湖南省2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（四）

湖南省2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（四）

（理科）

（考試時(shí)間100分鐘滿分120分）

一、單項(xiàng)選擇題（共8小題，每小題5分，共4（）分）

1.設(shè)a,b是向量，命題"若a=-b,則|a|=|b的逆命題是（）

A.若泰E,則日忸向B.若：=-E,則曰罔E|C.若日阿E|,則WW-ED.若商=面,

則a二-b

2.已知a>b,c>d,且a,b,c,d均不為0,那么下列不等式成立的是（）

A.ac>bdB.ad>bcC.a-c>b-dD.a+c>b+d

3.若p：Vx￡R,sinx<l,則（）

A.-p：3xg^R,sinxg>lB.-p：Vx￡R,sinx>1

C.-p：3XQ^R,sinXQ>1D.-p：Vx￡R,sinx>l

4.若集合A={x|-142X+143},B={x|—<0},則ACB=（）

A.{x|-l<x<0}B.{x|0<x<l}C.{x|0<x<2}D.{x|O<x<l}

5.若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，長軸長與短軸長的和為18,一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（3,0）,則橢

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

B.15+fe=i

+

仁1625=1D.《看口

6.已知條件p：14x43,條件q：x2-5x+6<0,則p是4的（）條件.

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既非充分也非必要條件

1

7.若不等式ax2+bx-2>0的解集為｛x|-2Vx<-4｝則a,b的值分別是（）

A.a=-8,b=-10B.a=-1,b=9C.a=-4,b=-9D.a=-1,b=2

\+2y-5<0

8.設(shè)變量x,y滿足約束條件x-y-2<0,則2x+3y的最大值是()

.x>0

A.10B.9C.8D.7.5

二、填空題(共6小題，每小題5分，共30分)

9.在4ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若a=3,A=30°,B=45°,則b=

10.已知｛a"是等比數(shù)列，a2=2,a5=-1,則公比q=

22

11.雙曲線工=1的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則m的值=

4m

⑵函數(shù)f(x)=x+士(x>2)的最小值為一

13.若數(shù)列｛an｝滿足an=xn-2n,則數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和S/

'2x-y<0

14.已知實(shí)數(shù)x、y滿足，x+y-5>0,若不等式a(x2+y2)>(x+y)2恒成立，則實(shí)數(shù)a的最

y-4<0

小值是.

三、解答題（共5小題，共50分）

15.在銳角^ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b2+c2-a2=bc.

（1）求角A的大??；

（2）若a=",b+c=4,求AABC的面積.

16.等差數(shù)列｛a"足：a2+M=6,a6=S3,其中Sn為數(shù)列｛a》前n項(xiàng)和.

（1）求數(shù)列但3通項(xiàng)公式；

（II）若kGN*,且ak，a3k，S2k成等比數(shù)列，求k值.

17.已知c>0,且cwl,設(shè)p：函數(shù)y=c'在R上單調(diào)遞減；q：函數(shù)f（x）=x?-2cx+l在（寂

+8）上為增函數(shù)，若"p且q"為假，"p或q"為真，求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

18.某開發(fā)商用9000萬元在市區(qū)購買一塊土地建一幢寫字樓，規(guī)劃要求寫字樓每層建筑面積為

200（）平方米.已知該寫字樓第一層的建筑費(fèi)用為每平方米4000元，從第二層開始，每一層的

建筑費(fèi)用比其下面一層每平方米增加100元.

（1）若該寫字樓共x層，總開發(fā)費(fèi)用為y萬元，求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式；（總開發(fā)費(fèi)用=總

建筑費(fèi)用+購地費(fèi)用）

（2）要使整幢寫字樓每平方米開發(fā)費(fèi)用最低，該寫字樓應(yīng)建為多少層？

g+jjl（a>b>0）經(jīng)過點(diǎn)P（1,,離心率e=],直線1的方程為

19.如圖,橢圓C：

x=4.

（I）求橢圓c的方程;

(2)AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn)P),設(shè)直線AB與直線1相交于點(diǎn)M,記PA,

PB,PM的斜率分別為七，k2,k3.問：是否存在常數(shù)入，使得k]+k2=Ak3?若存在，求人的值;

若不存在，說明理由.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題

1.D.2.D.3.A4.B5.B.6.C7.C.8.B

二、填空題

a_b

9.解：由正弦定理,,可得,

sinAsinB

asinB

bu=-----學(xué)3?

sinA

2

故答案為：372.

10.解由題意:

3=a5=1

qTa2Ro

故答案是a

22

11.解：.?,雙曲線工-匕二i的虛軸長是實(shí)軸長的2倍,

4m

??2y二五，

解得m=16.

故答案為：16.

12.解：Vx>2,

.\x-2>0,

.,.f(x)=x+—^=(x-2)+—^-2>2J(X-2)-^-+2=4,

x-2x-2Vx-2

當(dāng)且僅當(dāng)X-2=1,即x=3時(shí)取等號(hào)

二函數(shù)f(x)的最小值為f(3)=4.

故答案為:4.

