第03講 空間直線、平面的平行 精講（解析版）-2023年高考數(shù)學一輪復習

第03講空間直線、平面的平行（精

講）

目錄

第一部分：知識點精準記憶

第二部分：課前自我評估測試

第三部分：典型例題剖析

題型一：直線與平面平行的判定與性質

角度1:直線與平面平行的判定

角度2：直線與平面平行的性質

題型二：平面與平面平行的判定與性質

角度1：平面與平面平行的判定

角度2：平面與平面平行的性質

題型三：平行關系的綜合應用

第四部分：高考真題感悟

第一部分：知識點精準記憶

知識點一：直線與平面平行

1、直線與平面平行的定義

直線/與平面a沒有公共點，則稱直線/與平面a平行.

2、直線與平面平行的判定定理

如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行

b

a(za

符號表述：b^a>=>a\\a

a\\h

3、直線與平面平行的性質定理

如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交

線平行

ab

符號表述：a\\a,auB,a^\13=b^a\\b

知識點二：平面與平面平行

1、平面與平面平行的定義

兩個平面沒有公共點

2、平面與平面平行的判定定理

如果一個平面內的有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.

au/3,bu/3

符號表述：aC\b=PaH/3

alla,bIIa

3、平面與平面平行的性質定理

3.1性質定理

兩個平行平面，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行.

符號語言

a11P

allb

3.2性質

兩個平面平行，則其中一個平面內的直線平行與另一平面

%/

符號語言：n

第二部分：課前自我評估測試

1.（2022?全國?高一課時練習）判斷正誤.

（1）若平面a〃平面/，/u平面/，mu平面a,則/.（）

（2）夾在兩平行平面之間的平行線段相等.（）

【答案】xT

（1）/與，”可以平行或異面，故錯誤；

（2）夾在兩平行平面之間的平行線段相等，故正確.

2.（2022?全國?高一課時練習）已知長方體ABC。—AB'C'D',平面aA平面ABC。=所，

平面aA平面A8Cr>'=E'F',則E尸與EF'的位置關系是（）

A.平行B.相交C.異面D.不確定

【答案】A

平面aA平面ABCD=EF,平面aA平面ABCD,=EF,由面面平行的性質定理可得EF與

平行,故選A

3.（2022.全國.高一課時練習）在正方體EFGH-E透GY中，下列四對截面彼此平行的一

A.平面E/6與平面EG%B.平面與平面耳HQ

C.平面耳“口與平面F/坦D.平面片“。與平面

【答案】A

由正方體可得EG//E￡,E\FMGH、，EGCGH\=G,E￡C%F=4,由面面平行的判

定定理可知平面E/GI與平面EG乩平行,故選A.

4.（2022?全國?高一課時練習）若一個平面內的兩條直線分別平行于另一個平面內的兩條直

線，則這兩個平面的位置關系是（）

A.一定平行B.一定相交C.平行或相交D.以上判斷都不對

【答案】C

一個平面內的兩條直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，若兩條直線相交則兩個平面平

行，若兩條直線平行這兩個平面可能相交，故選：C

5.（2022?全國?高一課時練習）直線“//平面a,a內有〃條直線交于一點，則這〃條直線

中與直線a平行的直線（）

A.至少有一條B.至多有一條

C.有且只有一條D.沒有

【答案】C

由直線a〃平面a,a內有“條直線交于一點，故過該點的直線與。的只有一條

故選：C

6.（2022?全國?高二課時練習）若平面a//平面夕，直線“ua,則a與夕的位置關系是

【答案】平行

■：all/3,aua,與夕沒有公共點，與夕的位置關系是平行.

故答案為：平行

第三部分：典型例題剖析

題型一：直線與平面平行的判定與性質

角度1:直線與平面平行的判定

典型例題

例題L（2022?四川綿陽?高二期末（理））如圖，三棱柱A8C-AgG的側棱與底面垂直,

AC=2,BC=2s/3,AB=4,M=2,點。是AB的中點

⑴求證：46//平面?！?gt;/

⑵求直線AG與直線CB,所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析⑵①

4

(1)設CB,與GB的交點為￡,連接DE,

是AB的中點，E是GB的中點，.?.OE//AC

?；DEu平面CDB、,AGU平面CDB、,

AG〃平面ccq.

