功和能機械能守恒

關于功和能機械能守恒第1頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三一、力的功1.恒力的功力對物體做功：力對質(zhì)點做功：如果恒力F作用在物體上，使物體運動了一段位移如果與位移有一定夾角時：第2頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三變力推動質(zhì)點運動（位移）做功？2.變力的功方法：將曲線分割成許多小段。每段位移為：每段質(zhì)點受力近似看成恒力：每段恒力做功為：將每段功相加，得力做功的近似值：取：令，得到：——變力做的功等于力沿曲線的線積分！第3頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三①.功是過程量，與力和路徑有關。②.功為標量，沒有方向，但有正負。功的微分形式（元功）：說明③.力與參照系無關，但位移與參照系有關，故力做功

與參照系有關。

④.合力的功等于各分力的功的代數(shù)和。第4頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三⑤.直角坐標系⑥.自然坐標系元功：a→b的功：元功：a→b的功：⑦.平均功率：瞬時功率：——瞬時功率等于力與物體速度的標積!第5頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三例：一人從10m深的水井把10kg的水勻速提上來，由于桶漏水，每升高1m漏0.2kg，問把水提到井口需做功多少？（不計桶重）解：建立如右圖所示的坐標系。則力做的功：質(zhì)點質(zhì)量的變化：m=10-0.2y（kg）拉力：F=mg=(10-0.2y)g（N）第6頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三yo例：勁度系數(shù)為k的輕彈簧豎直放置，下端掛一質(zhì)量為m的小球。開始時使彈簧為原長而小球剛好與地面接觸，今將彈簧上端緩慢提起至小球剛能脫離地面為止，求此過程中外力做功。解：以手開始提的位置為原點建立豎直向上的坐標系oy。拉力做功為：得：小球脫離地面時提升距離h為：第7頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三解：⑴沿x軸由(0,0)→(2,0)，此時y=0，dy=0，則：例：質(zhì)點所受力，求質(zhì)點由(0,0)→(2,4)點的過程中力做功：⑴先沿x軸由(0,0)→(2,0)點，再平行y軸由(2,0)→(2,4)點；⑵沿連接(0,0)、(2,4)的直線；⑶沿拋物線y=x2由(0,0)→(2,4)點。（單位為國際單位）⑵由原點至(2,4)的直線方程為y=2x，則：⑶因y=x2，則：由(2,0)→(2,4)：第8頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三解：⑴小球在力的作用下作圓周運動。在自然坐標系中：例：小球在水平變力作用下緩慢移動，即在所有位置上均近似處于力平衡狀態(tài)，直到繩子與豎直方向成角。求：⑴的功，⑵重力的功。ml第9頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三BA二、質(zhì)點的動能定理在a→b過程總功：→對物體做功→速度變化外力作用→功與速度變化的聯(lián)系？動能定理：外力對質(zhì)點做的功等于質(zhì)點動能的增量。在自然坐標系中第10頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三區(qū)別：功為過程量，動能是狀態(tài)量。⑤.動能定理提供了一種計算功的簡便方法。

