第3章線性系統的時域分析法

第3章線性系統的時域分析法內容重點：典型響應的性能指標一階系統的時域分析二階系統的時域分析穩(wěn)態(tài)分析本章主要內容本章介紹了限制系統時域性能分析法的相關概念和原理。包括各種典型輸入信號的特征、限制系統常用性能指標、一階、二階系統的暫態(tài)響應、脈沖響應函數及其應用、限制系統穩(wěn)定性及穩(wěn)定判據、系統穩(wěn)態(tài)誤差等。本章重點通過本章學習，應重點駕馭典型輸入信號的定義與特征、限制系統暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標的定義及計算方法、一階及二階系統暫態(tài)響應的分析方法、限制系統穩(wěn)定性的基本概念及穩(wěn)定判據的應用、限制系統的穩(wěn)態(tài)誤差概念和求取等內容。３.1典型響應和性能指標一.典型初狀態(tài)符合一般物理規(guī)律時域分析法：以時間為自變量分析系統在某種典型輸入下系統輸出的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)規(guī)律，并分析其結構和參數對動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能的影響，并指出改善性能的方向。二．典型外作用

1階躍函數圖3.1典型外作用at>=0a為常數

0t<0

aatttt2.斜坡函數at3.單位志向脈沖

4正弦asinωt

L[δ(t)]=1]

5.加速度函數6.余弦函數acosωt三典型時間響應1.

單位階躍響應Φ（s）*R(s)=Φ(s)*1/sh(t)=L-1[Φ(s)*1/s]2.

單位斜坡響應Ct(s)=Φ（s）*R(s)=Φ(s)*1/s2Ct(t)=L-1[Φ(s)*1/s2]3.

單位脈沖響應K(s)=Φ（s）*R(s)=Φ（s）*1=Φ（s）K(t)=L-1[Φ(s)]與傳遞函數的信息相同4.隨意輸入下系統的響應隨意輸入x(t),k(t)為脈沖響應。輸入函數分為N段,每段，N趨于無窮間隔趨于零。輸入信號相當于N個脈沖信號。在時刻輸入信號的強度為由疊加原理有系統的輸出為

tN等分X(t)與傳遞函數的定義結論相同系統的動態(tài)和靜態(tài)過程動態(tài)過程：系統在典型信號下系統輸出量從初態(tài)到終態(tài)的響應過程。過程一般表現為衰減、振蕩，收斂。用動態(tài)特性描述。穩(wěn)態(tài)過程：系統在典型信號下，時間趨于無窮時系統輸出量的表現方式。用穩(wěn)態(tài)性能描述。一般指穩(wěn)態(tài)誤差。系統在典型信號下的性能指標由動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能組成。四．階躍響應的性能指標圖3.2單位階躍響應曲線及性能指標tr誤差帶td超調量描述穩(wěn)定系統在單位階躍函數作用下動態(tài)過程隨時間變更的指標稱為動態(tài)性能指標。１、峰值時間tp指輸出響應超過穩(wěn)態(tài)值而達到第一個峰值所需時間。２、超調量σ%指暫態(tài)過程中輸出響應的最大值超過穩(wěn)態(tài)值的百分數。3、延遲時間tr：響應第一次到達終值一半的時間4、調整時間ts指當c（t）和c（∞）之間誤差達到規(guī)定允許值（一般取c（∞）的±５％，有時取±２％）并且以后不再超過此值所需的最小時間。5、上升時間：振蕩系統響應從0到第一次上升到終值所需時間或響應從終值10%上升到終值90%所需時間6、穩(wěn)態(tài)誤差еss（穩(wěn)態(tài)性能指標限制精度和抗擾實力的量度）對單位負反饋系統，當時間t趨于無窮大時，系統的單位階躍響應的實際值（即穩(wěn)態(tài)值）與期望值（即輸入量１（t））之差，定義為穩(wěn)態(tài)誤差，即еss=1-с(∞)6、延遲時間td響應時間第一次到達終值一半時間。3-2一階系統分析一、

數學模型圖3.3一階系統典型結構Φ（s）=C(s)/R(s)=1/(Ts+1)一階系統微分方程二、

單位階躍響應

響應是初值為零指數規(guī)律上升到穩(wěn)態(tài)的曲線圖3.4一階系統單位階躍響應曲線（2）響應曲線的初始斜率為1/T,隨時間變更減小。可以用初始斜率確定T，或判別是否為一階系統1/T響應特點（1）可以用T來衡量輸出數值，如上圖

σ%=0或無意義，tp不存在ts=3T(對應5%誤差帶)ts=4T(對應2%誤差帶)可見T反應系統的慣性ess=1-h(∞)=1-1=0性能由定義求出性能指標三解：1.

ts=3T=3*0.1=0.3秒2.

