空間向量知識點歸納總結(一)（2022年-2023年）

空間向量知識點歸納總結

知識要點。

1.空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。

注(1)向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。

(2)空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示。

2.空間向量的運算。

定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘運算如下(如圖)。

OB—0A+AB=a+6；BA=OA—OB=3—6；。戶=九研九eR)

運算律：⑴加法交換律：a+b=b+a

(2)力口法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)

⑶數乘分配律：入(臺+6)=入+勿

3.共線向量。

(1)如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線

向量或平行向量，a平行于b,記作a〃b。

當我們說向量3、b共線(或Glaba"bab共面向量

(1)定義：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量。

說明：空間任意的兩向量都是共面的。

(2)共面向量定理：如果兩個向量不共線，7與向量瓦彳共面的條件是存在實數

x,y彳即=xa+yb。

5空間向量基本定理：如果三個向量萬萬C不共面，那么對空間任一向量力，存在一個

唯一的有序實數組x,y,z,使日=xa+yb+zc。

若三向量。，4c不共面，我們把他,5:｝叫做空間的一個基底，力丞：°叫做基向量，空間

任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。

推論：設0,A,民C是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的三個有序實數

x,y,z,f妙P=xOA+yOB+zOC。

6空間向量的直角坐標系：

(1)空間直角坐標系中的坐標：

在空間直角坐標系。-孫z中，對空間任一點A,存在唯一的有序實數組(x,y,z),使

OA=xi+jT+zk,有序實數組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標系。-xyz中的坐標，記作

A(x,y,z),x叫橫坐標，y叫縱坐標，z叫豎坐標。

(2)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1,這個基底叫單位正交基底,

用｛，,/,Z｝表示。

(3)空間向量的直角坐標運算律：

①若力=(a,a,a),B-(b,b,b),貝U2+方=(a+Z?,a+Z?,a+b),

123123112233

a-3=(a-h,a-b,a-b),入a=(入a,入a,入)(A，eR),

a

112233123

a-'Ti=ah+ab+ah,

112233

2〃%<=>a=Xb,a=Xb,a=X/?(Xe/?),

112233

a-L~b<^>abab+ab=0。

112233

(2^A(x,y,z),B(x,y,z),則而=(x--y,z-z)□

111222212121

一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點

的坐標。

(4)模長公式：若)=(a,a,a),B=(b也也),

123123

則Ia|=JZ?，=&2+々2+〃2,|5\=耶?6=Jb2+J2+b2

>123Y123

7\ah+ah+ah

（5）夾角公式:a-b\=-=；——Q。

fI。I,網Ja2+a2+a2J/72+。2+:2

123Y123

(6)兩點間的距離公式：若A(x,y,z),B(x,y,z),

111222

則IAB|=J而2=J(x-x)2+(y一個+七一爐

>212

或d=J（X-X）2+（y-y）2+（z-z）2

4B'212121

7空間向量的數量積。

。）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b,在空間任取一點。，作

OA=a,OB=b,則NA08叫做向量力與Z的夾角，記作＜%,%＞；且規(guī)定0W＜Z,Z＞＜叫顯

7C

然有＜d5＞=＜尻cr＞；若＜々,萬＞=_,則稱/與廣互相垂直，記作：dlho

0向量的模：^OA=a,則有向線段方的長度叫做向量了的長度或模，記作：\a\0

0向量的數量積：已知向量,則「“|?[0|?coswZ,〃>叫做8的數量積，記作

即萬?5=|￡|?16卜cos&,6>o

0空間向量數量積的性質：

①汗?e=|ZI|COS<(r,e>o?a1.b<^a-b=0o③臼商-a。

6空間向量數量積運算律：

@(A，a)-b=X(ff-b)=a-(Xl>)0②7z力=%.%(交換律)。

③心。+W)=Z.%+01c(分配律)。

6：空間向量的坐標運算：

1.向量的直角坐標運算

設4=(4,4,4),方=(。，。,力)則

123123

(1)a+b=(a+b,Q+b,Q+b)；(2)(1—b~(ci—h,ci—b,ci~b)；

112233112233

(3)Xa=(九〃，九Q,九Q)(AER)；(4)?%=ab+ab+ab；

123112233

2設A(x,y,z),B(x,y,z),則荏=瓦=(x-x,y-y,z-z).

111222212121

3、設之=(x,y,z),5=(x,y,z),則

111222

a||〃<=>1=九尻6wJ)；alboa-b=0xx+yy+zz=0.

