(江蘇專版)2019版高考數學一輪復習第三章導數其應用課時達標檢測(十五)導數與函數的單調性

課時達標檢測(十五）導數與函數的單一性[練基礎小題——加強運算能力]1．(2018·前黃中學期中考試)函數f(x)＝xlnx的單一減區(qū)間是________．分析：函數f(x)＝xlnx的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，由f′(x)＝lnx11＋1＜0得0＜x＜e，因此函數f(x)＝xlnx的單一減區(qū)間是0，e.1答案：0，e132．已知函數f(x)＝2x＋ax＋4，則“a＞0”是“f(x)在R上單一遞加”的____________條件．(選填“充分不用要”“必需不充分”“充要”“既不充分又不用要”)32分析：f′(x)＝2x＋a，當a＞0時，f′(x)＞0，即a＞0時，f(x)在R上單一遞加，由f(x)在R上單一遞加，可得a≥0.故“a＞0”是“f(x)在R上單一遞加”的充分不用要條件．答案：充分不用要exa3．(2018·阜寧中學模擬)若函數f(x)＝2－ex(a∈R)在區(qū)間[1,2]上單一遞加，則實數a的取值范圍是________．exaexa分析：設g(x)＝2－ex，則g′(x)＝2＋ex.①當a＞0時，g′(x)＞0，g(x)在R上單一≤e2遞加，且g(ln2)＝0，依題意知ln2≤1，解得0＜.②當＝0時，f(x)切合題2意．③當a＜0時，令g′(x)＝0，解得x＝ln－2a.當x＜ln－2a時，g′(x)＜0，g(x)在(－∞，ln－2a)上單一遞減，當x＞ln－2a時，g′(x)＞0，g(x)在(ln－2a，＋∞)上單一遞加，故當x＝ln－2a時，g(x)獲得最小值，又g(ln－2a)＞0，因此g(x)＞0恒222eee建立，因此依題意知ln－2a≤1，解得－2≤a＜0.綜上，所求a的取值范圍是－，2.2e2e2答案：－2，24．已知函數f(x)的導函數為f′(x)＝5＋cosx，x∈(－1,1)，且f(0)＝0，假如f(1－x)＋f(1－x2)＜0，則實數x的取值范圍為________．分析：∵導函數f′(x)是偶函數，且f(0)＝0，∴原函數f(x)是奇函數，∴所求不等式變形為f(1－x)＜f(x2－1)，∵導函數值恒大于0，∴原函數在定義域上單一遞加，又f(x)的定義域為(－1,1)，∴－1＜1－x＜x2－1＜1，解得1＜x＜2，∴實數x的取值范圍是(1，2)．1答案：(1，2)[練?？碱}點——查驗高考能力]一、填空題1．(2018·南通高三期初測試)已知函數f(x)＝ln＋2x，若f(x2＋2)＜(3x)，則實數xfx的取值范圍是________．x1x分析：由f(x)＝lnx＋2，得f′(x)＝x＋2ln2＞0，x∈(0，＋∞)，因此f(x)在(0，＋∞)上單一遞加．又由f(x2＋2)＜f(3x)，得0＜x2＋2＜3x，因此x∈(1,2).答案：(1,2)3－tx2＋3x在區(qū)間[1，4t的取值范圍是2．若函數f(x)＝x]上單一遞減，則實數________．分析：f′(x)＝3x2－2tx＋3，因為f(x)在區(qū)間[1，4]上單一遞減，則有f′(x)≤0在[1，4]上恒建立，2313即3x－2tx＋3≤0在[1,4]上恒建立，則t≥2x＋x在[1，4]上恒建立，因為y＝213151x＋x在[1，4]上單一遞加，因此t≥24＋4＝8.51答案：8，＋∞3．(2018·蘇州模擬)已知定義在R上的函數f(x)知足：f(x)＋f′(x)＞1，f(0)＝4，xx)的解集為________．則不等式ef(x)＞e＋3(此中e為自然對數的底數分析：設g(x)＝exf(x)－ex，則g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex，因為f(x)＋f′(x)＞1，因此f(x)＋f′(x)－1＞0，因此g′(x)＞0，因此y＝g(x)在定義域R上單一遞加．因xx＝e0f(0)－e0＝3，因此g(x)＞g(0)，因此x為ef(x)＞e＋3，因此g(x)＞3，又因為g(0)＞0，即x∈(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)4．(2018·靖江診療考試)函數f(x)在定義域R內可導，若f(x)＝f(2－x)，且當x∈(－1∞，1)時，(x－1)f′(x)＜0，設a＝f(0)，b＝f2，c＝f(3)，則a，b，c的大小關系是________．