⑵由(1)可得直線AC與直線C4所成角為NCED,又在直二棱柱ABC-ASG中，因為

Afi

AC=2,BC=2y/3,AB=4,則AC?+BC?=AB?，所以AC_LBC,^C￡>=—=2,

C4_#+(2@E￡>=3=正正=0，cosZCED=2+^~2~=--即

CL-V2222x2夜4

直線與直線CB,所成角的余弦值為也

4

例題2.(2022?四川涼山?高一期末(文)〉已知直三棱柱中，A4'CC為正方

形，P,。分別為AC,8C的中點.

⑴證明：PO〃平面/WB'A'；

(2)若4ABe是邊長為2正三角形，求四面體B-AOC'的體積.

【答案】(1)證明見解析(2)1叵

3

⑴連接AC,A3,則A'C交AC'于點P,

因為P，。分別為AC',8c的中點，

所以在AA'BC中,PO〃A'8,

因為POu平面43<2平面45*4',

所以「。〃平面MB'A.

⑵連接AO、BC\OC'AB=CC=2,

SABC=—x—ABxACsin60°--,

“AB0222

所以四面體的體積為L4ocii=Vc.A。尸g倉心"8。CC0=g倉停2=中.

題型歸類練

1.（2022?四川成都?高一期末（理））在四棱錐P-ABCZ）中，四邊形ABC。為矩形，平面

ABC￡?_L平面PAB,點、E,尸分別在線段CB,AP且CE=EB,AF=FP.

c

D

A

⑴求證：EF〃平面PCD；

【答案】（1）證明見解析

證明：如圖，取PO的中點G,連接GF,GC.

AP的中點,

在矩形ABCD中，點E為BC的中點,

CE//ADHCE=-AD,：.GF//EC且GF=￡C.

2

.四邊形GFEC是平行四邊形,

，GC//EF.

又：GCu平面pen,所《平面PC。，

EF〃平面PC￡>.

2.（2022.重慶市第七中學校高一期末）如圖，正三棱柱ABC-A4G的所有棱長均為2,E

為線段B?的中點，F(xiàn)為正方形ACC圈對角線的交點.

A

(1)求證：砂〃面B|AC；

(2)求三棱錐C「烏AC的體積.

【答案】(1)見解析(2)氈

3

(1)尸為正方形ACGA對角線的交點，即尸為4G的中點，E為線段4G的中點，在AB|AG

中EF為中位線，

可得所〃A81,E產(chǎn)＜Z面AB|U面與4C,

由線面平行的判定定理可得所〃面4AC；

(2)4A5G為等邊三角形，且邊長為2,可得s^c=3x22=6,

因為棱柱為正棱柱，則CCJ面A4G，

匕,/AC1G=4%.CG="舟2=當

3.(2022?河北石家莊.高一期末)如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，AC=BC=42,

4cB=90。.4A=2,。為AB的中點.

⑴求證：AG〃平面4CQ；

(2)求異面直線4G與BC所成角的余弦值.

【答案】⑴證明見解析；(2冷

(1)證明：設孰8與4。的交點為E,連接OE,

..?四邊形BCC再為正方形，

，E是BG的中點，

又。是AB的中點，

DE//AC,.

又DEu平面COB】，AC；N平面COB「

...AC"平面

⑵解:VDE/IAC,,

.?.NCED為AG與8。所成的角（或其補角）.

在中，ED=-ACt=—,CD=^AB=\,CE=~CBl=—,

----+.....-1

CE2^DE2-CD2S122

cosZ.CED=

ICEDE2x”3

異面直線AC,與BQ所成角的余弦值為|.

4.（2022.四川南充.高二期末（文））如圖，四棱錐P-43C3的底面是正方形，R4_L平面

ABCD,E,尸分別為A8,尸。的中點，且B4=AD=2.

⑴求證：AF〃平面PEC；

（2）求三棱錐C-PEF的體積.

【答案】（1）證明見解析；（2）；.

(1)證明：取PC中點G,連接EG、FG，

■：四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是正方形，

AB\\CD,AB=CD

■■F,G分別是棱P￡>,PC的中點.

:.FG//CD,FG=-CD,

2

又E為AB中點，

AE/CD,AE=-CD

2

:.AE/FG,AE=FG

四邊形AEGF為平行四邊形

:.AF//EG

?.?AF平面PEC,EGu平面PEC,

〃平面PEC.