11121212

ah+ah+ab

4夾角公式設a=(a,a,a),/T=(h,h,b),則C0S<e,6>=___

123123戶+。2+。2J》2+。2+。2

23V123

5異面直線所成角

八.|口力I\XX+VV+ZZI

COS0=|COS/a,I=_________=L12骨12

'/I?IF|Jx2+y2+Z2Jx2+y2+Z2

y1-11N222

6平面外一點p到平面a的距離

已知AB為平面a的一條斜線，，為平面a的一個法

向量，A到平面a的距離為："I

I?1

【典型例題】

例1.已知平行六面體ABCD-ABCD，化簡下列向量表達式，標出化簡結果的向量。

(DAB+BC；(2)AB+AD+AT；

(3)AB+AD+lcC；(4)1(AB+AD+A?T)0

23

例2.對空間任一點。和不共線的三點A,3,C,問滿足向量式:

OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1)的四點P,A,8,C是否共面？

例3.已知空間四邊形。4BC,其對角線08,AC,M,N分別是對邊0A,8C的中點，點G

在線段MN上，且MG=2GN,用基底向量次，麗,反表示

向量。Go

例4.如圖，在空間四邊形O4BC中，04=8,AB=6,AC=4,BC=5,NOAC=45,

NOAB=60°,求OA與8C的夾角的余弦值。

說明：由圖形知向量的夾角易出錯，如〈函，/>=135。蜃錯寫成k就,?>=45。，切

記!

例5.長方體ABC?！狝BCO中，AB=BC=4,E為AC與8。的交點，F為BC與BC

1111111

4

A.(1,2,-DB(-1,2,-1)

C.(-1-2,1)D.(1-2-1)

4R

2如圖，ABCD—ABCD是正方體，BE=DF=」j

111111114

所成角的余弦值是（）

.151

A.B.

172

17

3在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是正方形，E為PD中點,

~PA=a,PB=b,PC=c,則展=()

A.l?-S+lcBJ,S-1c

222222

C.la--b+lcD.la--b+-c

222222

二、填空題

4.若點A(1,2,3),B(—3,2,7),且■衣+反=0,則點C的坐標為.

5.在正方體ABCD-ABCD中，直線AD與平面ABC夾角的余弦值為.

111111

三、解答題

1、在正四棱柱ABCD-ABCD中,AB與底面ABCD所成的角為，

111114

⑴求證面ABC(2)求二面角B-AC-3的正切值

111

2在三棱錐PTBC中，A6=AC=3

AP=4,PAl^ABC,ZBAC=9Q°,。是PA中點，點E在BC

上，且BE=2CE,⑴求證：AC1BD；(2)求直線與PC夾

角。的余弦值；(3)求點A到平面的距離d的值.

3在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，ZBAD=90°,AD/7BC,AB=BC=a,AD=2a,

且PA_L底面ABCD,PD與底面成30°角.

①若AE_LPD,E為垂足，求證：BE1PD；

0求異面直線AE與CD所成角的余弦值.

4、已知棱長為1的正方體AC,E、F分別是BC、CD的中點.（1）求證：E、F、D、B共

I111

面（2）求點A到平面的BDEF的距（3）求直線AD與平面BD聃所成的角.

11.

5、已知正方體ABCD-ABCD的棱長為2,點E為棱AB的中點，求：

1111

(DDE與平面BCD所成角的大??；(II)二面角D-BC-C的大小；

111

【模擬試題】

1已知空間四邊形ABCQ,連結AC,8。，設M,G分別是的中點，化

簡下列各表達式，并標出化簡結果向量：(1)AB+BC+CD；(2)

AB+_(BD+BC)；

2

③和o

2

2已知平行四邊形ABCD,從平面AC外一點。引向量。

'OE=kO^dF=kO^OG=kdc^OH=kdDo(1)求證：四點E,尸,G,"共面；

(2)平面AC〃平面EGo

3如圖正方體ABC。—ABC。中，BE=DF=)AB,

11111111411

求BE與DF所成角的余弦。

11

4.已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)。

⑴求以向量,云為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；

⑵若向量力分別與向量而，/垂直，且=求向量五的坐標。

5.已知平行六面體ABCD-A'B'Ciy中，

AB=4,AD=3,AA'=5,/BAD=90°,

ZBAA'=ZDAA，=60。，求AC的長。

［參考答案］

1.解:如圖，

(1)AB+BC+CD=AC+CD=AD；

(2)AB