例3.1一階系統如圖所示，試求系統單位階躍響應的調整時間ts.假如要求ts=0.1秒，試問系統的反饋系數應調整為何值？T=0.01/KH

ts=3T=0.03/KH0.1=0.03/KHKH=0.3圖3.5系統結構圖-3-3典型二階系統分析一、

數學模型

K1/SK2/(TS+1)RC參數關系如下阻尼比自然頻率開環(huán)增益二、

單位階段響應h(t)的一般式C1=ωn2/(s1-s2)s1;C2=ωn2/(s2-s1)s2圖３.７二階系統動態(tài)結構

則單位階躍響應一般式R(s)C(s)二階系統的響應特點和特征根的性質ξ>1稱過阻尼，由上知，s1，s2為兩個不等的負實根。ξ=1稱臨界阻尼，s1，s2為一對相等的負實根-ωn0<ξ<1稱為欠阻尼，特征根將為一對實數部為負的共軛復數。ξ=0稱0阻尼，s1，s2由上可看出為一對虛實部的特征根ξ<0則稱負阻，系統將出現正實部的特征根。1、

過阻尼二階系統的單位階躍響應圖3.8過阻尼二階系統h(t)曲線ξ>=0.75%誤差帶響應特點非振蕩2、臨界阻尼二階系統的單位階躍響應s1,2=-ωn13、欠阻尼二階系統單位階躍響應輸出為響應由兩部分穩(wěn)態(tài)為1，瞬態(tài)為阻尼正弦震蕩頻率為稱為阻尼振蕩頻率。收斂速度由指數函數的冪確定為衰減系數。

wn為自然頻率欠阻尼二階系統的動態(tài)性能分析在圖中稱為阻尼角無零點欠阻尼二階系統的動態(tài)性能指標計算公式（1）延遲時間的計算在繪制出ntd和之間的關系曲線，利用曲線擬合方法，當阻尼比在欠阻尼時或（2）上升時間的計算多點值為1，由物理意義取最小值結論：極點遠離虛軸延遲時間變快（3）峰值時間的計算（4）超調量的計算根據超調量的定義，并考慮到系統的超調量由系統的阻尼比唯一確定（5）調整時間的計算為了簡化調整時間的計算，一般用包絡線來代替實際響應估算調整時間。在，誤差帶時，可用以下近似估算公式：也可以用以下公式估算：調整時間的計算過程利用包絡線計算過程如圖，系統的響應在包絡線內，包絡線方程為利用

