《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（2）》示范公開課教學(xué)設(shè)計(jì)【高中數(shù)學(xué)人教A版】

《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（2）》教學(xué)設(shè)計(jì)引入新課研究數(shù)列問題的思路：探究新知思考：等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是什么？答案：知識應(yīng)用例1如圖，正方形的邊長為，取正方形各邊的中點(diǎn)，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的中點(diǎn)，作第3個正方形，依此方法一直繼續(xù)下去．（1）求從正方形開始，連續(xù)10個正方形的面積之和；（2）如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將無限趨近于多少？追問1：如何求每個正方形的面積？答案：需要知道每個正方形的邊長．追問2：每個正方形的邊長之間有什么關(guān)系？答案：觀察圖形，列舉第1個正方形邊長；第2個正方形邊長；第3個正方形邊長；第4個正方形邊長；……設(shè)第個正方形的邊長為，則第個正方形的邊長為．得到結(jié)論：設(shè)這10個正方形的邊長構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．追問3：每個正方形的面積之間有什么關(guān)系？答案：第1個正方形面積；第2個正方形面積；第3個正方形面積；第4個正方形面積；……設(shè)第個正方形的面積為，則第個正方形的邊長為．得到結(jié)論：設(shè)這10個正方形的面積構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．追問4：怎么求連續(xù)10個正方形的面積之和？答案：這10個正方形的面積之和即為等比數(shù)列的前10項(xiàng)和，等比數(shù)列求和公式有兩種，根據(jù)題意我們選擇第一種．具體計(jì)算一下：設(shè)正方形的面積為，后繼各正方形的面積依次為，則，由于第個正方形的頂點(diǎn)分別是第個正方形各邊的中點(diǎn)，所以．因此是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．設(shè)的前項(xiàng)和為．則．所以前10個正方形的面積之和為．（2）如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將無限趨近于多少？追問1：當(dāng)無限增大時，所有這些正方形的面積之和如何表示？答案：．追問2：的變化與什么量有關(guān)？答案：的變化與有關(guān)．隨著的無限增大，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，將無限趨近于0，無限趨近于1．當(dāng)無限增大時，無限趨近于所有正方形的面積和．而，隨著的無限增大，將無限趨近于0，將無限趨近于50．所以，所有這些正方形的面積之和將無限趨近于50．這里用到了極限的思想，極限指的是在一定的變化過程中，總體逐漸穩(wěn)定的一種變化趨勢以及趨向的值．極限思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，我們要體會應(yīng)用極限思想分析問題和解決問題．例2去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理．預(yù)計(jì)每年生活垃圾的總量遞增，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸．為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請你測算一下從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量（精確到0.1萬噸）．追問1：每年生活垃圾的總量之間有什么關(guān)系？去年：20萬噸第一年：萬噸；第二年：萬噸；第三年：萬噸；第四年：萬噸；……因此，從今年起每年生活垃圾的總量構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．追問2：每年以環(huán)保方式處理的垃圾量有什么關(guān)系？去年：6萬噸第一年：萬噸；第二年：萬噸；第三年：萬噸；第四年：萬噸；……因此從今年起每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．經(jīng)分析我們知道，每年生活垃圾的總量構(gòu)成數(shù)列．每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構(gòu)成數(shù)列．追問3：怎樣表示每年通過填埋方式處理的垃圾總量？可以用表示．解：設(shè)從今年起每年生活垃圾的總量（單位：萬噸）構(gòu)成數(shù)列，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量（單位：萬噸）構(gòu)成數(shù)列，年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量為（單位：萬噸），則，，當(dāng)時，．所以從今年起5年內(nèi)，通過填埋方式處理的垃圾總量約為63.5萬噸．生態(tài)文明建設(shè)需要環(huán)保，環(huán)保是生態(tài)文明建設(shè)的重要組成部分在生活中我們需要節(jié)約資源，綠色環(huán)保和垃圾分類，通過計(jì)算我們了解到每年生產(chǎn)生活產(chǎn)生的垃圾是一個龐大的數(shù)字，處理垃圾是我們不得不面對的任務(wù)。我們要增強(qiáng)環(huán)保意識．方法提煉：本題是一個有關(guān)等差數(shù)列與等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的綜合應(yīng)用問題，我們可以根據(jù)實(shí)際問題情境，構(gòu)建出兩個數(shù)列——等比數(shù)列與等差數(shù)列，而與問題的解決直接相關(guān)的量——每年以填埋方式處理的垃圾量可以用這兩個數(shù)列的差構(gòu)成的數(shù)列來表示．于求年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾量，就轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的前項(xiàng)和．而要求這個陌生數(shù)列的和，則需要把它轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)掌握的等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和問題，分組進(jìn)行求和，從而獲得問題的解答．課堂小結(jié)（1）掌握用等比數(shù)