平面向量的線性運算提高

量－b的和的運算ab的差λλ>0時，λa的方向與aλ<0時，λaa的方向相λ＝0b|ab|2|ab|22(|a|2|b|2b3、向量a(a0與向量b共線的充要條件為存在唯一一個實數A、B、CABACAB=ACAB與AC共線即可。NCD＝3CN,

OM=OB+BM1a5

.MN=ON-OM1a1 OM=OB+BM1a5b CN1CD,ON4CD2 MN=ON-OM1a1 【難度】

→ 【答案】【解析】由

2OA＋OB＋OC＝0可知，OBCAD的中點，故【難度系數】DABCBCP滿足→＋→

→＝→則實數λ的值 【答案】-

【解析】如圖所示，由→＝，且→＋→＝0PAB、AC第四個頂點，因此→＝－【難度系數】【題目】如圖，正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，那么→等于 1→1 1→1 1→1 1→2【答案】【解析】在△CEF中，有→＝

EDC的中點，所以→1FBC的一個三等分點，所以→2所以→1→2→1→21→2【難度系數】ab(1)若＝a＋b＝2a＋8b＝3(a－b)，求證：A、B、D(2)kka＋ba＋kb ∵→＝a＋b，→＝2a＋8b，→ ∴ ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝∴→

∴A、B、D(2) ∵→＝a＋b，→＝2a＋8b，→ ∴ ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝∴→

∴A、B、D(2)解∵ka＋ba＋kb∴λka＋b＝λ(a＋kb)，∵a、b【難度系數】

1→，

1，ADBCM，設＝a＝b.ab

【答案】 OM＝7【解析 設→則 →1 [3分又∵A、M、D三點共線，與 ∴t，使得＝ 1即

[5分1

t即 ①[7分又＝

1又∵C、M、B三點共線，∴→與→共線 [10分 t∴t1，使得＝1t

∴ ∴

得 由①②得 ＝7，＝7，∴OM＝7【難度系數】(1)本題考查了向量的線性運算，知識要點清楚，但解題過程復雜，有一定的難度．(2)易錯點是，找可以運用向量共線證明線段平行或三點共線．如→ABCDAB∥CD；若→AB、C

【題目】已知→＝a＋2b，→＝－5a＋6b，→＝7a－2b，則下列一定共線的三點是 B．A、B、C．B、C、 【答案】【解析】

BD＝BC＋CD＝2a＋4b＝2AB?BD∥AB?A、B、D【難度系數】

→

【解析 由已知條件得→＋→＝－ AMBCDDBCBMACECMABF點，同E、FAC、ABM為△ABC的重心．→2→1

【難度系數】【題目】已知點O為△ABC外接圓的圓心，且→＋→＋→＝0，則△ABC的內角A等于 【答案】【解析】由＝0O為△ABCO為△ABC∴△ABC【難度系數】e1，e2→＝3(e1＋e2)＝e2－e1＝2e1＋e2，給出下列結論：①A，B，C②A，B，D共線；③B，C，D共線；④A，C，D共線，其中所有正確結論的序號

→ b＝λa(a≠0)A，C，Dλ【難度系數】

→，M為BC的中點，則→ .(用a，b表示

【答案】【解析】由＝得

3→

1 ＝4(a＋b)－【難度系數】【題目】在△ABCDAB邊上一點，若＝

1→

→，則

【答案】3【解析】由圖知＝ 且 ①＋②×2

→＝→＋→ ∴→1→2 【難度系數】【題目】如圖所示，在△ABC中，D、FBC、AC→2→＝a (1)a、b表示向量→→→→；(2)求證：B，E，F【答案】→1→→2→ →1→→→→ →→→ (2)證明由(1)可知→2→，BB，E，F 延長AD到G，使→＝1→ →1→→2→ →1→→→→ →→→ (2)證明由(1)可知→2→，BB，E，F【難度系數】 1

2

λ

1＝－

2＝，636

2＝2【難度系數】 【答案】【解析】選 由題圖可得a－b＝BA【難度系數】1

3

表示向量 【答案 3【解析】OC＝OBBC＝OB＋2BA＝OB＋2(OAOB3＝2OA－OB3＝OC－OD＝OC3

5【難度系數】【題目】O是平面上一定點，A，B，CP滿足＝

→＋→＋∞)，則P的軌跡一定通過△ABC的 外 B．垂

→BC

→PBC邊的中線上，∴P的軌跡一定通過【難度系數】a，bOA＝aOB＝bOC＝cOD＝dOE＝et∈R＝t(a＋b)tC，D，Et【答案】

k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得a，b不共線，所以有6故存在實數 C，D，E三點在一條直線上【難度系數】N、C三點共線 在△ABD中因為＝a,＝b，所以又∵C，∴M、N、C 在△ABD中因為＝a,＝b，所以又∵C，∴M、N、C【難度系數】i，jOx，Oy正方向上的單位向量，且OA＝－2i＋mjOB＝ni＋j＝5i－jA，B，Cm＝2nm，n

【答案】

或

→ AB＝OBOABC＝OC－OBA，B，CABBCAB＝λBC

解得

或

【難度系數】【題目】如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點， xAB

x·yAC， 的值為AC， 的值為 12 2【答案】【解析】選 (特例法)利用等邊三角形，過重心作平行于底面BC的直線，易得x·y yx＋y【難度系數】【題目】若點M是△ABC所在平面內的一點，且滿足5AM＝AB＋3AC，則△ABM與△ABC的面積比為 【答案】【解析】CABD，5AM＝AB＋3AC，得3AM－3AC＝2AD－2 即3CM＝2MD，如圖所示，故C，M，D三點共線，且

，也就是△ABM與△ABC對于邊 ABM與5ABC的面積比為5【難度系數】【題目】在ΔABCAD2ABDEBC交AC于E,BC邊上的中線AM交DE于N3

BCACBCACABba.DE2BC2(ba)DN1DE1(bAMABAMABBMa1BCa1(ba)1(a

2AB2ABAD,DB1AB1BD1AB1a.DEBCADE∽ΔABC，ΔADN∽ΔABM BCACABba.ΔADE∽ΔABCDE2BC2(baAMΔABCDE//BC DEN，DN1DE1(ba).AMABBMa1BCa1(ba1(a 【難度系數】【題目】在ΔOAB

。

BACBACAC=