線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析第一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日3.5線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)穩(wěn)定性概念穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定性判斷方法第二頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日1.系統(tǒng)穩(wěn)定性概念李亞普諾夫穩(wěn)定性敘述:若線性控制系統(tǒng)在擾動(dòng)影響下其動(dòng)態(tài)過(guò)程隨著時(shí)間的推移逐漸衰減并趨于零（原平衡點(diǎn)），則稱(chēng)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱(chēng)穩(wěn)定。若系統(tǒng)在擾動(dòng)影響下，其動(dòng)態(tài)過(guò)程隨著時(shí)間的推移而發(fā)散，則稱(chēng)系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)受擾動(dòng)偏離了平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消除后系統(tǒng)能夠恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則稱(chēng)系統(tǒng)穩(wěn)定，反之稱(chēng)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

第三頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日2.線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負(fù)實(shí)部；或者說(shuō)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均嚴(yán)格位于左半平面。系統(tǒng)的穩(wěn)定性只與系統(tǒng)自身結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，而與初始條件、外作用大小無(wú)關(guān)；系統(tǒng)穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)特征根（閉環(huán)極點(diǎn)），而與系統(tǒng)零點(diǎn)無(wú)關(guān)。

第四頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日S平面特征根分布與穩(wěn)定性關(guān)系第五頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日

3.穩(wěn)定性判斷方法

線性系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定性判據(jù)李亞普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)第六頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日4.勞斯穩(wěn)定判據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)特征方程D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0(a0>0)各項(xiàng)系數(shù)構(gòu)成的勞斯表第一列各值均為正值。ROUTH表中第一列出現(xiàn)變號(hào)的次數(shù)即是系統(tǒng)所包含的右半平面極點(diǎn)數(shù)。第七頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日第八頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日

例3-1試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列勞斯表該表第一列系數(shù)符號(hào)不全為正，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；且符號(hào)變化了兩次，所以該方程中有二個(gè)根在S的右半平面。已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為第九頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日勞斯判據(jù)特殊情況

勞斯表某一行中的第一項(xiàng)等于零，而該行的其余各項(xiàng)不等于零或沒(méi)有其余項(xiàng)。若勞斯表第一列中系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。如果第一列上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號(hào)相同，則表示該方程中有一對(duì)共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)也屬不穩(wěn)定。是以一個(gè)很小的正數(shù)來(lái)代替為零的這項(xiàng)1解決的辦法據(jù)此算出其余的各項(xiàng)，完成勞斯表的排列第十頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日已知系統(tǒng)的特征方程式為試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例3-2由于表中第一列上面的符號(hào)與其下面系數(shù)的符號(hào)相同，表示該方程中有一對(duì)共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)為（臨界）不穩(wěn)定。解：列勞斯表第十一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日改變一次改變一次例3-3第十二頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日改變一次改變一次解法2:第十三頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日勞斯表中出現(xiàn)全零行

用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并以這個(gè)輔助多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來(lái)代替表中系數(shù)為全零的行。完成勞斯表的排列。2解決的辦法這些大小相等、徑向位置相反的根可以通過(guò)求解這個(gè)輔助方程式得到，而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。相應(yīng)方程中含有一些大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或共軛虛根。相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。第十四頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日一個(gè)控制系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表顯然這個(gè)系統(tǒng)處于臨界(不)穩(wěn)定狀態(tài)。

例3-4第十五頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)際系統(tǒng)希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。為變量的特征方程式，然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線此法可以估計(jì)一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)的各根中最靠近右側(cè)的根距離虛軸有多遠(yuǎn)，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的“程度”。代入原方程式中，得到以

穩(wěn)定判據(jù)能回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體數(shù)據(jù)。12解決的辦法設(shè)右側(cè)。Ruoth判據(jù)的應(yīng)用第十六頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日例題例題3－5第十七頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日例3-6C(S)R(S)-解⑴第十八頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日解⑵第十九頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日5.赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定必要條件：特征多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)均大于零。

赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：由系統(tǒng)特征方程

D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0(a0>0)各項(xiàng)系數(shù)構(gòu)成的主行列式及其順序主子式全部為正。第二十頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日赫爾維茨主行列式及其順序主子式第二十一頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日例3-7第二十二頁(yè)，共二十四頁(yè)，2022年，8月28日3-5總結(jié)：ROUTH表中第一列出現(xiàn)0用極子數(shù)代替首列0元素，繼續(xù)列寫(xiě)routh表。用全0行上一行系數(shù)構(gòu)造輔助方程；對(duì)輔助方程求導(dǎo)，用求導(dǎo)后的系數(shù)作為全零行系數(shù)，繼續(xù)列寫(xiě)routh表。勞斯穩(wěn)定判據(jù)：ROUTH表中第一列不變號(hào)。若變號(hào)，變號(hào)的次數(shù)即為右半平面極點(diǎn)數(shù)。ROUTH表中出現(xiàn)全為0的行用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線右側(cè)。線性系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件：閉環(huán)系統(tǒng)所有極點(diǎn)均具有