物理光學(xué)第十八次課光衍射基本理論

物理光學(xué)第十八次課光衍射基本理論1第一頁，共二十八頁，2022年，8月28日SΣΠP1P2P3P4(a)17世紀(jì)以前，人們認(rèn)為光是直線傳播的

引言光的衍射衍射現(xiàn)象圖17世紀(jì)中葉，意大利的格里馬第發(fā)現(xiàn)光的傳播偏離直線的現(xiàn)象。

SΣP3P4P1P2Π(b)索末菲(A.Sommerfeld)的定義：所謂衍射就是“不能用反射或折射來解釋的光線對直線光路的任何偏離”。

惠更斯-菲涅耳

2第二頁，共二十八頁，2022年，8月28日衍射現(xiàn)象中的有三項基本的要素。

(1)、由光源S發(fā)射的光波。其性質(zhì)可以用光波的波長組成、波面形狀、復(fù)振幅分布等參量定量描述；

(2)、衍射物Σ。如果它是二維“屏”狀的，其性質(zhì)可以由屏的(復(fù))振幅透射系數(shù)分布描述，不妨稱其為衍射屏；

(3)、觀察屏Π上的“衍射圖形”。通常用光(電)場的復(fù)振幅分布或輻照度分布描述。衍射問題原則上是要建立這三項要素之間的定量關(guān)系，使得其中任兩項已知時，能夠求出第三項要素。

衍射的要素及衍射問題3第三頁，共二十八頁，2022年，8月28日SLΠ圖1由衍射求像點的輻照度分布圖2光柵光譜儀：由衍射求光波性質(zhì)SΠGSCΣΠ圖3晶體衍射：由衍射求衍射屏性質(zhì)4第四頁，共二十八頁，2022年，8月28日1、惠更斯假設(shè)2、惠更斯-菲涅耳原理

惠更斯—菲涅耳原理1、惠更斯假設(shè)“波前”的概念：光源在某一時刻發(fā)出的光波所形成的波面(等相面)。1690年，惠更斯在其著作《論光》中提出假設(shè)：“波前上的每一個面元都可以看作是一個次級擾動中心，它們能產(chǎn)生球面子波”，并且，“后一時刻的波前位置是所有這些子波波前的包絡(luò)面”。其中，“次級擾動中心”可以看成是一個點光源，又稱作“子波源”。5第五頁，共二十八頁，2022年，8月28日對于少數(shù)形狀簡單的波面來說，由此假設(shè)可以求出新波面位置，這種方法稱為惠更斯作圖法。圖4惠更斯作圖求球面波傳播D'C'B'ECSΩ'E'A'ABDΩAA'=BB'=CC'=DD'=EE'=子波波面的包絡(luò)面Ω'仍是球面，只是半徑比Ω大

不難看出，當(dāng)Ω是平面時，Ω'也是平面。此時只要在Ω上任意取三個子波源便可確定新波面Ω'的位置。

6第六頁，共二十八頁，2022年，8月28日利用惠更斯假設(shè)可以定性地理解小孔衍射圖5利用惠更斯假設(shè)理解小孔衍射ΩiΣ利用惠更斯原理無法說明在觀察屏上出現(xiàn)亮暗相間的衍射條紋的原因；也不能定量地確定觀察屏上輻照度分布規(guī)律；更根本涉及不到光波波長對衍射傳播的影響。因為實驗表明，衍射圖形的大小和分布是與波長有密切關(guān)系的。

7第七頁，共二十八頁，2022年，8月28日2、惠更斯-菲涅耳原理

“波前上任何一個未受阻擋的點都可以看作是一個頻率(或波長)與入射波相同的子波源；在其后任何一地點的光振動，就是所有這些子波疊加的結(jié)果”。可見，惠更斯-菲涅耳原理實際上認(rèn)為惠更斯子波是頻率(波長)相同的相干光波，這些子波的傳播服從光干涉疊加原理。根據(jù)惠更斯-菲涅耳原理，我們可以建立一個定量計算衍射問題的公式，來描述單色光波在傳播途中任意兩個面，例如衍射光欄面Σ和觀察面Π上光場分布之間的關(guān)系。我們從平面波開始一步步引出這個關(guān)系。為方便計，不考慮電場振動的方向，認(rèn)為在衍射過程的光波是標(biāo)量波。——標(biāo)量波衍射理論

8第八頁，共二十八頁，2022年，8月28日ξηθMrΣ'ΣΠP圖6平面波正入射平面波正入射設(shè)入射波在Σ面處的復(fù)振幅為A，為復(fù)常量。M處面元為

