華師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第23章 圖形的相似 階段強(qiáng)化專(zhuān)訓(xùn)

PFPF階強(qiáng)專(zhuān)一平線線成例見(jiàn)用巧證比例式技巧1.中間比代換法證比例式1．如圖，知在△ABC，點(diǎn)D，E分別是邊，AC，上的點(diǎn)，DE∥BCEF∥AB且ADDB＝3∶5，求CF∶的值．第1)技巧2.等積代換法證比例式2．如圖，△ABC中，D上一點(diǎn)，E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，DE∥BCPE過(guò)D作AC的平行線交的延長(zhǎng)線于與AB交于連接求證：PA＝.(第2題技巧3.等比代換法證比例中項(xiàng)

3．如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥求證：ADAB和的比例中項(xiàng)．第3題證線段相等技巧4.等比例法證線段相等等比過(guò)渡法)4．如圖，△ABC中，∠ACB＝，∠B＞∠A，點(diǎn)D邊AB的中點(diǎn)，DE∥交于點(diǎn)，∥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：DE＝EF.第4題證比例和為1技巧5.同分母的中間比代換法

ADBC．．．ADBC．．．AE5．如圖，知AC∥BD，求證：＋＝1.第5)階強(qiáng)專(zhuān)二證相三形方名師點(diǎn)金：要找三角形相似的條件，關(guān)鍵抓住以下幾點(diǎn)：(1)已知角相等時(shí)，找兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，若只能找到一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，判斷夾相等的角的兩邊是否對(duì)應(yīng)成比例；無(wú)法找到角相等時(shí)，判斷三邊是否對(duì)應(yīng)成比例；性”

除此之外，也可考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的

傳遞利用邊或角的關(guān)系判定兩直角三角形相似1．下面關(guān)直角三角形相似敘述錯(cuò)誤的是)．有一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形相似．兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似C．有一條直角邊相等的兩個(gè)直角三角形相似D．兩個(gè)等腰直角三角形相似2．如圖，BC⊥，垂足為C，＝6.4，CD＝1.6BC＝7.5CE＝2.5，求證：△ABC∽△DEC.第2)

利用角判定兩三角形相似3．如圖，ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點(diǎn)D在AC上，連接BD延長(zhǎng)與CE交于點(diǎn)求證：△ABD∽△CED；若AB＝6，＝，求的長(zhǎng)第3)利用邊角判定兩三角形相似4．已知：圖，在正方形ABCD中，PBC上的點(diǎn)，且BP＝Q是的中點(diǎn)．求證：△ADQ∽△QCP.第4)

利用三邊判定兩三角形相似5．如圖AD是△ABC的高E分別是AB，的中點(diǎn)．求證：△DEF∽△ABC.第5)階強(qiáng)專(zhuān)三巧平線造似角的巧名師點(diǎn)金：解有關(guān)相似三角形題目時(shí)，常常遇到要或求)的問(wèn)題與相似三角形聯(lián)系不上或者說(shuō)圖中根本不存在相似三角形時(shí)們通?？梢宰髌叫芯€構(gòu)造出相似三角形，從而使問(wèn)題得以解決．巧連線段的中點(diǎn)構(gòu)造相似三角形1如圖在△ABC中F是邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，BD別交AE，AF，AC于點(diǎn)，D，求PQ∶QD.(第1)過(guò)頂點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形2．如圖，△ABC中，AC＝，F(xiàn)為底邊AB一點(diǎn)，BF∶AF＝∶，BE取的中點(diǎn)，連接AD延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，求的值．

ECEC(第2)3．如圖，ABC的頂點(diǎn)作一直線，與AB中線AD分別交于點(diǎn)F和點(diǎn)E.求證：AE∶ED＝∶FB.第3)過(guò)一邊上的點(diǎn)作平行線構(gòu)造相似三角形4如圖在△ABC中＞AC在邊AB上取一點(diǎn)在AC上取一點(diǎn)E，BD使＝AE，直線DE和的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)求證：＝

