sinBsinC.

(D求角A的大?。?/p>

TT

(2)若a=1,8=：,求AABC的面積.

4

18.某高校自主招生考試分筆試與面試兩部分，每部分考試成績(jī)只記“通過(guò)”與“不通過(guò)”，兩部分考

試都“通過(guò)”者，則考試“通過(guò)”.并給予錄取.甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，甲、乙兩人在

筆試中“通過(guò)”的概率依次為在面試中“通過(guò)”的概率依次為,筆試和面試是否“通過(guò)”是獨(dú)

立的.

(1)甲、乙兩人誰(shuí)獲得錄取的可能性大？請(qǐng)說(shuō)明理由：

(2)求甲、乙兩人中至少有一人獲得錄取的概率.

19.如圖，在AABC中，AC=BC=—AB,A8EO是邊為1的正方形，平面平面ABC,G、

2

產(chǎn)分別是EC、8。的中點(diǎn).

⑴求證：GF〃平面ABC：

⑵求點(diǎn)A到平面BCD的距離.

20.如圖，在三棱錐S-ABC中，SCL平面A8C,點(diǎn)戶，加分別是SC和S8的中點(diǎn)，已知

PM=AC=1,ZACB=90,直線A"與平面ABC所成的角為30.

s.

⑴求證：平面M4P_L平面SAC：

⑵求二面角AB—C的正切值.

21.某市為應(yīng)急處理突如其來(lái)的新冠疾病，防止疫情擴(kuò)散，采取對(duì)疑似病人集中隔離觀察.如圖，

征用了該市一半徑為2百米的半圓形廣場(chǎng)及其東邊綠化帶設(shè)立隔離觀察服務(wù)區(qū)，現(xiàn)決定在圓心。

處設(shè)立一個(gè)觀察監(jiān)測(cè)中心（大小忽略不計(jì)），在圓心0正東方向相距4百米的點(diǎn)A處安裝一套監(jiān)測(cè)

設(shè)備，為了監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，在半圓弧上的點(diǎn)8以及圓弧外的點(diǎn)C處，再分別安裝一套監(jiān)測(cè)設(shè)

備，且滿足A8=AC,N54c=90.定義：四邊形。4cB及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)椤爸苯颖O(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”：OC

的長(zhǎng)為“最遠(yuǎn)直接監(jiān)測(cè)距離”.設(shè)ZAOB=0.

（1）求“直接監(jiān)測(cè)覆蓋區(qū)域”的面積的最大值:

（2）試確定e的值，使得“最遠(yuǎn)直接監(jiān)測(cè)距離‘‘最大.

五、雙空題

22.如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)。為正六邊形的中心，若點(diǎn)〃在正六邊形的外接圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

AB在半徑為1的小圓。上且關(guān)于圓心。對(duì)稱，則祝鼠荻=；N4WO的最大值為

參考答案:

1.B

【分析】依題意得A（3,2）,3（-1,4）,進(jìn)而求得向量麗的坐標(biāo)，最后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求

解.

【詳解】依題意得4（3,2）,B（-l,4）

所以方=（3,2）,麗=（-1,4）

所以麗=礪_麗=（4,一2）

故與向量麗對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為4-2i

故選：B

2.C

【分析】根據(jù)抽樣調(diào)查的適用條件、互斥事件的性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)差的含義以及概率的意義逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,長(zhǎng)江的水質(zhì)調(diào)查最適合使用抽樣調(diào)查，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,互斥事件未必對(duì)立，但對(duì)立事件一定互斥，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,方差和標(biāo)準(zhǔn)差都刻畫了一組數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，故C正確；

對(duì)于D,中獎(jiǎng)率是中獎(jiǎng)的概率，只是反映了中獎(jiǎng)的可能性大小，故抽獎(jiǎng)10次未必有一次中獎(jiǎng)，故

D錯(cuò)誤.

故選：C.

3.B

【分析】根據(jù)第百分位數(shù)的概念和計(jì)算方法可得答案.

【詳解】將6名同學(xué)某日上午的體溫記錄從小到大排列為：

36.1,36.3,36.4,36.5,36.6,36.7,

因?yàn)?0%x6=4.8,所以該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為36.6.

故選：B.

4.B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量求異面直線。E與AC所成的角的余弦值.

