八省聯(lián)考數(shù)學(xué)卷全國(guó)適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)卷(含答案詳細(xì)解析)

2022年-2023年最新

姓名考生號(hào)座位號(hào)

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬演練

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在

本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知M,N均為R的子集，且QMqN,則M|J（GN）（）

A.0B.MC.ND.R

2.在3張卡片上分別寫(xiě)上3位同學(xué)的學(xué)號(hào)后，再把卡片隨機(jī)分給這3位同學(xué)，每人1張，則恰有I位學(xué)生

分到寫(xiě)有自己學(xué)號(hào)卡片的概率為（）

3.關(guān)于x的方程x2+ar+b=0,有下列四個(gè)命題：

甲：x=l是該方程的根；乙：x=3是該方程的根；

丙：該方程兩根之和為2：?。涸摲匠虄筛愄?hào).

如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

X",9v"■?7T

4.橢圓「一+—=1（m>0）的焦點(diǎn)為上頂點(diǎn)為A,若4AE=一，則〃?=（）

nr+1"-3

A.1B.y[2c.>/3D.2

5.已知單位向量滿足仆3=0,若向量。=/亍。+>/5萬(wàn)，則sm〈a,c）=（）

A"BaC"D"

3399

2022年-2023年最新

e.(i+xp+a+xf+...+U+X)，的展開(kāi)式中爐的系數(shù)是()

A.60B.80C.84D.120

7.已知拋物線尸=2所上三點(diǎn)42,2),B.C,直線A8.AC是圓。一2)2+./=1的兩條切線，則直

線6c的方程為O

A.x+2y+l=0B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0

8.己知。<5且ae$=5e",b<4且be"=4/，c<3且ce'=3e'，則()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=xln(l+x),則()

A./(X)在(0,+s)單調(diào)遞增

B./(X)有兩個(gè)零點(diǎn)

C.曲線y=/(x)在點(diǎn)]一;J[-；)J處切線的斜率為一1一In2

D.f(x)是偶函數(shù)

10.設(shè)號(hào)，Z;,Z,為復(fù)數(shù)，"#0.卜列命題中正確的是()

A.若同=同,則Z2=±Z,B.若&Z2=&Zs，ROZ2=Z3

C.若心=么，則上仔2|=「號(hào)|D.若ZiZ2=|zj，則q=心

11.右圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，則在該正方體中()

A.AE//CDB.CH//BEC.DGLBHD.BG1DE

COQ9r

12.設(shè)函數(shù)/(x)=一甲任一，則()

2+sinxcosx

?)

2022年-2023年最新

A./(X)=/(X+.)B./⑴的最大值為:

C.f(x)在卜：,01單調(diào)遞增D./(x)在(0,()單調(diào)遞減

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、卜一底面半徑分別為4和5,則該圓臺(tái)的體

積為.

14.若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2,則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為.

15.寫(xiě)出一個(gè)最小正周期為2的奇函數(shù)/(X)=.

16.時(shí)一個(gè)物理量做〃次測(cè)量，并以測(cè)量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果.已知最后結(jié)果的誤差

%~'為使誤差J在(—050.5)的概率不小于0.9545,至少要測(cè)量______次(若X?N(〃,")，

則?(|X-〃|<2b)=0.9545)).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)

已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列｛(｝滿足an+2=2an+l+3a?.

(1)證明：數(shù)列｛q+。,田｝為等比數(shù)列：

I3

(2)若q=5，?-,=—.求｛q｝的通項(xiàng)公式.

18.(12分)

在四邊形A6C。中，AB//CD,AD=BD=CD=l.

3

(1)若A6=—，求5C；

2

(2)若AB=26C,求cosZBDC.

19.(12分)

一臺(tái)設(shè)備由三個(gè)部件構(gòu)成，假設(shè)在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1,2,3需要調(diào)整的概率分別為0.1.020.3,各部件的

狀態(tài)相互獨(dú)立.

2022年-2023年最新

（1）求設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中，部件1,2中至少有1個(gè)需要調(diào)整的概率：

（2）記設(shè)備在一天的運(yùn)轉(zhuǎn)中需要調(diào)整的部件個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

20.（12分）

北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用

曲率刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2%與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)

角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各

頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是?，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率

為2萬(wàn)一3入2=乃，故其總曲率為4乃.

3

（1）求四棱錐的總曲率：

（2）若多面體滿足：頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2,

證明：這類多面體的總曲率是常數(shù).

21.（12分）

雙曲線。：［一1=1（“>02>0）的左頂點(diǎn)為4,右焦點(diǎn)為尸，動(dòng)點(diǎn)5在C上.當(dāng)尸時(shí),

6TIT

|Af|=|8f|.