44(第4)階強(qiáng)專(zhuān)四角中線應(yīng)名師點(diǎn)金三角形中位線定理有著廣泛的應(yīng)用通常可以用來(lái)證明或求解許多問(wèn)題但我們很多時(shí)候往往不能直接利用這個(gè)定理這時(shí)要善于觀察圖形中與定理有關(guān)的基本圖形特別是涉及已知中點(diǎn)有關(guān)條件時(shí)通過(guò)巧妙添輔助線構(gòu)造三角形中位線，可以準(zhǔn)確有效地幫助我們解決問(wèn)題．利用三角形中位線進(jìn)行證明類(lèi)型1

證相等關(guān)系1．已知：圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC＝，E、分別為、中點(diǎn)，點(diǎn)OACBD的交點(diǎn)，M、N為EF與BD、AC交點(diǎn)．求證：OM＝第1)類(lèi)型2

證倍分關(guān)系2．如圖，知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線，點(diǎn)E、別是、的中點(diǎn)，連線，交BD于M點(diǎn)．1求證：(1)BM＝BD；(2)ME＝MF.

22第2)類(lèi)型3

證不等關(guān)系3．如圖M、N是四邊形ABCD邊BC、AD中點(diǎn)，且AB不平1行．求證：MN＜(AB＋．第3)類(lèi)型4

證位置關(guān)系4．如圖，△ABC的頂點(diǎn)A，向∠和∠的平分線作垂線，垂足分別為D、，連接求證：DE第4題利用三角形中位線探究多邊形形狀5．順次連對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)，所得四邊形是)．矩形

．平行四邊形C．菱形

D．任意四邊形6．順次連正方形各邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是)．平行四邊形

．矩形

C．菱形

D．正方形7分別是不等邊三角形ABC(即AB≠BC≠AC)邊ABAC的中點(diǎn)是△ABC所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，連接OB，，F(xiàn)分別是OB的中點(diǎn)，順次連接點(diǎn)DFE.如圖當(dāng)點(diǎn)在△ABC內(nèi)部時(shí)試判斷四邊形DGFE的形狀，并說(shuō)明理由．第7)利用三角形中位線求值8．如圖所，在四邊ABCD，AD∥，＋BC8，且AD∶BC＝3∶7，，F(xiàn)別是BD，AC的中點(diǎn)，求長(zhǎng)．第8)階強(qiáng)專(zhuān)五位、置坐名師點(diǎn)金：1.生活中很多物體的位置需用坐標(biāo)來(lái)表示其中選擇參照物是確定位置的關(guān)鍵，參照物不同，往往表示同一位置的坐標(biāo)也不同．2．求位圖形中點(diǎn)的坐標(biāo)或作已知圖形的位似圖形時(shí)，要注意位似變換的要求是同側(cè)還是異側(cè)，若沒(méi)有明確說(shuō)明，則要根據(jù)實(shí)際情況分類(lèi)討論．位置與坐標(biāo)類(lèi)型1

利用坐標(biāo)表示座位號(hào)1．如圖，明的座位是組排，如果用有序數(shù)對(duì)12)表示，那么張敏同學(xué)和石玲同學(xué)的座位，怎樣用有序數(shù)對(duì)表示？

第1)類(lèi)型2

利用坐標(biāo)表示地理位置2如圖所示是一個(gè)雷達(dá)探測(cè)器的示意圖探測(cè)器的位置在O(圓心位置)，如果六個(gè)同心圓的半徑依次為1km，2km，3km，4，5km，6km，請(qǐng)你以點(diǎn)為參照點(diǎn)，用方位角和距離分別表示雷達(dá)探測(cè)器探測(cè)到的目標(biāo)A，，C，D，，F(xiàn)的位置．(第2題類(lèi)型3