(2)解：如圖，取幺中點例，中點M連接仞凡FN

/,

MF//AD,MF=^AD=\

;矩形ABC。，AABYAD,

又R4_L平面ABCD,APA±AD,

PA口AB=A,PA,ABu平面如8

.?.AD_L平面FAB,即MF_L平面

VF,N為PD,4。中點

:.FN〃PA,FN=、PA=\

2

:.FNmABCD

,,VjPEF=^P-AECD-Vp-AEF-^F-AECD

=—x—x(l+2)x2x2—x—xlx2xl——x—x(l+2)x2xl

323232

=一2

3

故三棱錐C-PEF的體積為

角度2：直線與平面平行的性質

典型例題

例題1.(2022?山東?濟南市章丘區(qū)第四中學高一階段練習)如圖，四邊形A3CD為長方形，

，平面ABC。，PD=AB=2,4)=4,點E、尸分別為A。、PC的中點.設平面尸。CD

平面PBE=l.

(1)證明：DF〃平面PBE；

(2)證明：DF//1；

(3)求三棱錐P-BDE的體積.

4

【答案】⑴證明見解析⑵證明見解析(3弓

(1)取P8中點G,連接FG,EG,因為點￡尸分別為A。、PC的中點

所以FG//CB,FG=^BC,因為四邊形ABCO為長方形，所以BC〃AO,^.BC=AD,所以

DE//FG,DE=FG,所以四邊形OEGF為平行四邊形，所以。F〃GE

因為OFN平面PBE,HEu平面PBE,￡>E〃平面PBE

⑵由(1)知。尸〃平面P3E,又。尸u平面PDC,平面PDCD平面

所以DF/〃

(3)因為尸￡)_L平面A8C。，所以PO為三棱錐尸—8DE的高，

1114

所1以%BDEXXXXX

/r-ULftZ=_35ABoiDzcEPD=-3-2222=3~.

例題2.(2022?吉林?雙遼市第一中學高三期末(文))如圖，三棱錐P-ABC中，AC,BC,

PC兩兩垂直，AC=BC,￡,尸分別是AC,BC的中點，AABC的面積為8,四棱錐P-AME

的體積為4.

(1)若平面PEFfl平面叢5=/,求證：EFHI；

(2)求三棱錐尸-ABC的表面積.

【答案】(1)證明見解析；(2)16+4".

(I)證明：F分別是AC,8c的中點，???EF〃A8,

?rABu平面以6，EF(Z平面%￡77/平面PR.

又平面PEFft平面PAB=1,EFu平面尸EF,EFHI.

(2)解：:AC,BC,PC兩兩垂直，ACC\BC=C,AC,BCu平面ABC,

,PCJ■.平面ABC,即PC是四棱錐P-AB/話的高.

=8,AC=BC,AC±BC,■'AC=BC=4.

E,尸分別是AC,8c的中點，匕』吩E=4,

ACxBCxPC=4,g|JPC=2.

342

.1尸4="?+22=2小，=2岔，A8="、儲=4"

(40

的面積為gx4&xJ(2囪『-=4\/6.

I2J

，三棱錐P-ABC的表面積S=2x；x4x2+8+46=16+46

題型歸類練

1.(2022.重慶巴蜀中學高二期末)如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，底面是直角梯形，

AD//BC,ZADC=90°,AC和8。相交于點N,面P4c，面ABC。，BC=2AD=2,CD=1,

PA=PC=?.

2

⑴在線段PZ)上確定一點M,使得PB〃面ACM,求此時亦的值；

MD

【答案】⑴點用為PD的三等分點且PD=3M￡>,此時空:=2(2)名區(qū)

MD15

PM

(1)點M為尸。的三等分點且叨=3M。，此時許=2

MD

證明：連接MN,在直角梯形A3CQ中AO〃8C,BC=2AD=1,

.DNAD\「DM\.DNDM\

??—=??==

BNBC2Mp2BNMP2

MN//PB

又面ACM,MNu面4cMP3〃面4cM

2.(2022?安徽池州?高一期末)在四棱錐V-ABC。中，底面A3CQ為平行四邊形，平

面V48,VArVB,設平面弘8與平面VCD的公共直線為/.

（1）寫出圖中與/平行的直線，并證明；

【答案】⑴圖中與/平行的直線為A3和C。，證明見解析⑵證明見解析

⑴圖中與/平行的直線為AB和8,

因為底面ABC。為平行四邊形，所以CD//AB,

因為CDZ平面38，ABl平面38,

所以CD〃平面V<4B,

因為平面與平面VC。的交線I,COu平面VCD,

所以CD〃/,即〃/CD,進一步由平行線的傳遞性得，〃/A8；

3.（2022?全國?高三專題練習）芻（MU）薨（加〃g）是幾何體中的一種特殊的五面體.中國

古代數(shù)學名著《九章算術》中記載：“芻薨者，下有袤有廣，而上有麥無廣.芻，草也.薨，屋

蓋也?求積術日：倍下表，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一.”翻譯為“底面有長有

寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱.芻薨字面意思為茅草屋頂L”現(xiàn)有一個芻薨如圖所示,

四邊形ABCD為長方形，EF//平面ABC。，和△BCV是全等的等邊三角形.求證：EF

//DC；

【答案】證明見解析

五面體ABCDEF中，因為EF〃平面A8C￡>,

EFu平面CDEF,平面COEFA平面ABCD=CD,

所以EF//CD.