(1)求。的離心率：

(2)若5在第一象限，證明：ZBFA=2ZBAF.

22.(12分)

已知函數(shù)/(r)=e*-sinx-cosx,g(x)=e"+sinx+cosx.

（1）證明：當(dāng)x>一三時(shí)，/（x）^0；

4

(2)若g(x)22+ar,求a.

2022年-2023年最新

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試模擬演練數(shù)學(xué)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知均為R的子集，且GMRN,則MU(QN)=()

A.0B.Mc.ND.R

【答案】B

【分析】

由題意利用集合的包含關(guān)系或者畫(huà)出Venn圖，結(jié)合Venn圖即可確定集合的運(yùn)算結(jié)果.

【詳解】

解法一：：旦NM=醛N,據(jù)此可得.?.A/U(qN)=M.

故選:B.

解法二：如圖所示，設(shè)矩形48CD表示全集心

矩形區(qū)域ABHE表示集合M,則矩形區(qū)域CDEH表示集合QM,

矩形區(qū)域CDFG表示集合N,滿足qN,

結(jié)合圖形可得：MU(G,N)=M.

故選：B.

AFED

BGHC

2.在3張卡片上分別寫(xiě)上3位同學(xué)的學(xué)號(hào)后，再把卡片隨機(jī)分給這3位同學(xué)，每人1張，則恰有1位學(xué)生

分到寫(xiě)有自己學(xué)號(hào)卡片的概率為()

2022年-2023年最新

【答案】C

【分析】

由題意列出所有可能的結(jié)果，然后利用古典概型計(jì)算公式即可求得滿足題意的概率值.

【詳解】

設(shè)三位同學(xué)分別為A6,C,他們的學(xué)號(hào)分別為1,2,3,

用有序?qū)崝?shù)列表示三人拿到的卡片種類，如（L3,2）表示4同學(xué)拿到1號(hào)，8同學(xué)拿到3號(hào)，C同學(xué)拿到2號(hào).

三人可能拿到的卡片結(jié)果為：（L2,3）,（L3.2）,（2,1,3）,（2,3,1）,（3,L2）,（3,2,1），共6種，

其中滿足題意的結(jié)果有（L3,2）,（2,L3）,（3,24）,共3種,

31

結(jié)合占典概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值為：P=-=".

故選：C.

【點(diǎn)睹】

方法點(diǎn)睛：

有關(guān)占典概型的概率問(wèn)題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù).

⑴基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件-一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏.

（2）注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.

3,關(guān)于x的方程F+ax+6=0,有下列四個(gè)命題：甲：x=l是該方程的根；乙：x=3是該方程的根;

丙：該方程兩根之和為2；T：該方程兩根異號(hào).如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】A

【分析】

對(duì)甲、乙、丙、「分別是假命題進(jìn)行分類討論，分析各種情況卜一方程V+ar+8=O的兩根，進(jìn)而可得出結(jié)

論.

【詳解】

若甲是假命題，則乙丙J,是其命題，則關(guān)于x的方程V+ai+b=O的?根為3，

由于兩根之和為2,則該方程的另一根為一1，兩根異號(hào)，合乎題意；

6

2022年-2023年最新

若乙是假命題，則甲丙J,是真命題，則x=l是方程F+af+b=0的一根，

由于兩根之和為2,則另一根也為1，兩根同號(hào)，不合乎題意：

若丙是假命題，則甲乙「是真命題，則關(guān)于x的方程/+ox+b=0的兩根為1和3,兩根同號(hào)，不合乎題

意；

若「是假命題，則甲乙丙是真命題，則關(guān)于x的方程V+ar+6=0的兩根為1和3,

兩根之和為4,不合乎題意.

綜上所述，甲命題為假命題.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查命題真假的判斷，解題的關(guān)鍵就是時(shí)甲、乙、丙、「分別是假命題進(jìn)行分類討論，

結(jié)合已知條件求出方程的兩根，再結(jié)合各命題的真假進(jìn)行判斷.

*)?

4.橢圓4_+二=1(m>0)的焦點(diǎn)為K、人，上頂點(diǎn)為A，若則加=()

nr+1m~3

A.1B.72c.y/iD.2

【答案】C

【分析】

分析出AKAA為等邊三角形，可得出a=2c，進(jìn)而可得出關(guān)于m的等式，即可解得加的值.