利用坐標(biāo)表示運(yùn)動(dòng)路徑3如圖小軍家的位置點(diǎn)A在經(jīng)5和緯4的十字路口用有序數(shù)對(duì)(54)表示；B學(xué)校的位置，點(diǎn)C是蕓家的位置，如果用54)→(5，→，6)(6，→，6)→(8，表示小軍家到學(xué)校的一條路徑．請(qǐng)你用有序數(shù)對(duì)表示出學(xué)校和小蕓家的位置；請(qǐng)你寫(xiě)出小軍家到學(xué)校的其他幾條路徑．寫(xiě)3)第3)位似變換與坐標(biāo)4．(2015·十堰)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)－4，，B(－6－4)以

22222222221原點(diǎn)位似中心，相似比為，把△ABO小，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是()．(－2，1)B．(－84)C．(－8，或(8，－4)D．－2，1)或(2，－(第5)5．如圖，ABC中AB個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)(－，0)，以C為位似中心，在x軸的下方作△ABC位似圖形，并把△ABC的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)的2倍到的圖形是△′B′C.設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)B的橫坐標(biāo)是，則點(diǎn)B橫坐標(biāo)是()1．－a．－(a＋11C．－－1)D．－(a＋平面直角坐標(biāo)系中的位似變換作圖6如圖已知△ABC坐標(biāo)平面內(nèi)三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(03)B(3，4)C(2，．正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是個(gè)單位長(zhǎng)度．畫(huà)出△ABC向下平4個(gè)單位得到的△ABC接寫(xiě)C點(diǎn)的坐標(biāo)；11以點(diǎn)B位似中心，在網(wǎng)格中畫(huà)出eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)，使eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC與△位似，2222且位似比為21，并直接寫(xiě)出C點(diǎn)的坐標(biāo)及eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC的面積．22(第6)

階強(qiáng)專(zhuān)六巧位解角中內(nèi)多形題名師點(diǎn)金：位似圖形是特殊位置的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質(zhì)；位似圖形必須具備三個(gè)條件：(1)兩個(gè)圖形相似；(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)；(3)對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同一直線上．三角形的內(nèi)接正三角形問(wèn)題1．如圖，下面的方法可以畫(huà)AOB的內(nèi)接等邊三角形，閱讀后證明相應(yīng)問(wèn)題．畫(huà)法①在△畫(huà)等邊三角形使點(diǎn)C在OA點(diǎn)D在OB上；②連接OE并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)′，過(guò)點(diǎn)E′作′C′，交OA于點(diǎn)C，作E′D∥ED交于點(diǎn)；③連接′D′，則△C′D′E是△AOB的內(nèi)接等邊三角形．求證：△C′D′E′是等邊三角形．第1)三角形的內(nèi)接矩形問(wèn)題2作接于已知△ABC的矩形DEFG它的邊EF上點(diǎn)D，分別在AB，上，并且有DEEF1∶第2)

BQBQ三角形的內(nèi)接正方形問(wèn)題(方程思想)3如圖eq\o\ac(△,，)ABC是一塊銳角三角形余料邊BC＝高AD＝80，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)P，N分別在AB，上，則這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？第3題)4如圖①△ABCD分別在ABACBC上DE∥BC，PEAQ交DE于點(diǎn)P.求證：＝.在△ABC，BAC，正方的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC邊上，連接，AF，分別交于M，N點(diǎn)．①如圖②，若AB＝＝1，直接寫(xiě)出MN的長(zhǎng)；②如圖③，求證：MN＝DM·EN.(第4)