②.功與動能跟參考系有關，具有相對性。說明：①.功與動能的區(qū)別和聯(lián)系：聯(lián)系：功是動能變化的量度。③.動能定理適用于慣性系。④.動能定理的微分形式：功率：第11頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三解：以釘為對象，以木板上界面為原點建立如圖oy坐標系。例：用鐵錘釘釘子，設木板對釘子的阻力與釘子進入深度成正比。第一次擊打釘子釘入的深度為1.0cm，第二次擊打力度與第一次相同。問第二次釘子進木板的深度？釘所受阻力為：f=-ky（k為比例系數(shù)）錘兩次擊打力度相同，對釘做功相同：阻力對釘做功：設第二次釘釘子的深度為h，對兩過程應用動能定理：第12頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三k為正常數(shù)，為質(zhì)點的位矢。該質(zhì)點從處被釋放，由靜止開始運動，求它到達無窮遠時的速率。例：一個質(zhì)量為m的質(zhì)點，僅受到力作用，式中解：設無窮遠處質(zhì)點的速率為V，根據(jù)動能定理，有：第13頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三例：如圖，初始時按住質(zhì)量為M的繩子，使之靜止垂在桌外的長度為b，繩子總長度為L。當松手后繩子下滑，求繩全部離開光滑桌面時的瞬時速率。由動能定理得：解：方法1——動能定理。以桌面為原點建立oy坐標系。設t時刻繩下垂長為y，該段繩的質(zhì)量為m，繩速為v，繩全部離開桌面時的速率為vL。下滑過程重力做功：而：重力所做元功：第14頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三方法2——牛頓定律由牛頓定律得：第15頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三M三、保守力做功與勢能萬有引力、重力、彈性力等做功表達式？1.萬有引力做功以M處為原點o，t時刻引力做元功為：A→B引力做功：AB物體由。o有心力第16頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三力做功不滿足上式：非保守力（耗散力）

只與始末位置有關，與路徑無關！重力功：引力功：彈力功：保守力：——勢能函數(shù)——保守力做功等于勢能增量的負值！第17頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三令，則：處勢能等于保守力從該處沿任意路徑到零勢能點做的功！要人為選取零勢能點，勢函數(shù)才能唯一地表示各點勢能！將r1改寫成r0，r2改寫為r，則任意位置r處的勢能為：重力勢能（地面為零勢能點）：彈性勢能（彈簧原長為零勢能點）：引力勢能（無窮遠為零勢能點）：第18頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三——在保守力場中，質(zhì)點的動能與勢能可以相互轉(zhuǎn)化。保守力作正功時（A>0）：保守力作負功時（A<0）：A→B過程保守力做功2.物體在某一位置的勢能只有相對意義，隨零勢能點位置的不同而不同。兩個位置的勢能之差有絕對意義。1.勢能是屬于以保守力相互作用的物體系統(tǒng)共有的能量，是相互作用能。

3.保守力做功與勢能關系的微分形式：說明：第19頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三例：質(zhì)量為m的物體處在距地面2R處。求地面為零勢能點時的勢能。（R為地球半徑）得：距地面2R處的勢能：另法：以無窮遠為零勢能點的引力勢能：取Ep(R)=0，得：解：由，引力勢：第20頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三以彈簧原長為零勢能點的彈性勢能：解：以平衡位置為原點o建立ox坐標系，設平衡時彈簧伸長量設為x0。有：例：如圖，勁度系數(shù)為k的輕彈簧下掛質(zhì)量為m的物體。求勢能零點位于平衡位置o處時系統(tǒng)的勢能。xmoox0Px則x處的系統(tǒng)總勢能：取Ep(x0)=0，得：第21頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三四、保守力與勢能的關系功與勢能的微分關系：在直角坐標系：梯度算符：第22頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三1.質(zhì)點在軌道上任一位置時，曲線顯示出系統(tǒng)所具有的勢能值；2.勢能曲線上任一位置處的斜率的負值，即為質(zhì)點在該處所受的保守力；如：一保守系統(tǒng)的質(zhì)點沿x方向作一維運動，則有：3.勢能曲線有極值時，即曲線斜率為零處，其受力為零；4.受力為零的位置稱為平衡位置。——勢能曲線有極大值的位置點是不穩(wěn)定平衡位置；——勢能曲線有極小值的位置點是穩(wěn)定平衡位置。勢能曲線*彈性勢能：彈性勢能曲線第23頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三

五、質(zhì)點系動能定理n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系{mi}，各質(zhì)點速度為質(zhì)點系的動能：第i質(zhì)點受力為：外力

第i質(zhì)點應用動能定理有：內(nèi)力

總外力功總內(nèi)力功總動能增量——質(zhì)點系的動能定理注意：先求每個質(zhì)點的功，再求總功。不能先求合力再求功。因各質(zhì)點的元位移不同，不能作為公因子提到求和符號之外。第24頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三即：一般內(nèi)力做功總和