在P點產(chǎn)生的振動為：

是一個復(fù)比例系數(shù)，表征入射波振幅與子波源源強度之間的關(guān)系。

稱為“方向因子”，用來表明子波在各個方向上有不同的強弱。菲涅耳曾假定：D的值在0~1之間；為避免出現(xiàn)倒退波，并假定D(0)=1和

是入射波的空間圓頻率。ω是入射波圓頻率。r是M至P的距離。

在單色波入射的情形下，各個子波在任意地點隨時間變化的規(guī)律是相同的，所以可以只考慮M對P的復(fù)振幅貢獻(xiàn)即可。P點的合成復(fù)振幅為：

(1)

式中積分域Σ上的開口區(qū)域。

9第九頁，共二十八頁，2022年，8月28日ξηθΩΩ'SΣΣ'M'r'PΠr0球面波入射S為單色點光源，源強度為A'。取子波源所在的波前為與θ點相交的球面Ω，令Sθ=r0。則Ω上的入射波復(fù)振幅為：

于是P點的復(fù)振幅為：

(2)是光欄開口允許通過的波面部分。問題：K和的具體形式是什么？10第十頁，共二十八頁，2022年，8月28日菲涅耳—基爾霍夫衍射公式1882年，基爾霍夫利用亥姆霍茲方程進(jìn)行分析，其工作結(jié)果認(rèn)為：空間任意一點的電磁場，可以用包圍該點的任意封閉曲面上的電磁場及其導(dǎo)數(shù)求出，其形式如下：(3)

E(P)是P點的電場；公式(3)表明的規(guī)律稱為“亥姆霍茨-基爾霍夫定理”。亥姆霍茨-基爾霍夫公式中的有關(guān)的幾何量SPr'nk是簡諧波的傳播數(shù)。S是包圍P點的封閉曲面。11第十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日(3)

亥姆霍茨-基爾霍夫公式中的有關(guān)的幾何量SPr'n是基爾霍夫選取的格林函數(shù)：曲面S內(nèi)任意一點P處的電場E(P)則由S上所有面元發(fā)出的子波干涉疊加來確定。nPRr'QS0單色點光源S0照射無限大不透明的有開孔的屏上。12第十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日nPRr'QS0(3)

(4)

為了確定三個面上E和?E/?n，基爾霍夫作了如下假設(shè)：(1)、在Σ面上的開口處，E、?E/?n都完全取決于入射波性質(zhì)，不受衍射光欄的影響；(2)、在Σ面上的擋光部分，E、?E/?n均等于零。——基爾霍夫邊界條件索末菲輻射條件：13第十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日nPRrQS0——基爾霍夫衍射積分公式點光源S0發(fā)射的光波在開孔處的復(fù)振幅分布。格林函數(shù)，表示Q處面元發(fā)射的子波對P點的貢獻(xiàn)。復(fù)常數(shù)K：方向因子：14第十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日基爾霍夫衍射積分公式：可以被化簡和推廣傍軸近似：在實際的衍射問題中，衍射孔徑的線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于衍射孔徑平面到觀察屏的距離；光源和考察面的有效面積對衍射孔徑的張角很小。對于實際衍射裝置：照明光源是各不相同的，有的是點光源、有的是線光源，而有的則是很復(fù)雜的光源，因而光波是復(fù)雜的，最簡單的是平面波和球面波。衍射物體也是不同的，有的是透明的，有的是反射的，因而對光波的調(diào)制特性，有振幅調(diào)制型，有位相調(diào)制型。15第十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日把任意形狀的入射波在Σ平面上的表達(dá)式簡化成

。把任意性質(zhì)的衍射物體的復(fù)振幅透射(對于反射物體，為反射)系數(shù)寫成：衍射問題模型θMrΣ'ΣΠP(x，y)(x，y)d于是透過衍射物體(或被衍射物體反射)的光波復(fù)振幅為：根據(jù)實際情況可知，透射(反射)系數(shù)只在有限的空間范圍是有限的，則有：16第十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日衍射問題模型θMrΣ'ΣΠP(x，y)(x，y)d可以看出：子波源取自Σ平面，各子波源的源強度為KA(ξ，η)dσ，其中的幅角部分表示子波源的初位相。也可以看出：觀察點P處的一個光場振動是由衍射面上衍射孔徑附近的一個向P點會聚的球面波S所貢獻(xiàn)。因此只要找出在離開衍射孔徑的“復(fù)雜”簡諧波A(ξ，η)中所含的球面波S成分，便可求得E(P)。換言之，衍射問題被轉(zhuǎn)化成將A(ξ，η)分解成許多球面波問題。只要觀察點P不非常靠近衍射屏Σ，并且方向因子基本為常數(shù)，則由它計算得到的衍射圖形總能很好地與實驗相符合。17第十七頁，共二十八頁，2022年，8月28日(一)、菲涅耳近似、菲涅耳衍射和夫瑯和費近似、夫瑯和費衍射