PCPFADACABACADABDBECDBBAADADBAABABBCCDPCPFADACABACADABDBECDBBAADADBAABABBCCD答階段強(qiáng)化專(zhuān)訓(xùn)一1．解：∶＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8.∵DEBC∴CE∶AC＝BD∶AB＝∶8.∵EF∥AB，∴∶∶AC5∶PE2．證明∵DE∥BC，∴＝∴＝PFPD∵DFAC，∴＝.∴PF·PA.PEPA∴PE·PB＝∴＝AFAEADAE3．證明∵∥，∴＝∵DEBC.＝AFAD∴＝，∴AD是AB和AF比例中項(xiàng)．ADAEAD4證明∵∥BC∴＝∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)∴＝DB即AEDEAE＝1.∴＝1.∵CF，∴＝＝∴DE＝BEBF5．證明∵AC∥，∴＝①.又∵EF∥BD，AEAFBEAEBFAFABAE∴＝②.＋②，得＋＝＋＝＝1，即＋＝1.階段強(qiáng)化專(zhuān)訓(xùn)二1．AC4.82證明∵＝6.4CD1.6AC＝AD－CD＝6.4－1.64.8.∴＝＝3.ACBC又∵＝＝3∴＝又∵BC⊥，∴∠∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DEC.

222EDEDQCQCCP2ABAC22BCABAC222EDEDQCQCCP2ABAC22BCABAC(第3)3．(1)證明：∵△等邊三角形，∴∠A＝ACB＝60°.∴∠ACF＝1∵是外角平分線，∴∠ACE＝∠ACF＝＝60°.∴∠A＝ACE.又∵∠＝∠，∴△ABD∽△CED.解：如圖，作⊥于點(diǎn)M，則AM＝CM＝3，＝33.∵＝2CD，∴CD＝2，＝則＝在Rt△BDM中，＝BM＋＝2BDAD由△∽△CED得＝，即＝，∴ED7.∴＝BD＋＝37.AD4．證明在正方形ABCD，∵是CD的中點(diǎn)，∴＝2.∵BP＝∴＝DQADDQ又∵BC＝2DQ，∴＝2.在△和△中，＝，∠C＝∠D＝90°，∴△ADQ∽△QCP.5．證明∵AD是△ABC的高，∴⊥又∵E，分別是AB，AC的中點(diǎn)．∴在Rt△ABD中，為斜邊AB上的中線．1∴DEAB，即＝.理＝.∵△ABC中位線，11∴EF＝，即＝DEEF∴＝＝∴△DEF∽△ABC.

2BDQDDFCGAFENDNBD22BDQDDFCGAFENDNBD2階段強(qiáng)化專(zhuān)訓(xùn)三1．解：接DF.∵，F(xiàn)是邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，∴＝∵D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝CD.∴△ACE的中位線．1∴DFAE，且＝AE.∴DF∥PE.∴∠∠BFD，∠＝∠BDF.BEBPEP∴△BEP△BFD.＝＝∵BE＝EF，∴BF＝2BE，∴＝，＝∴BP＝∵DFAE，∴∠APQ＝∠，∠＝∠DFQ.PQ∴△APQ∽△FDQ.∴＝.設(shè)PE＝，則DF＝2a，＝∴PQ∶QD＝AP∶＝∶∴BP∶∶QD＝5∶3∶2.2．解：點(diǎn)∥AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)∵CG∥，∴∠DAF＝∠又∵D為CF的中點(diǎn)，∴CD＝DF.∠DAF＝∠G，在△ADF△GDC中，ADF＝∠CDG，＝CD，∴△ADF≌△GDC(A.A..)．∴＝CG.∵BF∶AF＝32，∴AB∶AF＝5∶2.∵AB∥∴∠＝∠ECG∠BAG＝∠BEAB5∴△ABE∽△＝＝＝.3．證明過(guò)點(diǎn)B作BN∥CF交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.AFAE∴＝，∠FCD＝∠NBD.又∵∠CDE＝∠BDN，ED∴△EDC∽△NDB.∴＝1∵BDCD，∴EDDNEN.AFAE∴＝.∴AE∶ED2AFFB.4明點(diǎn)作∥AB于點(diǎn)∠PFC＝∠PDBPCF＝∠，∴△PCF∽△PBD.