【詳解】設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

貝IJ0(0,0,0),E(0,I，1),A(l,0,0),C(0,l,0),

所以尻=(0,g，1)，AC=(—lJ,0),

1

DE-AC

貝ijcos<DE,AC>-

\DE\-\AC\

則異面直線DE與AC所成角的余弦值為畫.

10

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算求解，屬基礎(chǔ)題.

5.A

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可

【詳解】由題意，EC^EB+BC=-AB+BD+DC^-7dB+Ab-AB+-AB=--AB+Ab

3326

故選：A

6.C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合互斥事件，對(duì)立事件概念以及概率公式依次討論各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?次抽到的球全是紅球?yàn)?次抽到的球顏色全相同的一種情況，

所以事件4與事件B不互斥，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,事件A與事件C不可能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，但一次試驗(yàn)中還可能

3次抽到的球全是黃球，所以事件A與事件C不是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,因?yàn)槭–）=l-：=?==,故C正確：

884

對(duì)于D,因?yàn)槭录嗀與事件C互斥，P（A）=：,所以

O

,137

P（AuC）=P（A）+P（C）=-+-=-,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

7.B

【分析】設(shè)AB=x,用x表示出8C與B￡）,然后在三角形BCD中用余弦定理列方程即可.

【詳解】設(shè)43=x,在直角三角形MC、ABO中，

ARL

BC=AB=x,BD=---------=V3x,

tan300

在三角形BCD中，BD2=BC2+CD2-2BC?CDcos120%

即3/=/+252-2?25《-，，解得％=25,/=-弓（舍）.

故選：B.

8.D

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法，還原可得AABC的三邊長(zhǎng)，由正弦定理與余弦定理，求得AASC的外接

圓圓心和半徑，過(guò)該圓心作底面垂線，設(shè)出三棱錐外接球的球心，構(gòu)造直角三角形可得半徑，可得

答案.

【詳解】根據(jù)斜二測(cè)畫法，還原圖象可得：

由題意可得：OB=OC=2,OA=4,則AB=AC=J16+4=2君,

AB+ACBC

由余弦定理，可得：cosA=~'~~=1,即sinA=±,

2-AB-AC55

由正弦定理，可得△ABC外接圓的半徑「=#7=7，

2sinA2

則三棱錐P-4BC作圖如下：

作ED_L平面ABC,且PA_L底面ABC,所以上4//EQ,

取點(diǎn)E為三棱錐P—ABC外接球的球心，則E4=EP,

作￡F_LA4,易知四邊形EZMF為正方形，即EF=A。=|,Pk=Ak=|,

則AE=g拒，即三棱錐尸―ABC外接球表面積S=41=50萬(wàn).

故選：D.

9.BD

【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)z化簡(jiǎn)，然后逐個(gè)分析判斷即可.

…&灸、1+i(1+i)2l+2i+i2

【詳解】z=---=——--------=--------=1,

l-i(l-i)(l+i)2

對(duì)于A,復(fù)數(shù)z的虛部為1,所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,zz=i(-i)=-i2=l,所以B正確，

22

對(duì)于C,|z-l|=|i-l|=7(-l)+l=^，所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,l+z+z2+z3+z4=l+i+i2+i3+i4=l+i-l-i+l=b所以D正確,

故選：BD

10.ABC

【分析】對(duì)于A,由向量模的坐標(biāo)公式，根據(jù)同角三角函數(shù)的恒等式，可得答案；

對(duì)于B,由共線定理，可得答案；

對(duì)于C,由數(shù)量積的性質(zhì)，可得關(guān)于，的等式，由輔助角公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，可得答案;

對(duì)于D,根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)和輔助角公式，可得三角函數(shù)，可得答案.

【詳解】對(duì)于A,|S|=Vsin2^+cos20=l,故正確；

對(duì)于B,由Z//5，則(l,l)=2(cose,sin。)，即sinB=8sd,tan/?=l,故正確.

對(duì)于c,由?6+5|=|6-5|,則(￡+B『=R-。，

|?|'+2a-6+|^|'=W-2-B+WJ,sin6+cose=-(sine+cos6),

2sin，+2cosd=0,2夜sin(9+；)=0,解得9+(=2人),(keZ),

因?yàn)?4,4乃，所以"苧，故正確.