注意：一對內(nèi)力所做功之和等于力與相對位移的標積，

不一定等于零。一對內(nèi)力有：兩質(zhì)點間元功之和為：相對位移第25頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三即有：將內(nèi)力做功分為保守內(nèi)力做功與非保守內(nèi)力做功，即：非保守內(nèi)力功保守內(nèi)力功六、質(zhì)點系的功能原理既然：系統(tǒng)的機械能:表明：系統(tǒng)機械能的增量等于外力的功與內(nèi)部非保守力的功之和?！|(zhì)點系的功能原理第26頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三七、機械能守恒定律能量轉(zhuǎn)換與守恒定律對于功能原理：若：則：——系統(tǒng)的機械能守恒或：——孤立系統(tǒng)中非保守內(nèi)力不做功時，系統(tǒng)的動能與勢能可以彼此轉(zhuǎn)化，各質(zhì)點的機械能也可以相互交換，但系統(tǒng)的總機械能為恒量?！潜Ｊ貎?nèi)力做功會使系統(tǒng)的機械能發(fā)生變化！

孤立系統(tǒng)中機械能增加或減少時，就有等量的非機械能減少或增加，從而保持系統(tǒng)的總能量（機械能與非機械之和）不變。四、能量轉(zhuǎn)換和守恒定律對于孤立系統(tǒng)：則功能原理為：——能量轉(zhuǎn)換和守恒定律第27頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三摩擦內(nèi)力做功：例：如圖，質(zhì)量為M的卡車載質(zhì)量為m的木箱以速率v沿平直路面行駛，因故緊急剎車車輪立即停止轉(zhuǎn)動，卡車滑行距離L后靜止，木箱相對卡車滑行了l距離。已知木箱與卡車、車輪與地面間的摩擦系數(shù)分別為1、2。求L和l。解：視卡車與木箱看作質(zhì)點系。據(jù)質(zhì)點系動能定理，有：外力F做功：對木箱應用動能定理：第28頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三例：如圖，質(zhì)量為M的滑塊置于斜面底端A處，斜面傾角

高度為h。今有質(zhì)量為m的子彈以速度v0水平射入滑塊并留在其中，且使滑塊沿斜面滑動，摩擦系數(shù)為。求

滑塊滑出頂端時的速度大小。解：子彈與滑塊撞擊過程沿斜面的動量守恒，設滑塊得到的初速度為v1有：令滑塊滑出頂端時的速度為v2，取A點為重力勢能零點，由功能原理有：聯(lián)立上式得：第29頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三例：打樁機錘的質(zhì)量m，將長L、質(zhì)量M、半徑r的樁打入地下，其側(cè)面單位面積受泥土阻力為k。求：⑴樁由于自重下沉深度h1；⑵在樁穩(wěn)定后，將錘升至距樁頂端h處讓其自由下落擊樁，若錘與樁發(fā)生完全非彈性碰撞，第一錘使樁下沉深度h2；⑶若樁已下沉l時，錘再一次下落擊樁后反彈起h，此時已非完全非彈性碰撞，樁的下沉深度h3。解：⑴取樁和地球為系統(tǒng)，樁初始位置的質(zhì)心為勢能零點，由功能原理：樁下沉距離：錘與樁發(fā)生完全非彈性碰撞后樁的速率設為v，由動量守恒定律有：⑵錘下落的末速設為v0：第30頁，共35頁，2023年，2月20日，星期三聯(lián)立上式得樁再次下沉的深度：第一錘能使樁下沉深度設為h2，下沉過程由功能原理：聯(lián)立上式得樁下沉深度：⑶再次擊樁時的碰撞是一般非彈性的，碰后錘的速率v1為：對樁下沉過程中再次應用功能原理，得：樁的速率設v，由動量守恒有：第31頁，