(二)、傅立葉變換的存在

內(nèi)容菲涅耳—基爾霍夫衍射公式近似18第十八頁，共二十八頁，2022年，8月28日(一)、菲涅耳近似、菲涅耳衍射和夫瑯和費近似、夫瑯和費衍射rMξxP0ηΣzyPΣ'dΠ衍射問題中的直角坐標(biāo)系統(tǒng)P(x、y、d)一般的情況，觀察點到衍射光欄的距離總是遠(yuǎn)大于光欄開口Σ的大小以及觀察范圍的大小，這樣：可直接用d代替。由此引入的相對誤差是：

19第十九頁，共二十八頁，2022年，8月28日被積函數(shù)指數(shù)上的r卻不能直接近似成d。因為kr表示波的位相，當(dāng)用d代替r時，引入的絕對位相誤差為：盡管：但是：考慮到復(fù)指數(shù)函數(shù)是周期為2的函數(shù)，這種誤差顯然不能接受。這里我們?nèi)藶榈匾晕幌嗾`差為2的四分之一，即/2作為可以接受的最大誤差。20第二十頁，共二十八頁，2022年，8月28日展開式右端各項的數(shù)量級是依次遞減的。當(dāng)以展開式的前兩項代替位相中的r時，這種近似稱為“菲涅耳近似”。由此引入的位相誤差為：

我們的人為約定以作為可以接受的最大誤差，則菲涅耳近似成立的條件是：即：

21第二十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日在菲涅耳近似下，基爾霍夫公式變?yōu)椋骸Q為菲涅耳衍射積分公式。——此式表示的條件稱為衍射的菲涅耳近似。——滿足菲涅耳近似條件的衍射稱為菲涅耳衍射。——菲涅耳近似成立的區(qū)域稱為菲涅耳衍射區(qū)。ΣrMξxP0ηzyPΣ'dΠ在Π上觀察到的就是菲涅耳衍射條紋。輻照度L(x,y)為：衍射區(qū)范圍的估計：如果光波波長λ=0.6μm，[(x-ξ)2+(y-η)2]的最大值為6mm2，則可算出觀察面Π與衍射面Σ之間的最近距離為：dmin≈31mm22第二十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日進(jìn)一步略去右端最后一項，變成：r的菲涅耳近似展開式為：——這個近似稱作“夫瑯和費近似”。該近似引入的位相誤差為：

因此，該近似成立的條件為：

即：

對于波長為600nm的光波，如果衍射光欄開口的最大值是2mm2，則由上式可算得在夫瑯和費近似下觀察面Π與衍射面Σ之間的最近距離為：dmin≈6,700mm=6.7m

23第二十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日在夫瑯和費近似下，基爾霍夫公式變?yōu)椋?/p>

同“菲涅耳衍射”一樣，如果滿足夫瑯和費近似條件，將出現(xiàn)“夫瑯和費衍射”現(xiàn)象，觀察到“夫瑯和費衍射圖形”，相應(yīng)的觀察區(qū)域為“夫瑯和費衍射區(qū)”。

我們希望將積分域從形式上擴(kuò)展到整個衍射屏平面。所以衍射積分公式中的積分域可以寫成是整個Σ平面。因為：相應(yīng)地，對夫瑯和費衍射有“夫瑯和費衍射公式”：為方便計，以后一般不再標(biāo)明積分限±∞。于是有“菲涅耳衍射公式”：

24第二十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日“菲涅耳衍射公式”：

“夫瑯和費衍射公式”：

都包含著一個線性復(fù)指數(shù)因子：

(二)、傅立葉變換的存在令：則有：

不難看出，它代表一個空間頻率為(fξ，fη)的三維簡諧平面波，而在傅立葉分析中，它正是二維傅立葉變換的核。這樣，衍射問題便與數(shù)學(xué)上的二維傅立葉變換聯(lián)系起來了。25第二十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日令：

再令：

——“菲涅耳衍射公式”的傅立葉變換形式。

復(fù)令：

——“夫瑯和費衍射公式”的傅立葉變換形式。

26第二十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日可見衍射問題可以采用傅立葉變換的方法來處理。這樣不僅可以直接借助傅立葉變換的性質(zhì)和有關(guān)定理，簡化計算過程；而且可以用傅立葉分析的觀點來解釋衍射圖形的形成，加深對衍射本質(zhì)的認(rèn)識。衍射屏物體出射面上的復(fù)振幅，可看作