【詳解】

*?，

在二橢同一；---卜=1(zw>0)111?a=ylirr4_11b=m,(、=>Ja2—b2=1,

W+1m~

如卜圖所示：

7

2022年-2023年最新

因?yàn)闄E圓上一+工=1(〃7>0)的上頂點(diǎn)為點(diǎn)4，焦點(diǎn)為《、尸二，所以|A/=|傷|=”,

nr+1m

?.?4AE=g,r.△KA尼為等邊三角形，則|AfJ=|K￡j,即J,”？+1=0=2c=2，

因此，用=>/j.

故選：C.

5.已知單位向量滿足￡.B=O，若向量c：=J7￡+JIB,貝！Jsin〈a,c〉=()

【答案】B

【分析】

本題借助cos〈a,c)=將2=J7a+代入化簡(jiǎn)即可.

【詳解】

.所以a=M=1.

因?yàn)閍8是單位向量

__la-cl卜+

所以sin〈a,c)—

R

2022年-2023年最新

故選：B.

6.(1+X『+(1+X)3+…+(1+X)9的展開(kāi)式中」的系數(shù)是()

A.60B.80C.84D.120

【答案】D

【分析】

(1++(1+X)，+…+(1+的展開(kāi)式中/的系數(shù)是c；+c；+c：+…+C；，借助組合公式：

C7+C：=CN，逐一計(jì)算即叱

【詳解】

(1+X)2+(1+.V)3+…+(1+刈9的展開(kāi)式中X?的系數(shù)是+C；+C：+…+C;

因?yàn)閏：T+c：=C著且=C；，所以C；+C；=c+C；=c,

所以c；+c；+c：=c：+c：=c；,

以此類推，C1C；+C：+-+C；=C：+C；=C；o=10x9x8=120.

-3x2x1

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題關(guān)鍵點(diǎn)在于使用組合公式：C：i+C：=C￡,以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用.

7.已知拋物線y二=2px上三點(diǎn)42,2),氏C,直線A5,AC是圓0一2尸+歹=1的兩條切線，則直線5c

的方程為()

A.戈+2y+l=0B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0

【答案】B

【分析】

先利用點(diǎn)4(2,2)求拋物線方程，利用相切關(guān)系求切線AB,4C,再分別聯(lián)立直線和拋物線求出點(diǎn)用C,即

求出直線5c方程.

【詳解】

A(2,2)在拋物線y，=2px上，故2二=20*2,即p=l,拋物線方程為=2x,

9

2022年-2023年最新

設(shè)過(guò)點(diǎn)A(2,2)與圓。一2『+)尸=1相切的直線的方程為：y-2=k(x-2),即h-y+2-2&=0,則

\2k-Q+2-2k\_

圓心(2,0)到切線的距離d=解得k=±JT，如圖，直線A6:y-2=JJ(x-2).

y/k2+l

fitMAC:y-2=->/3(x-2).

V12；&(x-2),得3/+(4>/1-14b+16-8百=0,

聯(lián)立

.16-85/3+v。汨8-4>/3.2>/3-6

故乙/=―六，由4=2得/=_于，_,故》日=-^—，

聯(lián)立<''[2=8(*-2),得312-(4退+141+16+8"=0,

y=2x

a16+8布,v,汨8+4有蝴-243-6

故XEc=——「一，由.口=2得%=—故先=------

故治+n=2*6-二2,二6=_4,又由8,C在拋物線上可知，

k--Fr_2_2__1

直線8c的斜率為BCxB-xc121—7K+yr-42，

*一萬(wàn)興

故直線BC的方程為y-壽；，=~^[X~上￥j'即3x+6.V+4=0.

故選：B.

m

2022年-2023年最新

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：

求圓的切線的方程的求法：

(1)幾何法：設(shè)直線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑構(gòu)建關(guān)系求出參數(shù)，即得方程：

(2)代數(shù)法：設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與圓的方程，使判別式等于零解出參數(shù)，即可得方程.

8.已知a<5且ae5=5e-b<4且和」=4e。c<3且］=3e",貝！I()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<hD.a<b<c

【答案】D

【分析】

令/(x)=U,x〉O,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性后可得4瓦c的大小.

【詳解】

因?yàn)閍e$=5e",a<5,故a>0,同理b>0,c>0,

令/(x)=1,x>0,則((x)

XX-

當(dāng)0cx<1時(shí),/'(x)<0,當(dāng)x>l時(shí),/"(x)>0,

故/(X)在(0.1)為減函數(shù),在(1,+oc)為增函數(shù)，

r15a

因?yàn)閍e5=5e",a<5,故J=J即/(5)=/(a),而0<a<5,

5a

故Ovavl,同理