4.（2022?全國?模擬預測（理））如圖1,在矩形ABC。中，點E在邊CO上，BC=DE=2EC,

將△以￡沿AE進行翻折，翻折后。點到達尸點位置，且滿足平面PAE_L平面ABCE,如

圖2.

圖1圖2

⑴若點尸在棱處上，且EF〃平面PBC,求不7；

PA

PF1

【答案】⑴7T3

如圖，在P8上取點G,使得FG〃A8,連接FG,GC,

則FG〃A8〃CE.

因為EF〃平面P6C,平面牙'GCc平面尸8C=CG,所以E尸〃CG,

所以四邊形EFGC是平行四邊形，所以尸G=￡C.

一PFFG1

又因為AB=DE+EC=3EC,所以——=――-=—.

PAAB3

5.（2022.全國?高三專題練習）如圖，在四棱錐S-A8C。中，底面ABCD是菱形，Z?W=60°,

△SAB為等邊三角形，G是線段S8上的一點，且SO//平面GAC.求證：G為SB的中點

【答案】證明見解析

如圖，連接BD交AC于點E,則E為8。的中點，連接GE,

?.?SD〃平面GAC,平面SOBA平面G4C=GE,SDu平面SB￡）,

SD//GE,

而E為80的中點，

...G為S8的中點.

題型二：平面與平面平行的判定與性質

角度1:平面與平面平行的判定

典型例題

例題1.(2022?北京延慶?高一期末)如圖，已知正方體AB8-A4GR的棱長為1,反尸分

別是ADBQ的中點.

(1)求證：平面48。〃平面CBQ；

⑵求證：EF〃平面DCCQ；

(3)求三棱錐A-BDA的體積.

【答案】⑴詳見解析；⑵詳見解析；(3)2.

6

⑴由正方體的性質可得^DJ/B^Z/BC,AD,=Bg=BC,

，四邊形AQ、CB為平行四邊形，

AlB//CDl,<Z平面BRC,CD,u平面BQ、C,

：.AB〃平面BQC，

同理可得80〃平面4RC,又ABCBQ=B,

平面Af?！ㄆ矫鍯BQ；

(2)由題可知所〃A8,又AB//CR,

EF//CD,,又歷《平面。CGR,CD,u平面OCQ。，

，斯//平面￡^孰。|；

(3)由題可知三棱錐A-8D4,的體積為

匕-皿\=9-⑺.=gx；AB.AD.AA=:.

例題2.(2022?山東山東?高一期中)如圖，在長方體A88-ABCA中，A8=4,

BC=BB、=2,點E,尸分別為邊AA,的中點.

(1)求三棱錐E-ABC的體積；

⑵證明：平面C%//平面BDE.

4

【答案】(1)§⑵證明見解析

(1)顯然三棱錐E-A.BC與三棱錐C-A.BE的體積相等，即VE.AflC=Vc.AiKE,

:長方體ABS-ASCQ,

三棱錐C-ABE的高為BC,且三棱錐C-A8E的底面面積即△ABE的面積為

S=—x1x4=2,

2

1I4

三棱錐E-A8C的體積V助=：x2x2=g.

(2),?長方體，

AA}//DD],=DD[,

:點E,尸分別為邊AA，的中點,

/.AXE=DF,\EHDF,

：.四邊形\EDF為平行四邊形，

/.A.F//ED,

又AFe平面BDE,EZ）u平面BDE，

二"〃平面BDE，

如圖，連接AC交于M。，連接EO,

.?.點。為4c的中點，...EO//AC,

又ACtZ平面BOE,EOu平面8￡>E，

年〃平面8DE,

ACCAO=A，

平面CE4,〃平面出織.

例題3.（2022?福建省福州第一中學高一期末）如圖①，在棱長為2的正方體ABCO-A4GR

木塊中，E是CC,的中點.