分析：因為當x∈(－∞，1)時，(－1)f′( )＜0，因此f′( )＞0，因此函數f(x)在xxx(－∞，1)上是單一遞加函數，因此a＝f(0)＜f1＝b，又f(x)＝f(2－x)，因此c＝f(3)2f(－1)，因此c＝f(－1)＜f(0)＝a，因此c＜a＜b.答案：b＞a＞c2b5．若函數f(x)＝x＋x(b∈R)的導函數在區(qū)間(1,2)上有零點，則f(x)在以下區(qū)間上單調遞加的是________．(填序號)(－2,0)；②(0,1)；③(1，＋∞)；④(－∞，－2)．bb分析：由題意知，f′(x)＝1－x2，∵函數f(x)＝x＋x(b∈R)的導函數在區(qū)間(1,2)上有零點，∴當1－b2＝0時，b＝x2，又x∈(1,2)，∴∈(1,4)．令f′( )＞0，解得x＜－bxbx或x＞b，即f(x)的單一遞加區(qū)間為(－∞，－b)，(b，＋∞)，∵b∈(1,4)，∴(－∞，2)切合題意．答案：④6．已知y＝f(x)為(0，＋∞)上的可導函數，且有fxf′(x)＋＞0，則關于隨意的xa，b∈(0，＋∞)，當a＞b時，以下不等式建立的是________．(填序號)①af(a)＜bf(b)；②af(a)＞bf(b)；③af( )＞bf( )；④af()＜bf( )．baba分析：由f′( )＋fx＞0得xfx＋fx＞0，即[xfx＞0，即xxxx[xf(x)]′x＞0.∵x＞0，∴[xf(x)]′＞0，即函數y＝xf(x)為增函數，由a，b∈(0，＋∞)且＞，得af(a)＞bf(b)．ab答案：②7．若冪函數f(x)的圖象過點2，1，則函數g(x)＝exf(x)的單一遞減區(qū)間為22________．α2112α分析：設冪函數為f(x)＝x，因為圖象過點2，2，因此2＝2，α＝2，因此f(x)＝x2，故g(x)＝exx2，令g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)＜0，得－2＜x＜0，故函數g(x)的單一遞減區(qū)間為(－2,0)．答案：(－2,0)121，28．已知函數f(x)＝2x＋2ax－lnx，若f(x)在區(qū)間3上是增函數，則實數a的取值范圍為________．1111，2分析：f′(x)＝x＋2a－x≥0在，2上恒建立，即2a≥－x＋x在3上恒建立，3∵－＋1max884xx＝，∴2a≥，即a≥.33334答案：3，＋∞9．已知R上可導函數f(x)的圖象如下圖，則不等式(x2－2－3)·′( )＞0的解集xfx為_________________________．分析：由題圖可知，fx＞0，x∈，＋∪－∞，－，fx＜0，x∈－1，，fx＞0，fx＜0，不等式(x2－2x－3)f′(x)＞0等價于x2－2x－3＞0或x2－2x－3＜0，解得x∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)13122則a的取值范圍10．若函數f(x)＝－x＋x＋2ax在，＋∞上存在單一遞加區(qū)間，323是________．21212分析：對f(x)求導，得f′(x)＝－x＋x＋2a＝－x－，＋∞時，2＋4＋2a.當x∈32221f′(x)的最大值為f′3＝9＋2a.令9＋2a＞0，解得a＞－9.因此a的取值范圍是1，＋∞.－91答案：－9，＋∞二、解答題11．已知函數f(x)＝x3＋2＋(，∈R)．試議論f()的單一性．axbabx解：′( )＝32＋2ax，令f′( )＝0，解得x1＝0，2a2＝－.fxxxx3當a＝0時，因為f′(x)＝3x2≥0，因此函數f(x)在(－∞，＋∞)上單一遞加；22當a＞0時，x∈－∞，－3∪(0，＋∞)時，f′(x)＞0，x∈－3，0時，f′(x)＜0，因此函數f(x)在－∞，－2a2a3，(0，＋∞)上單凋遞加，在－3，0上單一遞減；當a＜0時，∈(－∞，0)∪－2a，＋∞時，′( )＞0，∈0，－2a時，′( )＜x3fxx3fx0，4因此函數f(x)在(－∞，0)，－2a0，－2a3，＋∞上單一遞加，在3上單一遞減．12．(2018·宿遷期初測試)已知函數f(x)＝ex－ax－1.求函數f(x)的單一增區(qū)間．若f(x)在定義域R內單一遞加，務實數a的取值范圍．能否存在實數a，使得函數f(x)在區(qū)間(－∞，0]上單一遞減，在[0，＋∞)上單一遞加？若存在，求出a的值；若不存在，請說明原因．xxf(x)在R上單解：(1)易知f′(x)＝e－a.若a≤0，則f′(x)＝e－a＞0恒建立，即調遞加；若a＞0，令ex－a＞0，得ex＞a，即x＞lna，此時f(x)的單一增區(qū)間為(lna，＋∞)．xx(2)要使f(x)在R內單一遞