對(duì)于D,卜+可2=卜|+2〃％+卜1=3+2(cose+sine)=2&sin(e+?1+3,

由04”萬(wàn)，則與？49？聆即當(dāng)。=￡時(shí)，(根+邛)=2夜+3,故錯(cuò)誤.

4444V11/max

故選：ABC.

11.BCD

【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，利用余弦定理即可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)，先解得4=胃，8=9，C=g,再

利用正弦定理即可求解；對(duì)于C選項(xiàng)，利用邊角關(guān)系定理以及正弦定理即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，

利用正弦定理，再結(jié)合邊角關(guān)系定理即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椤?b:c=2:2:3,則cosAh"+.=4+9—4=工工農(nóng)

2bc2x2x342

所以AH45:故A錯(cuò)誤；

ITIT7T

對(duì)于B,若A:3:C=1:2:3,又A+B+C=%，則4=—,B=—,C=—

632

則a:b:c=sinA:sinB:sinC=—:—:1=1:G：2,故B正確；

22

對(duì)于C,若則

由正弦定理可得2/?sinA>2/?sinB（R為“IBC的外接圓半徑）

所以sinA>sin8,故C正確；

2=_4_2

對(duì)于D,由正弦定理得T-sinB,所以sin8=z，由…得3>A,

23

所以5為銳角或鈍角，有兩解，故D正確.

故選：BCD

12.ABC

【分析】利用線面平行的判定定理可判斷A選項(xiàng)；利用線面垂直的性質(zhì)定理可判斷B選項(xiàng)；利用

錐體的體積公式可判斷C選項(xiàng)；作出截面圖形，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，連接8尸、EF,過(guò)點(diǎn)E作切〃8尸交AR的延長(zhǎng)線于點(diǎn)“，

則E、H、F、8四點(diǎn)共面，

若/u平面AMCQ且〃/FH,?.?/a平面巫尸，尸”匚平面3瓦',

所以，〃/平面應(yīng)尸，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，取CG的中點(diǎn)M,連接EM、BM,設(shè)助=

Dy

G

4屏-

-\M

-

-

產(chǎn)-

/

因?yàn)镃￡//。。且CC|=OR,E、M分別為DR、CG的中點(diǎn)，則。E〃CM且OE=CM,

所以，四邊形C￡)EM為平行四邊形，二后0〃CD,

COJ_平面BBCC，??.EM，平面BBCC,

。。尸＜=平面3月。(，..也0_1。尸，

當(dāng)點(diǎn)尸為線段BC的中點(diǎn)時(shí)，BC=CCt,CM=QF,NBCM=NCC,F=90,

所以，RtABCM^RtACCjF,ZBMC=ZCFC,,

所以，NJCF+NBMC=NGCF+ZCFC,=90,故NCNM=90,即b_LBM,

,:EMcBM=M,EM、5A/u平面8EW,.?.CF_L平面陋W,

???BEu平面BEW,CFrBE,

故當(dāng)點(diǎn)F為8c的中點(diǎn)時(shí)，CFLBE,B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)正方體ABCO-44GR的棱長(zhǎng)為。，

a

由B選項(xiàng)可知E/W_1_平面8CCM,且EM=CD=a,SABCF~'^''

11,

:“E-BCF=QSABCF，EM=7”，C對(duì)；

3o

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)與重合時(shí)，截面巫尸截正方體ABCZJ-A/CQI為四邊形BBQ￡＞；

當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)G重合時(shí)，連接GE并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連接尸8交AD于點(diǎn)2,連接QE,

此時(shí)，截面8EF截正方體的截面為四邊形BGEQ；

當(dāng)點(diǎn)E在線段BC（不包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

延長(zhǎng)的、CG交于點(diǎn)火，設(shè)直線￡7?分別交直線CQ、于點(diǎn)S、T,

連接8T交AD于點(diǎn)U,連接比、SF,

此時(shí)，截面8m截正方體ABC。-ABCA所得截面為五邊形BFSEU.

綜上所述，平面的截該正方體所得截面可能為四邊形、五邊形，D錯(cuò).

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用平面的性質(zhì)確定截面形狀的依據(jù)如下.