⑵要經(jīng)過點A將該木塊鋸開，使截面平行于平面5QE,在該木塊的表面應該怎樣畫線？（請

在圖②中作圖，并寫出畫法，不必說明理由）.

4

【答案】（1）§;（2）答案見解析.

(1)在正方體ABCO-A4CQ中，連接AR,8G，E4,EB,EC1,ER,4a,如圖,

AB〃CQ且AB=C,D,，則四邊形ABRA為平行四邊形，有SoABC^=2%甌，

三棱錐E-Ag的體積鶴嶼=匕_"='的.他=K8℃”8=卜2、以2=|,

4

所以四棱錐E-A8CQ的體積/_m.陽=2Ve.Aflc,=-.

(2)取棱。A的中點F，連接AT、CF、AC,則FC,E4,C4就是所求作的線，如圖：

在正方體ABCD-AMCQ中，連EF,因E是CG的中點，尸為DD,的中點，則EFHCDHBA,

aEF=CD=BA,

于是得四邊形4組尸是平行四邊形，有AFUBE,而BEu平面8RE,4廠工平面8。盧，

因此AF〃平面BRE,又FDJICE,FD{=CE,即四邊形CER尸為平行四邊形，

則C尸//ER,又EQu平面BQE,。尸江平面^。后,于是有CF〃平面8RE,

而WcAF=尸，C居AFu平面AFC,從而得平面AFC〃平面3RE,

所以FC,E4,C4就是所求作的線.

題型歸類練

1.(2022?甘肅武威.高一期末)如圖，在三棱柱A8C-4AG中，E,F分別為線段AQ,

AG的中點.

⑴求證：EF〃平面BCQB-

(2)在線段上是否存在一點G,使平面￡FG//平面A84A?請說明理由.

【答案】(1)證明見解析⑵存在，理由見解析

(1)證明：因為E,尸分別為線段AGAG的中點所以所〃A4因為所以E尸〃用

8.又因為EF(Z平面2CC百，8避u平面BCC6，所以EF〃平面BCG耳.

(2)取BG的中點G,連接GE,GF.因為E為AG的中點所以GE/MB.

因為GE<Z平面48qA，ABi平面4陰A,,所以GE〃平面49必，

同理可得，EF〃平面,又因為￡Fr|EG=E,EG,EFu平面EFG,所以平面EFG//

平面ABAA

故在線段2G上存在一點G，使平面EFG//平面ABBA.

2.(2022?河南?模擬預測(文))如圖，在四棱柱A8CD-ABCR中，四邊形ABC。是正

方形，E,F,G分別是棱8月，B?,CG的中點.

(1)證明：平面AEF〃平面ARG；

(2)若點A在底面ABCO的投影是四邊形ABC。的中心，AtA=2AB=4,求三棱錐A-A"G

的體積.

【答案】(1)證明見解析⑵3叵

3

(1)證明：連接EG,BC].

因為E,G分別是棱即，CG的中點，所以EG〃與G，EG=BCi.

因為AQ〃4G，AR=B?,所以EG〃A。，EG=AQ,

所以四邊形EGRA是平行四邊形，則RG〃AE.

因為〃Gu平面AQG,A￡<z平面4DQ,所以其后〃平面ARG.

因為E,尸分別是棱84，8c的中點，所以后尸〃86.

因為AA〃8￡,所以EF〃AR.

因為A。u平面ARG,EVcz平面ARG,所以斤〃平面ARG.

因為EFu平面AEF,AEu平面AE尸，且AEcEF=E,

所以平面AEF//平面ARG.

因為2A8=4,所以A8=A￡)=2,所以AO=gAC=&.

因為AA=4,所以AO=Ji^，

則四棱柱ABCD-ABCH的體積V=2x2x^14=4^14.

故三棱錐G-A4a的體積乂==1*49=芻叵，

1663

即三棱錐A-ARG的體積為2叵.

3

3.(2022?湖南衡陽?高一期末)如圖：正方體ABC￡>—A/B/GP棱長為2,E,F分別為DD,,

88’的中點.

(1)求證:CF〃平面A/EC”

(2)過點。做正方體截面使其與平面4EG平行，請給以證明并求出該截面的面積.