1包絡線與誤差帶的交點來近似計算，結果較保守。t二階系統單位階躍響應的性能指標歸納如下：或事實上，上述各項性能指標之間的存在沖突，例如上升時間（響應速度）和超調量（阻尼程度或相對穩(wěn)定性）性能與參數K的關系1、K值增大阻尼減小上升超調增大過渡過程平穩(wěn)性變壞，響應時間變快，說明調整K使系統的平穩(wěn)性和快速性沖突。K值減小狀況與Ｋ增大狀況相反。２、性能與參數T的關系T值減小阻尼增大超調減小過渡過程平穩(wěn)性變好，ts減小響應時間加快。T值增大阻尼減小超調增大過渡過程平穩(wěn)性變壞，響應時間變長。調整參數T可使系統的性能變好，但是參數T為系統固有一般無法調整。性能與參數的關系阻尼比增大超調減小，響應加快。反之系統性能變壞。性能與自然頻率的關系：與超調無關，自然頻率增加，響應加快。反之變慢。4、過阻尼二階系統的動態(tài)過程分析過阻尼系統響應緩慢，對于一般要求時間響應快的系統過阻尼響應是不希望的。但在有些應用場合則須要過阻尼響應特性：例如（1）大慣性的溫度限制系統、壓力限制系統等。（2）指示儀表、記錄儀表系統，既要無超調、時間響應盡可能快。另外，有些高階系統可用過阻尼二階系統近似。過阻尼動態(tài)性能指標：延遲時間、上升時間、調整時間因為求上述指標，要解一個超越方程，只能用數值方法求解。利用曲線擬合法給出近似公式，或繪制曲線查表運用（1）延遲時間計算（2）上升時間計算（3）調節(jié)時間計算利用wntr關系曲線查表計算1、工程上繪出T1/T2與ts/T1的關系曲線，然后查表計算。2、T1>4T2時,系統近似一階系統。極點為-1/T13-4二階系統的單位斜坡響應一、欠阻尼單位斜坡響應ess單位斜坡響應曲線誤差響應曲線穩(wěn)態(tài)誤差，峰值時間，最大偏移量，調整時辰表示單位斜坡響應性能。阻尼比減小使系統的tp和誤差減小。ts和最大偏移量增大，動態(tài)性能變差。二、臨界阻尼單位斜坡響應三、過阻尼單位斜坡響應結論：利用斜坡響應可以計算系統的性能，但不如階躍響應計算性能便利例：單位負反饋二階系統的單位階躍響應曲線如圖所示。試確定系統的閉環(huán)傳函。解依圖可知誤差帶tp=0.40.4C(t)系統結構圖如下由響應圖形可知系統與典型二階系統有確定的區(qū)分,k`=0.8k`C(t)依據終值定理四、二階系統性能的改善改善二階系統性能的兩種方法：附加開環(huán)零點和局部反饋。其中附加開環(huán)零點有兩種方案1（方案1）比例-微分限制理論分析：比例-微分限制對系統性能的影響原系統Td=0,開環(huán)增益和新系統一樣。對穩(wěn)態(tài)誤差沒影響稱為有零點二階系統其性能指標須要依據定義重新計算。我們是否可以利用典型二階系統的性能公式呢？為了應用典型二階系統的性能指標公式。對新系統引入慣性環(huán)節(jié)，約去零點.同時還能過濾輸入噪聲。此時系統的結構圖如下。1/（TdS+1）TdS+1k/(Ts+1)結論：1、比例-微分限制不變更系統的自然頻率。2、比例微分限制可增大系統阻尼，減小階躍響應的超調量，縮短調整時間；改善了系統的動態(tài)性能。3、開環(huán)增益不變，穩(wěn)態(tài)誤差沒有影響；4、微分對于噪聲（高頻噪聲）有放大作用，在輸入端噪聲較強時，不用比例-微分限制。可以輸入端引入濾波環(huán)節(jié)。5、適當選擇開環(huán)增益和微分時間常數，既可減小系統斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差，又可使系統具有滿足的階躍響應性能。（穩(wěn)定性，快速性提高）（方案b）測速反饋限制開環(huán)增益與原系統相比下降。影響穩(wěn)態(tài)誤差結論：（1）測速反饋可以增加阻尼比，但不影響系統的自然頻率；（2）測速反饋不增加系統的零點，對系統性能改善的程度與比例-微分限制是不一樣的；（3）測速反饋會降低系統原來的開環(huán)增益，通過增益補償，可不影響原系統的穩(wěn)態(tài)誤差。上述兩種方案對比：1、附加阻尼來源不同：PD阻尼來自誤差信號的速度，測速反饋來自輸出端響應速度，后者穩(wěn)態(tài)誤差較大2、運用環(huán)境不同：方案1對噪聲有放大作用，當輸入有嚴峻噪聲時不宜接受。方案2對輸入噪聲有濾波作用。應用較廣。3、對開環(huán)增益和自然頻率的影響：方案1對開環(huán)增益和自然頻率沒有影響。方案2對自然頻率無影響，但降低了開環(huán)增益。影響穩(wěn)態(tài)誤差。解決方法，增大開環(huán)增益。但導致系統的自然頻率增大，簡潔引起共振4、動態(tài)性能影響：方案1相當加入系統實零點，加快上升時間。相同條件下方案1的超調量大于方案2。引入局部反饋法假如時間常數可以調整那么系統的性能調整便利了。結構圖如下K1/(Ts+1)K2/saRC局部反饋的等效對比原環(huán)節(jié)發(fā)覺從等效的角度新系統的時間時間常數減小了變?yōu)槭瓜到y的動態(tài)性能變好了。結論（1）可見增大了阻尼比，減小超調，調整時間變快。改善的系統的動態(tài)性能，自然頻率不變。（2）系統的開環(huán)增益下降，穩(wěn)態(tài)誤差有影響?？梢酝ㄟ^調整系統的增益來解決。（3）實現的關鍵為局部反饋信號是否能引出例：已知系統如圖1、K=4,T=0時計算系統的Ts和MpK/s(s+1)Ts+1傳函和參數的計算，T不為零時：T=0.457(s)Mp=4.3%ts=2.12(s)可見引入測速反饋后系統的動態(tài)性能得到改善。3-5高階系統的動態(tài)分析1.閉環(huán)傳遞函數為：