（1）平面的四個(gè)公理及推論；（2）直線和平面平行的判定和性質(zhì)；（3）兩個(gè)平面平行的性質(zhì).

13.-2+i

【分析】本題可以用配方法可得：（X+2）2=T,再兩邊同時(shí)開(kāi)方得結(jié)果，注意到（土i）2=-l.

【詳解】VX2+4X+5=0B|］（%+2）2=-1

x+2=±i即x=—2±i

故答案為；-2±i.

14.3%

【分析】根據(jù)側(cè)面展開(kāi)圖可確定母線長(zhǎng)和底面圓半徑，由此求得圓錐的高，根據(jù)圓錐體積公式可求

得結(jié)果.

【詳解】設(shè)該圓錐底面圓的半徑為，高為/?,母線長(zhǎng)為/,則/=26，2敏=20萬(wàn)，解得：r=6,

h=yjl2-r2=3>?.?該圓錐的體積是gx%x(a)x3=3乃.

故答案為：3萬(wàn).

15.-

5

【分析】根據(jù)容斥原理，先求出既選考化學(xué)又選考地理的人數(shù)，再根據(jù)古典概型的公式，可得答案.

【詳解】根據(jù)容斥原理，既選考化學(xué)又選考地理的人數(shù)為23+15-29=9,

由古典概型的公式，可得卷9=:1，

455

故答案為：

3

16.(1)a=0.0125,58分鐘；(2)

【分析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得各個(gè)區(qū)間的頻率和為1,即可得到。的值；再將各區(qū)間

的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)的頻率，并求和，即可得到答案.

(2)樣本在［60,80)［80,100］內(nèi)的學(xué)生的頻率為0.3,02,即樣本在［60,80),［80,100］采用

分層抽樣的比例為3:2,再結(jié)合古典概率即可求解得出答案.

【詳解】(1)由(().0025+0.()100+4+0.()150+0.0100)x20=1可得。=0.0125；

這1000名學(xué)生每日的平均閱讀時(shí)間，10x0.05+30x0.2+50x0.25+70x0.3+90*0.2=58分鐘；

(2)由于言=］，因此，［60,80)抽取了3人a,b,c,［80,100］抽取了2人d,e,

則再?gòu)闹谐槿?人共有{ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de}10種不同的抽取方法，

3

抽取的2人來(lái)自不同組共有6種可能，因此抽取的2人來(lái)自不同組的概率為不

71

17.d)A=-

6

(2)11^

4

【分析】(1)首先將角化為邊，再根據(jù)余弦定理，即可求解；

(2)首先求邊方和sinC,再根據(jù)三角形的面積公式，即可求解.

(1)

由正弦定理邊角互化可知，b2+C—?=6bc,

所以cosA=0+'——=,因?yàn)槿恕?0,萬(wàn))，

2bc2

所以4=g;

o

(2)

.7T71TC.7CV2+>/6

所以sinC=sinsin—cos--Fcos-sin-=-------

64644

根據(jù)正弦定理三=工，得〃=枝,

sinAsinB

=LsinC=H^

24

18.(1)甲獲得錄取的可能性大，理由見(jiàn)解析,

【分析】(1)由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式分別計(jì)算甲乙兩人被錄取的概率，再比較即可，

(2)甲、乙兩人中至少有一人獲得錄取包括3種情況：甲被錄取乙沒(méi)被錄取，甲沒(méi)被錄取乙被錄取，

甲、乙都被錄取，求出每種情況的概率，再利用互斥事件的概率加法公式可求得結(jié)果.

(1)

記“甲通過(guò)筆試”為事件A,“甲通過(guò)面試”為事件&,“甲獲得錄取”為事件A，“乙通過(guò)筆試”為事

件用，“乙通過(guò)面試”為事件當(dāng)，“乙獲得錄取“為事件8,

5233

則由題意得P(A)=3，P(4)=1尸3)=全尸(4)=j筆試和面試是否“通過(guò)”是獨(dú)立的，

所以P(A)=P(A)尸(4)=力5彳2==5,

639

339

P(B)=P(B,)P(B2)=-X-=-,

59

因?yàn)間>亦，即尸(A)>P(5),

所以甲獲得錄取的可能性大

(2)

記“甲、乙兩人中至少有一人獲得錄取“為事件C,則由題意得

P(C)=P(AB)+P(A8)+P(A8)

