《正方形的性質(zhì)與判定》第2課時(shí)示范公開課教學(xué)PPT課件【九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)北師大】

第一章特殊的平行四邊形正方形的性質(zhì)與判定第2

課時(shí)1．探索并證明正方形的判定定理，進(jìn)一步發(fā)展推理能力．2．體會(huì)探索與證明過程中所蘊(yùn)含的抽象、推理等數(shù)學(xué)思想．學(xué)習(xí)目標(biāo)將一張長(zhǎng)方形紙對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角，打開.怎樣剪才能剪出一個(gè)正方形？

只要確保剪口線與折痕成45°角即可剪出一個(gè)正方形情境導(dǎo)入議一議：滿足什么條件的矩形是正方形？滿足什么條件的菱形是正方形？答：（1）直接用正方形的定義判定，即先判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，若這個(gè)平行四邊形有一個(gè)角是直角，并且有一組鄰邊相等，那么就可以判定這個(gè)平行四邊形是正方形；探究新知（2）先判定一個(gè)四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形是菱形，那么這個(gè)四邊形是正方形；（3）先判定一個(gè)四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形是矩形，那么這個(gè)四邊形是正方形．后兩種判定均要用到矩形和菱形的判定定理．矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基礎(chǔ)．這三個(gè)方法還可寫成：探究新知（1）有一個(gè)角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形；（2）有一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）對(duì)角線垂直的矩形是正方形；（4）對(duì)角線相等的菱形是正方形；（5）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形．探究新知證明：（2）已知：如圖，四邊形ABCD是矩形，且AB=AD．求證：四邊形ABCD是正方形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°．又∵AB=AD，∴四邊形ABCD是正方形．探究新知（3）已知：如圖，四邊形ABCD是矩形，AC，BD是對(duì)角線，且AC⊥BD．求證：四邊形ABCD是正方形．證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OD=OB，∠DAB=90°又∵AC⊥BD，OA=OA∴∠DOA=∠BOA=90°∴△ABD≌△BAC（SAS）∴AD=AB∴四邊形ABCD是正方形．探究新知（4）已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，∠A=90°求證：四邊形ABCD是正方形．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD．又∵∠A=90°．∴四邊形ABCD是正方形．探究新知（5）已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，AC，BD是對(duì)角線，且AC=BD．求證：四邊形ABCD是正方形．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=BC．又∵AB=BA，BD=AC，∴△ABD≌△BAC（SSS）∴∠DAB=∠CBA．又∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°∴∠DAB=∠CBA=90°∴四邊形ABCD是正方形探究新知做一做：我們知道，任意畫一個(gè)四邊形，以四邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個(gè)平行四邊形。那么，任意畫一個(gè)正方形，以四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個(gè)怎樣的圖形呢？先猜一猜，再證明.答：正方形.可以證明中點(diǎn)四邊形的四邊相等，角為直角．探究新知議一議：（1）以菱形或矩形各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個(gè)什么圖形？先猜一猜，再證明。如果以平行四邊形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)呢？（2）以四邊形各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)所組成的新四邊形的形狀與哪些線段有關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？探究新知答：（1）矩形，菱形，平行四邊形。（2）新四邊形的形狀與原四邊形的兩條對(duì)角線有關(guān)。當(dāng)原四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直時(shí)，新四邊形是矩形；當(dāng)原四邊形的兩條對(duì)角線相等時(shí)，新四邊形是菱形；當(dāng)原四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直且相等時(shí)，新四邊形是正方形。探究新知例

已知：如圖，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求證：四邊形BECF是正方形．FDECBA典例精析證明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四邊形BECF是平行四邊形．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°．又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC=∠ABC=45°，∠ECB=∠DCB=45°FDECBA典例精析∴∠EBC=∠ECB．∴EB=EC．∴□BECF是菱形（菱形的定義）．在△EBC中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=90°．∴菱形BECF是正方形（有一個(gè)角是直角的菱形是正方形）．典例精析FDECBA1．下列判斷正確的是（

）．A．四條邊相等的四邊形是正方形B．四個(gè)角相等的四邊形是正方形C．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是正方形D．對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形D課堂練習(xí)2．如圖，已知菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，則以AC為邊長(zhǎng)的正方形ACEF的周長(zhǎng)為（

）．A．14B．15

C．16

D．17C課堂練習(xí)3．如圖，直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別過此正方形的頂點(diǎn)B，D作BF⊥a于點(diǎn)F，DE⊥a于點(diǎn)E．若DE=8，BF=5，則EF的長(zhǎng)是______．13課堂練習(xí)4．如圖，正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為______．課堂練習(xí)5．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC，∠ABC的平分線相交于點(diǎn)D，且DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，那么四邊形CEDF是正方形嗎？請(qǐng)說明理由．課堂練習(xí)解：四邊形CEDF是正方形．理由如下：如圖，作DG⊥AB于點(diǎn)G．∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF=DG．同理可得DG=DE．∴DF=DE．∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠C=90°，∴四邊形CEDF是矩形．∵DF=DE，∴四邊形CEDF是正方形．課堂練習(xí)6．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．（1）求證：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．課堂練習(xí)證明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．又∵BA=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD．∴∠ADB=∠CDB．（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°．又∵∠ADC=90°，∴四邊形MPND是矩形．∵∠ADB=∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．∴四邊形MPND是正