2.輸入為：

3.輸入響應為：

4.拉氏反變換

分析閉環(huán)極點遠近的問題！一、閉環(huán)主導極點確定系統的性能假如系統中有一個極點或一對復數極點距虛軸最近,且旁邊沒有閉環(huán)零點。其它閉環(huán)極點和零點與虛軸的距離都比該極點與虛軸距離大5倍以上,則此系統的響應可近似地視為由這個（或這對）極點所產生.(近似為一階或二階系統，可為他們的組合)。其余的可以省略。這樣的極點稱為閉環(huán)主導極點.閉環(huán)偶極子彼此接近的零極點稱為閉環(huán)偶極子?？梢詫ο?．左半復平面上離虛軸最近極點是一對共軛復數極點，且它們旁邊沒有閉環(huán)零點2.由靠虛軸最近的那對共軛復數極點所對應的運動重量占主導作用，把這對閉環(huán)極點稱主導極點。閉環(huán)主導極點閉環(huán)偶極子b大于5a練習：單位反饋系統的閉環(huán)傳遞函數

1.離虛軸最近的極點

四周沒有零點2.79.33/6.48=12.24

主導極點閉環(huán)偶極子

S4=-79.33化簡結果：性能指標變換前后保證系統的增益不變[例]閉環(huán)限制系統的傳遞函數為，求單位階躍響應，性能指標tp=6.5s3-6線形系統穩(wěn)定性分析一、穩(wěn)定的概念設系統處于某一起始的平衡狀態(tài)，在外作用影響下它離開平衡狀態(tài)，當外作用消逝后，若經過足夠長的時間它能回復到原來的平衡狀態(tài)，則稱這樣的系統是穩(wěn)定的，或稱系統具有穩(wěn)定性，否則是不穩(wěn)定的或不具有穩(wěn)定性。一個自動限制系統必需是穩(wěn)定的自動限制系統穩(wěn)定的定義（平衡下的穩(wěn)定）1、偏差引起的信號的變更不得超過系統的線形范圍，如圖示2、穩(wěn)定性和系統的本身結構和參數有關和擾動無關3、穩(wěn)定性反應在擾動消逝后的過渡過程上大范圍穩(wěn)定小范圍穩(wěn)定線性系統運動的穩(wěn)定性和平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的關系。運動的穩(wěn)定性和平衡狀態(tài)穩(wěn)定性嚴格來講不一樣，但線性系統兩者是一樣的。所以穩(wěn)定對線形系統而言，是在初始擾動下動態(tài)過程隨時間衰減并趨于零的過程。反之稱為不穩(wěn)定。二、線性系統穩(wěn)定的充分必要條件

假設系統的初態(tài)為零，作用系統一個志向單位脈沖，（相當于系統的一個擾動）系統的脈沖響應函數就是系統閉環(huán)傳遞函數的拉氏反變換.n=q+2r,q實極點個數,r復極點對數.線性系統穩(wěn)定的充分必要條件

系統穩(wěn)定充要條件:閉環(huán)特征方程式的根須都位于s的左半平面.（虛軸左側）不穩(wěn)定系統:只要有一個正實根或一對實部為正的復數根.假如系統有零實部根，其余為負實部根，c(t)為常數或正弦振蕩項，系統處于臨界穩(wěn)定，屬于不穩(wěn)定。不穩(wěn)定系統的結果:物理系統的輸出量只能增加到確定的范圍,此后或者受到機械制動裝置的限制,或者系統遭到破壞,也可能當輸出量超過確定數值后,系統變成非線性的,由于非線性因素存在,表現為等幅振蕩.將各項系數,排成勞斯表可求得n+1行系數三、勞斯穩(wěn)定判據——勞斯表1.勞斯穩(wěn)定判據(Routh’sstabilitycriterion)

勞斯穩(wěn)定判據是依據勞斯表第一列系數符號的變更,判別特征方程式根在s平面上的具體分布。特征方程中各項系數為正是線性系統穩(wěn)定的必要條件。假如勞斯表中第一列的系數均為正值,則特征方程式的根都在s的左半平面,系統是穩(wěn)定的.假如勞斯表中第一列系數的符號有變更,其變更次數等于該特征方程式的根在s的右半平面上的個數,系統為不穩(wěn)定.勞斯表中用一個正整數乘或除某一行不變更勞斯判據結論。符號改變一次符號改變一次

。別試用Routh判據判

054s3s2ss

設有特征方程

例234該系統的穩(wěn)定性=++++2.勞斯穩(wěn)定判據的特殊狀況某行第一個元素為零2.勞斯穩(wěn)定判據的特殊狀況某行第一個元素為零有一對純虛根存在改變一次改變一次用ε代表0,此時有一對純虛根存在,系統是不穩(wěn)定的.根為:+j,-j,-1,-2解:[例]判穩(wěn)2.勞斯穩(wěn)定判據的特殊狀況某行全為零存在確定值相同符號相反的特征根有一個正實部根,系統不穩(wěn)定.C(s)R(s)-勞斯穩(wěn)定判據的應用