=P(A)P(初+P(A)P(B)+P(A)P(B)

995934

=x1+wx-----h—x——=——

i202092045

34

所以甲、乙兩人中至少有一人獲得錄取的概率為行

19.(1)證明見(jiàn)解析

喈

【分析】(1)分別取AB、BC的中點(diǎn)“、N,連接FM、GN、MN,證明出四邊形MNG廣為平

行四邊形，可得出FG〃加N,再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；

(2)過(guò)點(diǎn)A在平面AC￡＞內(nèi)作/W_LC￡),垂足為點(diǎn)P,證明出平面BC。，利用等面積法求出

針的長(zhǎng)，即為所求.

(1)

證明：分別取AB、8c的中點(diǎn)M、N,連接尸M、GN、MN,如下圖所示：

因?yàn)樗倪呅蜛BED為正方形，則皿/BE且AD=BE,

??,G、N分別為EC、BC的中點(diǎn)，則GN//3E且GN=g8E,

同理可得根〃AD且尸例所以，F(xiàn)MHGN且FM=GN,

故四邊形MNG尸為平行四邊形，所以，F(xiàn)GHMN,

?.?EGZ平面ABC,MNu平面AfiC,〃平面ABC.

(2)

解：過(guò)點(diǎn)A在平面AC。內(nèi)作APJLCC,垂足為點(diǎn)P,

因?yàn)锳C=BC=也AB=也，/W=l,則AC?+BC?=A5?,...ACIBC,

22

因?yàn)樗倪呅蜛BEQ是邊長(zhǎng)為1的正方形，則A￡>_L43,

因?yàn)槠矫?組D_L平面A8C,平面ABEDc平面=AZ)u平面筋￡￡),

.,.AT)_L平面ABC,

;3Cu平面ABC,..BCYAD,

■;ACr\AD=A,AC、Mu平面AS,..8C，平面AC。，

?.?APu平面AC。，APVBC,

-.-AP±CD,BCcCD=C,BC、8<=平面8^>,..小_1_平面8?！?,

因?yàn)锳￡)_L平面ABC,ACu平面ABC,：.ADA.AC,則CD=JAC?+必=顯,

2

由等面積法可得AP=-C—=2.

CD3

因此，點(diǎn)A到平面BCD的距離為由.

3

20.(1)證明見(jiàn)解析

⑵叵

3

【分析】(1)易證8C_L平面SAC,又PMHBC,從而月0，面547,最后由面面垂直的判定定理

即可證明(2)建立空間直角坐標(biāo)系，先求出銳二面角M-A8-C的余弦值，再由同角關(guān)系即可求

解

(1)

證明：QSC_L平面ABC,8(7(=平面43。，..5。_1欣7

又ZACB=90.-.AC1BC,

?.?ACcSC=C,SCu平面SAC,ACu平面SAC,.?.BC_L平面S4C

???點(diǎn)P,歷分別是SC和S3的中點(diǎn)，.?.PM//3C,所以8c=2PM=2

?:PMHBC,6C_L平面SAC,.1加，面SAC

又AWu面MAP,所以面M4P_L面SAC;

(2)

取BC的中點(diǎn)。，連接M。，AD,

因?yàn)?。為S3和BC的中點(diǎn)，所以MD//SC,

又SC_L平面ABC,所以MD_L平面ABC,

所以NM4Q即為直線AM與平面ABC所成的角

因?yàn)橹本€AM與平面ABC所成的角為30,則ZMAD=30

在R/AACQ中，AD=\IAC2+CD2=V2

在AMD中，DM=AZ>tanNMA￡>="

3

以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0),4(1,0,0),8(0,2,0),M0,1,^

\

:.AM=-1,1,—，而=(-1,2,0)

k3)

設(shè)平面MAN的一個(gè)法向量為。=(x,y,z),

…嚴(yán)冬=。

n-AM=0一,口

則由v—八，可得

n-AB=0

-x+2y=0

...可取萬(wàn)=(4,2,#)

取平面ABC的一個(gè)法向量為用=(0,0,1)

設(shè)二面角用-A3-C的大小為6,6*為銳角

I/-7|萬(wàn)詞限回

cos6=爾(〃，叫=麗=而=后

丁?sin0=Vl-co