13.解：當(dāng)x=0時(shí)，an=-2n,，數(shù)列｛a"的前n項(xiàng)和S/二(-2;2n)--,-小

2

當(dāng)x=l時(shí)，an=l-2n,.?.數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和Sj-巴■。色二2一=-n；

2

當(dāng)xxO,1時(shí)，Sn=、*——LL-n2-n.

X-1

r2

-n~n,x=0

2

.??數(shù)列｛a"的前n項(xiàng)和S/，-n,x=l

n+1一

----:--n2-n,x#0,1

x一1

r2

-n-n,x=0

故答案為："n2'X=1

n+i_

---：--n2-n,x卉0,1

2x-yCO

14.解：實(shí)數(shù)x、y滿足x+y-5>0的可行域是一個(gè)三角形，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為（1,4）,

y-4<0

(2,4),信邛）

與原點(diǎn)連線的斜率分別為4,2,..登[2,4]

x

2

a(x2+y2)>(x+y)2等價(jià)于a21+y卜x

xy

V^6[2,4]

X

.?冬心理山

2xy44

?.1+=

55

.??實(shí)數(shù)a的最小值是2

5

故答案為：-I

5

三、解答題

2.2-2

bk+cabe1

15.解：（1）依題意：cos探

2bc~2bc~2

n

A=T

(2)由余弦定理得：a2=b2+c2-2bc?cosA,

即：a2-(b+c)2-2bc-be,

/.3bc=(b+c)2-a2=9,bc=3.

.c1,.4W3

.?3甌塞門1汕二丁.

（另解：算出b=l,c=3或c=l,b=3,沒有分情況說明扣.）

16.解：（I）設(shè)等差數(shù)列｛aj的首項(xiàng)為a1，公差為d,

由a2+a4=6,ag=S3，得

2a.+4d=6a(=l

,解得

ai+5d=3ai+3d3

an=l+lx(n-1)=n；

。2k(2k-l)2

(II)S2k=2k+------g----=2k+k>

由ak，a3k，S2k成等比數(shù)列，得

9k2=k(2k2+k),解得k=4.

17.解?.?函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減，.?.OVcVl.

即p：0<c<1,

YcX)且CHI,J_*P：c>1.

XVf(x)=x2-2cx+l在(2，+8)上為增函數(shù)，

即q：0<c<X

2

?；c>0且cwl,~~'q：c>±且CHL

又???“p或q〃為真，〃p且q〃為假,

，p真q假，或p假q真.

且

①當(dāng)p真，q假時(shí),{c|O<c<l}n{c|c>-1,c*l}={c|-i<c<l}.

②當(dāng)p假，q真時(shí),{c|c>l}n{c|O<c[]

綜上所述，實(shí)數(shù)C的取值范圍是{《〈cVl}.

18.解：(1)由已知，寫字樓最下面一層的總建筑費(fèi)用為：4()0()x20()0=8000000(元)=800(萬

元)，

從第二層開始，每層的建筑總費(fèi)用比其下面一層多：100x2000=200000(元)=20(萬元)，

寫字樓從下到上各層的總建筑費(fèi)用構(gòu)成以800為首項(xiàng)，20為公差的等差數(shù)列

所以函數(shù)表達(dá)式為：

y=f(x)=800x+---------X20+9000=10x2+*4790x+9000(x€N*)；-

(2)由(1)知寫字樓每平方米平均開發(fā)費(fèi)用為：

/、_f(x)……5(10X2+790X+9000)

8X)-2000xX10000=------------------

x

=50(x+^+79)>50X(27900+79)=6950(元).??

當(dāng)且僅當(dāng)X理，即x=3O時(shí)等號(hào)成立.

X

答：該寫字樓建為30層時(shí)，每平方米平均開發(fā)費(fèi)用最低.

22

19.解：(1)橢圓c：二+%=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)P(1,]),可得弓一^=1(a>b>0)

a2b22a4b

①

由離心率得號(hào)，即a=2c,則b2=3c2②，代入①解得c=l,a=2,b=Q

故橢圓的方程為(+[=1

(2)方法一：由題意可設(shè)AB的斜率為k,則直線AB的方程為y=k(x-1)③

22

代入橢圓方程三_+匕=1并整理得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0

43"

設(shè)A(xi，yp,B(X2，y2)，

8k24k2-12

xl+x2=---5->X<X2=----5---④

4kz+34kz+3

在方程③中，令x=4得，M的坐標(biāo)為（4,3k）,

y--y--3k-21

從而u2,"J2,2=k-J

kk2

k「x「l2-x2~l3-TT

yj丫2

注意到A,F,B共線，則有k=kAF=kBF，即有

X]-1X2-1

33

所以仆+k2Hl+dXy、1x（士+士）

Xj-1X2-1121212

一“3xl+x2-2合

=2k--x--------7------r-r⑤

2X[功-（X]+，2）+1

2

8k_2

④代入⑤得k]+k2=2k-4----;=2k-1

24k2-128k2,

2-2+1

4kq34kJ3

又k3=k--1,所以kI+k2=2k3

故存在常數(shù)入=2符合題意

方法二：設(shè)B(x0)y0)(x()xl),則直線FB的方程為尸一工(x-l)

x()I

、3yo

令x=4,求得M(4,------)

Xjj-l

2yn-x0+l

從而直線PM的斜率為k3=/二，

2(X。-

5x0-83yo）