22BAACBABOAC2222244222222BAACBABOAC22222442222BD∴＝.∵∥，∴∠＝∠∵＝AE，∴∠∠AED.∵∠AED＝∠∴∠EFC＝∠CEP.∴EC＝BD∴＝.階段強(qiáng)化專(zhuān)訓(xùn)四1．證明取中點(diǎn)H分別連接EH、HF即與FH分別為△ABD與△DAC的中位線．11∴EHBD，HFAC(三角形中位線定理)．而AC＝BD，∴EHHF，∴∠HEF＝∠又∵EH∥BD∥AC，∴∠HEF＝∠DMF，∠HFE＝∠，∴∠DMF＝∠，∴＝ON.2．證明連接AC，交BD于O點(diǎn)，∵E分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴EFAC，BEBMEFBE∴△∽△，＝∴＝.BMEF∴＝＝EFAC.1∴BM＝MO＝BO.又∵四邊形ABCD是平行四邊形，1∴BO＝OD＝BD，111∴BM＝BO＝BD，即BM＝BD.由(1)知MBO的中點(diǎn)，E、分別是、的中點(diǎn)．11∴ME＝AO，MF＝OC又∵AO＝，∴＝MF.3．證明連接BD取BD的中點(diǎn)連接，MP，∵N為的中點(diǎn)，BD的中點(diǎn)，11∴為△中位線，∴NP＝，同理可得MP＝∵ABCD不平行，∴P點(diǎn)不在MN．

2222221在△PMN，由于兩邊之和大于第三邊，∴MN＜PM＋＝＋CD)．點(diǎn)撥此類(lèi)題型通過(guò)轉(zhuǎn)化把有關(guān)的線段或與之有聯(lián)系的線段集中在一個(gè)三角形中，再應(yīng)用三角形的有關(guān)知識(shí)，如：三角形中位線及兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊等，即可得出證明．(第4)4．證明如圖，延長(zhǎng)、AE交、CB的延長(zhǎng)線于、H，∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2，又∵⊥AD，∴∠ADB＝∠BDG＝90°.在△ABD△GBD中，∠1＝∠2，＝BD，∠BDG＝∠，∴△≌△GBD(...)．∴＝DG，同理可證，＝EH，∴D、E分別為AG、AH的中點(diǎn)，∴ED∥BC.5．C6.D7．解：邊形是平行四邊形．理由如下：∵D，E分別是，邊的中點(diǎn)，∴DE是△的中位線，1∴DE且＝1同理，∥且＝BC，∴DE＝，∴四邊形DEFG是平行四邊形．8解：由＋＝∶＝∶7得AD＝2.4BC＝圖，連接，并延長(zhǎng)交BCH，∵∥BC∴∠DAF＝(第8)∠HCF.在△ADF與△中，

∠DAF＝∠HCF，＝CF，∠1＝∠2，∴△ADF≌△CHF(.A．1∴＝AD，DF＝，∴EF＝＝(BC－AD)＝1.6.2階段強(qiáng)化專(zhuān)訓(xùn)五1．解：敏的座位可以表示為(33)，石玲的座位可以表示為(4，．2解：A(30°4km2km，6)4km，，3km)，F(xiàn)(210°，5)．點(diǎn)撥利用方位角和距離表示平面內(nèi)點(diǎn)的位置可看成用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)表示點(diǎn)的位置，并且這個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)由角度和距離組成．3．解：學(xué)校和小蕓家的位置分別是(，6)，(3，．答案不唯一，如：①(5，→，，→，→(8，→，；②(5，→，→，4)→，4)→，(8，6)；③(5，→，→，5)→，5)→，(8，6)．4D點(diǎn)撥根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于或－k，即可求得答案．5．D6．解：如圖所示，△ABC即為所求，C(2，－2)；111如圖所示，△ABC即為所求，C(1，0)，eq\o\ac(△,S)ABC＝10.222(第6)

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