【答案】⑴證明見解析⑵證明見解析，2瓜

(1)取CG中點M,連接ME

由MC幺FB1,可得四邊形MCF4為平行四邊形，則FC〃MS

山ME^AS，可得四邊形ME4g為平行四邊形，則

則AE〃尸C,又AEu平面AEG，＜?尸(2平面4￡6,則EC〃平面AEQ;

(2)取44/,CC/中點G,H,連接￡>G,CBltBtH,HD,

因為四邊形A。，尸為平行四邊形，所以AF//Z)H

因為四邊形AFaG為平行四邊形，所以G8///AF,所以GB〃/DH

所以GDHB,即為過點D長方體截面,

'：DG//AiE,AEu平面AEG,0G<2平面AEG,：.DGH^AECi

-：DH//CiE,C.E^^AECi,平面AEC/,.,.DH//^AECi

又,：DH?DG3,.?.平面。48/G〃平面4￡C/.

^GDHB,=2應x2-73=2A/6

角度2：平面與平面平行的性質

典型例題

例題1.(2022?全國?高三專題練習)在三棱柱ABC-ABC中,

(1)若E,F,G,H分別是4B,AC，A4，AG的中點，求證：平面ER〃平面BCEG.

(2)若點DR分別是AC,上的點，且平面8CQ//平面試求靠的值.

【答案】(1)證明見解析：(2)1.

(1)：E,尸分別是ABAC的中點，

EF//BC,

：EF(z平面BCWG,BCu平面BCHG,

：.所〃平面8C7/G,

VA.G//EB,A,G=EB,

四邊形A.EBG是平行四邊形，

A.E//GB,

又；AEU平面BCHG,G8u平面8C〃G,

AE〃平面8C，G,

又「AEcEFuE,42后尸匚平面￡：尸4，

平面EFA〃平面BCHG；

(2)連接AB交AB|于。，連接OR,

由平面BCQ//平面ABQ,且平面ABGc平面BCQ=BG,

平面A,BC,n平面ABR=0,0,

BCt//D{O,

貝嗡嚼=1

A.D.DC

又由題設笳=而—=1,即四=1.

ADDC

例題2.(2022?遼寧錦州?高一期末)如圖，已知四棱錐P-ABCD中，平面PA8,平面ABC。，

底面ABC￡＞為矩形，且以=尸8=4,AB=2,AD=3,。為棱AB的中點，點E在棱AD

上，且AE=gAQ.

p

(1)證明：CE1PE；

(2)在棱依上是否存在一點尸使OF〃平面PEC?若存在，請指出點尸的位置并證明；若

不存在，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)存在，F(xiàn)為線段PB匕靠近點8的三等分點；證明見解析

⑴連接OE,OC,0P,

四棱錐尸-ABC。中，PA=PB=4,。為A8的中點，所以POLA5,

又平面平面A3CZ),平面PABc平面ABC￡>=AB,POu平面尸A8

所以。P_L平面ABC。，CEu平面ABC。，所以OPLCE,

在矩形ABC。中，AB=2,BC=3,AE=^AD=\,DE=2,OA=OB=\,

因為。E?=(9A2+AE2=l2+l2=2,OC2=OB2+BC2=l2+32=10,

CE2=DE2+CD2=2?+2?=8

所以。爐+CE2=OC2,所以OE上CE

又OPLCE,OEQOP=O,所以CEL平面尸OE,

又PEu平面POE,所以CE_LPE

(2)存在，f為線段P8上靠近點8的三等分點.

取3c的三等分點M(靠近點C),連接

易知A￡〃MC,AE=MC,所以四邊形4ECW是平行四邊形，所以40〃EC,

取8仞中點N,連接ON,所以。N〃40,所以ON〃EC,

又ONa平面PEC,ECu平面PEC,則ON〃平面PEC

因為/V為8例中點，所以N為BC的三等分點（靠近點8）,

連接。凡NF,斫以NF〃PC,

又NFa平面PEC,PCu平面PEC,則NF〃平面PEC

又ONcNF=N,ONu平面CW產(chǎn)，NFu平面ONF,

所以平面ONF〃平面PEC,

又OFu平面ONF,所以OF〃平面PEC.

題型歸類練

1.（2022?江蘇?高一課時練習）在三棱柱ABC-A4G中，點。、。分別是AC、AG上的

點，且平面〃平面A&A，試求器的值.

AD

【答案】券=1

【詳解】

解：連接A8交a用于點。，連接。如下圖所示：

B

山棱柱的性質可知，四邊形44內8為平行四邊形，所以，。為的中點，

因為平面BCQH平面ABR,平面A,BC,n平面BC、D=BQ,平面人8JC平面ABR=OD,,

：.ODJIBC{,則口為AG的中點，則RG=gAG，

?.?平面BCQ〃平面ABQ,平面A4,ccn平面8CQ=G。，平面A41GCD平面ABQ=4。，

所以，ADJiCQ,

又因為AO//RC，所以，四邊形AOGR為平行四邊形，

所以，AO=GR=；AG=gac,因此，卷=L

2.（2022?河北省唐縣第一中學高一階段練習）如圖，四邊形ABCO為矩形，四邊形8CE尸

為直角梯形，BF//CE,BF±BC,BF<CE,BF=2,AB=\,AD=45.