例:三階系統穩(wěn)定的充要條件是:例系統如圖利用穩(wěn)定性分析參數k和時間常數T的關系。系統的特征方程為k/[(T1s+1)(T2s+1)(T3s+1)]分三種狀況進行分析由勞斯判據可得k大于零同時列出勞斯表（略）T1=T2=T3時0<k<8T1=10T2=10T3時0<k<24.2T1=10T2=100T3時0<k<122.2說明系統的穩(wěn)定性和參數的關系：時間常數錯開越大系統的穩(wěn)定性越好。對系統的動態(tài)性能設計越有利。結構不穩(wěn)定問題：依靠調整系統的參數無法保證系統的穩(wěn)定。系統的特征方程為缺項系統不穩(wěn)定，緣由前向通道積分環(huán)節(jié)多。解決方法等效削減積分環(huán)節(jié)接受局部反饋等效后傳函為k/(s+ka),積分環(huán)節(jié)變?yōu)閼T性環(huán)節(jié)。引入PD校正如圖特征方程為b>T系統穩(wěn)定k/sabs+13-7線性系統穩(wěn)態(tài)誤差分析一、穩(wěn)態(tài)誤差的定義（１）從輸入端定義E(s)實際意義（２）從輸出端定義數學意義+-R(s)C(s)G(s)H(s)兩種定義間的聯系對上結構圖進行等效變換1/HR(s)R1(s)E1(s)GHC(s)R1代表希望值，誤差為E1=R1-C單位反饋條件下兩者定義一樣。如不一樣可利用E1=E(s)/H(s)進行變換。開環(huán)傳遞函數由終值定理：誤差的計算過程由穩(wěn)態(tài)重量和動態(tài)重量組成，時間趨于無窮時動態(tài)重量為零，穩(wěn)態(tài)誤差定義為誤差的穩(wěn)態(tài)重量。SE(s)的極點均位于S左半平面時二、限制系統的型別（輸入確定時誤差與開環(huán)傳遞函數描述的系統結構有關）開環(huán)傳遞函數中積分環(huán)節(jié)的個數上很少見分類的優(yōu)點：依據輸入信號判別是否存在原理性誤差及誤差的大小誤差通式的計算當S趨于零時G0（S）=1則影響誤差的因素有系統的型別，開環(huán)增益，輸入信號的大小和形式。三.給定輸入信號作用下系統的穩(wěn)態(tài)誤差

1.

階躍函數輸入階躍輸入無差的話，選用Ⅰ型或以上系統，系統在階躍輸入下穩(wěn)態(tài)誤差稱為靜差。0型系統稱為有差系統2.斜坡函數輸入令靜態(tài)速度誤差系數,0型系統

I型系統II型系統結論：0型系統不能跟蹤斜坡輸入，I型單位反饋系統穩(wěn)態(tài)輸出速度與輸入速度相同，存在一個穩(wěn)態(tài)位置誤差。II型及以上系統穩(wěn)態(tài)時能精確跟蹤斜坡輸入信號，不存在位置誤差。3.加速度函數輸入I型系統0型系統II型系統Ⅲ型系統精確跟蹤無位置誤差存在位置誤差輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差系統型別靜態(tài)誤差系數0型I型II型000階躍輸入斜坡輸入拋物線輸入000Ⅲ型及以上，誤差系數為無窮，上述誤差為零[例1]

單位反饋求解:I型系統[例2]

+-R(s)C(s)解:(1)判穩(wěn)特性方程穩(wěn)定的充要條件:即:求穩(wěn)態(tài)誤差系統的開環(huán)傳函系統的型別為II型誤差系數分為利用疊加原理例題如圖示求單位斜坡下的穩(wěn)態(tài)誤差由勞斯判據得0<k<6系統是穩(wěn)定的計算誤差有意義。G（S）其中k=6系統處于臨界穩(wěn)定，系統的開環(huán)傳函為為Ⅰ型系統kv=k。四、擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

負載力矩的變更、放大器的零點漂移、電網電壓波動和環(huán)境溫度的變更等，這些都會引起穩(wěn)態(tài)誤差。擾動不行避開它的大小反映了系統抗干擾實力的強弱。擾動穩(wěn)態(tài)誤差Xi=0,希望輸出為c0=0則擾動作用下E(s)=-XNs(s)求穩(wěn)態(tài)誤差

舉例

解：

已知：五、提高穩(wěn)態(tài)精度的方法：1、增大系統開環(huán)增益或