(1)求證:BC1AF；

(2)求證：AFtmDCE-

【答案】(1)證明見解析；

(2)證明見解析；

(1)四邊形ABC。為矩形，即又BFLBC,A8,8Fu平面A8F,AB^}BF=B,

貝ij有BC_L平面A3F,而AFu平面A8F,

所以8CJ_AF.

⑵因斯〃CE,BF0平面CDE,CEu平面CDE,則〃平面C/)E,

矩形ABCD中，AB//CD,AB<z平面CDE,CDu平面CDE,則AB//平面CDE,

又AB,3Fu平面A3凡ABQBF=B,于是得平面ABF〃平面CDE,而AFu平面ABF,

3.(2022.全國?高三專題練習(文))如圖，在四棱錐P-4JC。中，平面R4D_L平面ABCO,

AB//DC,PA=PD=2,AB=4,DC=l,AD=BC=2五.

(1)求四棱錐尸-ABC。的體積;

(2)在線段附上是否存在點使得ZW〃平面尸8C?若存在，求大的值；若不存在,

AM

請說明理由.

【答案】(])%殛(2)存在；罌=(

12MA3

(1)取A￡>的中點G,連接PG,如下圖所示：

A/

A

VPA^PD=2,：.PGLAD.

:平面PAD_L平面ABC。，平面PAZ)n平面^B8=AD，PGu平面PAO,

PGJ■平面ABC。，即PG是四棱錐P-ABC。的高.

?:PA=PD=2,AD=2^2,APA2+PD2=AD2.PA±PD,PG=6,.

在四邊形ABC力中，AB=4,DC=\,AD=BC=2近,AB//DC,

梯形ABCD的高為J(2&)2-($?=,

故《Ji》上_5后,

、ABCD~2.4

四棱錐P-ABCD的體積VpABCD'X近x更型=名畫.

P-ABCD3412

PM1

⑵在線段RA上存在點M,工=；,使得。M〃平面PBC,

MA3

理由如下：

EB1

過點。作。石〃C8交48于點E,則二7=1，

PM1

過點E作交R4于點〃，連接M￡>,則不丁=；.

MA3

VDE//BC,BCu平面PBC,?！?lt;2平面尸3。，；.￡>石//平面尸8。.

VME//PB,PBu平面P8C,A/EU平面P8C,，ME〃平面P8C.

XVDE[}ME=E,DE,MEu平面"DE,.?.平面MDE〃平面PBC.

平面MDE,MD〃平面P8C.

所以在上存在點M,使得。平面尸8C,且P二M■二:1.

MA3

4.(2022?河北?張北縣第一中學高一階段練習)如圖所示正四棱錐S-ABCD,

SA=SB=SC=SD=2,AB=y/2,P為側棱SZ)上的點.且SP=3PZ),求：

(1)正四棱錐S-4BCD的表面積；

(2)側棱SC上是否存在一點E,使得8E〃平面PAC.若存在，求為SE的值；若不存在，試

EC

說明理由.

【答案】(1)2"+2；

⑵在側棱SC上存在一點E,使8E//平面R4C,滿足后=2.

EC

(1),.?正四棱錐S-AB8中，SA=SB=SC=SD=2,AB=夜，

側面的高〃=b2T爭=理，

???正四棱錐S-ABCD的表面積S=4x2x&x巫+夜x&=2"+2.

22

在側棱SC上存在一點七，使BE〃平面PAC,滿足』=2.

理由如下:

取SD中點為Q,因為S尸=3a），則PQ=P￡>,

過Q作PC的平行線交SC于E,連接B。，BE.

在△B。。中，有BQ//PO,

?.?POu平血P4C,8。&平面PAC,二做//平面P4C,

「丁SQ.SESQ.

由1-----=2,..=-2.

QPECQP

又由于QE//PC,

PCu平面PAC,?！?lt;2平面尸4(7,，?！?/平面/?4。,

?.?3QcQE=Q,.?.平面BEQ〃平面PAC,得BE//平面PAC,

題型三：平行關系的綜合應用

典型例題

例題1.（2022?江蘇?高一課時練習）下列四個正方體中，A、B、C為所在棱的中點，則

能得出平面A8C〃平面OEF的是（）

對于A選項，若平面A8C〃平面DEF,ACu平面ABC,則AC//平面DEF,

由圖可知AC與平面戶相交，故平面ABC與平面。￡戶不平行，A不滿足條件;

對于B選項，如下圖所示，連接NG,

因為A、C分別為PN、PG的中點，貝IJAC//NG,

在正方體EHDG-MFNP中，F(xiàn)NHEG旦FN=EG,

故四邊形EFNG為平行四邊形，所以，NG//EF,:.AC//EF,

?.?AC0平面DEF,EFu平面ACH^DEF,

同理可證BC〃平面。底尸，?.?ACnBC=C,因此，平面ABC〃平面￡>￡/，B滿足條件;

在正方體PHDG-MNFE中,若平面A8C〃平面，且平面DEE/平面MW7P,

則平面ABC//平面MNHP，但這與平面ABC與平面MW/P相交矛盾，

因此，平面A8C與平面DEF不平行，C不滿足條件；

對于D選項，在正方體PW7G-FNEM中，連接P”、PM、MH，如下圖所示：

因為DH//FM旦DH=FM,則四邊形DHMF為平行四邊形，則DF//MH,

平面尸HM,MHu平面刊加，所以，DF〃平面PHM,

同理可證&V/平面?.,。F0防=尸，所以，平面9廣〃平面PHM,

若平面ABC//平面DEF，則平面ABC//平面PHM,

這與平面ABC與平面PHM相交矛盾，故平面A8C與平面OE尸不平行，D不滿足條件.

故選：B.

例題2.（2022?安徽師范大學附屬中學高一期中）在棱長為4的正方體4BCO-AMG。中，

點反廠分別是棱BC,CG的中點，尸是側面四邊形seem內（不含邊界）一點，若AP〃平

面AEF,則線段4P長度的最小值是.

【答案】3亞

如圖，取8c的中點M,片8的中點N,連接AM,AMMN,并連接MEiq,

由于點EF分別是棱8C,CG的中點，

所以MN//BCJ1EF,

上的^平面人防，￡Fu平面AEF,MV〃平面A￡F,

ME與BB-AA平行且相等，則AME4是平行四邊形，所以AM〃AE,

又平面AEF,AEu平面AEF,所以A"http://平面AEF，

面ANnMN=N,AMMNU平面AM，

所以平面A、MN"平面AEF,

Pw平面BCCf,AP〃平面AEF，且平面AMNc平面8CC^=MN,

所以PeMN,即P點軌跡是線段MN,

正方形棱長為4,則AM=A%=，甲+展=2后,MN=y/22+22=272?

所以Af的最小值即為AAMN底邊“V上高等于柩豆二訪=3上.

故答案為：3后.

例題3.（2022?江蘇省姜堰第二中學高一階段練習）正方體ABC。-ABCR的棱長為1,

點M,N分別是棱BC,CC；的中點，動點尸在正方形AQRA（包括邊界）內運動，且利〃

平面AMN,則PA的長度范圍為一.

……V21'

【答案】［75

連接8C1,分別取的,AR的中點E,尸，連接EF,EC|,FG，8E,AD,,則A?〃E尸，

因為4R〃8C-

所以8cl//EF,

因為點M，N分別是棱BC,CG的中點，

所以MN〃8G，AE//CtN,AE=C、N,

所以四邊形AEGN為平行四邊形，

所以AN〃EC1，

因為AN,MNu平面AMN,ECt,BC,<z平面AMN,

所以EC|〃平面AMN,BQ//平面AMN,

因為EGnBa=G，

所以平面BEG〃平面AMN,

因為//EF,

所以平面BEC,Cl平面ADD,\=EF,

因為動點?在正方形A3AA（包括邊界）內運動，且BP〃平面AMM

所以點P軌跡為E尸，

所以PA的最大值為AE=；的=；,最小值為點A到EF的距離為

所以尸4的長度范圍為乎，;

故答案為:

題型歸類練

1.（2022?安徽省宣城中學高二期末）已知正方體A88-AAG。的棱長為2,E、F分別是

棱A4、AR的中點，點尸為底面四邊形438內（包括邊界）的一動點，若直線。尸與平

取BC的中點G,連接AG，2G,AA，如圖所示:

區(qū)廠分別是棱AA、的中點，所以EF//A。，

又因為EFu平面5所，＜2平面8所，